独立変数と従属変数のソースを表示

{{翻訳中途|1=[[:en:Special:Redirect/page/437701|en:Dependent and independent variables]]の[[:en:Special:Permalink/1256050811|2024-11-07T23:41:29Z]]の版|date=2025年1月13日 (月) 04:48 (UTC)}}
'''独立変数'''（どくりつへんすう、{{Lang-en|independent variable}}）によって説明される[[変数 (数学)|変数]]を'''従属変数'''（じゅうぞくへんすう、{{Lang-en|links=no|dependent variable}}）と言う。 従属変数は、何らかの[[法則]]や[[規則]]（数学[[関数 (数学)|関数]]など）によって他の変数の値に依存するという仮定や前提のもとで用いられる。一方、独立変数は、対象となる研究等の範囲内では他の変数から[[独立]]していると見做す。{{Efn|既存の依存関係が可換であっても（逆関数が存在する場合等）、逆の依存関係が実験の研究対象でない場合は、命名則はそのまま維持される。}} このとき、一般的な独立変数として[[時間]]、[[空間]]、[[密度]]、[[質量]]、流体の[[流量]]<ref name=":1">{{Cite book |last=Aris, Rutherford |title=Mathematical modelling techniques |publisher=Courier Corporation |year=1994}}</ref><ref>{{Cite book |last=Boyce, William E. |last2=[[:en:Richard C. DiPrima|Richard C. DiPrima]] |title=Elementary differential equations |publisher=John Wiley & Sons |year=2012}}</ref>、および将来の値（従属変数）を予測するために使用される、ある観測対象の[[過去]]の値（例：[[人口]]）などが挙げられる<ref name=":0">{{Cite book |last=Alligood, Kathleen T. |last2=Sauer, Tim D. |last3=Yorke, James A. |title=Chaos an introduction to dynamical systems |publisher=Springer New York |year=1996}}</ref>。

この二つのうち、常に[[wikt:変化|変化]]が研究対象となるのは従属変数であり、[[統計学]]では[[説明変数]]とも呼ばれる入力を変更することでその変化が調べられる。[[実験]]において、他の変数を用いずに値を割り当てることができる変数は、独立変数と呼ばれる。[[モデル (自然科学)|モデル]]や実験は、独立変数が従属変数に与える影響を検証する。その影響が直接的な関心の対象でない場合でも、独立変数が潜在的な[[交絡]]効果を考慮するためなどの理由で含まれることがある。
[[ファイル:Polynomialdeg2.svg|サムネイル|1変数の微積分では、関数は通常、横軸に独立変数、縦軸に従属変数をとってグラフ化される。 この関数では、''y''は従属変数であり、''x''は独立変数である。]]

== 純粋数学において ==
数学において、関数とは入力（数または数の集合等）を受け、出力（数または数の集合等）を出す規則である<ref name="carlson" />。任意の入力を表す符号は'''独立変数'''と呼ばれ、任意の出力を表す符号は'''従属変数'''と呼ばれる。入力の最も一般的な記号は[[X|{{math|''x''}}]]であり、出力の最も一般的な記号は[[Y|{{math|''y''}}]]である。関数は通常、{{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}と表される<ref name="stewart" />。

独立変数や従属変数を複数持つことも可能である。 例えば、[[多変数微積分]]では、{{math|1=''z'' = ''f''(''x'',''y'')}}の形をした関数にしばしば出会う。ここで、[[Z|{{math|''z''}}]]は従属変数であり、{{math|''x''}}と{{math|''y''}}は独立変数である。 複数の出力を持つ関数は、しばしば[[ベクトル値函数]]と呼ばれる。

== モデル化と統計学において ==
[[数理モデル]]では、従属変数の[[集合]]と独立変数の集合との関係が研究される{{要出典|date=February 2024}}。

[[一般線形モデル]]{{Math|1=''y''<sub>''i''</sub> = a + b''x''<sub>''i''</sub> + ''e''<sub>''i''</sub>}}において、{{Math|''y''<sub>''i''</sub>}}は従属変数の{{Mvar|i}}番目の値であり、{{Math|''x''<sub>''i''</sub>}}は独立変数の{{Mvar|i}}番目の値である。{{Math|''e''<sub>''i''</sub>}}の項は「誤差」であり、独立変数に依らない従属変数の変動を含む{{要出典|date=February 2024}}。

複数の独立変数がある場合にモデルは{{Math|1=''y''<sub>''i''</sub> = a + b''x''<sub>''i'',1</sub> + b''x''<sub>''i'',2</sub> + ... + b''x''<sub>''i,n''</sub> + ''e''<sub>i</sub>}}, となる。ここで{{Math|''n''}}は独立変数の個数を表す{{要出典|date=November 2019}}。

[[統計学]]、特に[[線形回帰]]において、データの[[散布図]]が生成され、{{Mvar|X}}が独立変数、{{Mvar|Y}}が従属変数として表される。これは二変量データとも呼ばれ、{{Math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) ...(''x''<sub>''i''</sub>, ''y''<sub>''i''</sub>)}}の形を取る。この一般線形モデルは、{{Math|1=''Y''<sub>''i''</sub> = a + B''x''<sub>''i''</sub> + ''U''<sub>''i''</sub>}}の形を取り、{{Math|1=''i'' = 1, 2, ... , ''n''}}となる。この場合、{{Math|''U''<sub>''i''</sub>, ... ,''U''<sub>''n''</sub>}}は[[離散型確率変数]]である。これは、測定値が互いに影響を与えない場合に発生する。[[独立性]]の[[wikt:伝播|伝播]]により、{{Math|''U''<sub>''i''</sub>}}の独立性は{{Math|''Y''<sub>''i''</sub>}}の独立性を意味するが、各{{Math|''Y''<sub>''i''</sub>}}には異なる[[期待値]]がある。各{{Math|''U''<sub>''i''</sub>}}は期待値が0で、分散が{{Math|σ<sup>2</sup>}}である<ref name="Dekking">{{Citation|title=A modern introduction to probability and statistics: understanding why and how|last=Dekking|first=Frederik Michel|date=2005|publisher=Springer|isbn=1-85233-896-2|oclc=783259968}}</ref>。

<math display="block">E[Y_i] = E[\alpha + \beta x_i + U_i] = \alpha + \beta x_i + E[U_i] = \alpha + \beta x_i.</math>

二変量データのあてはめは{{math|1=''y'' = ''α'' + ''βx''}}の形を取り、[[線形回帰|線形単回帰]]と呼ばれる。{{Mvar|α}}と{{Mvar|β}}はそれぞれ[[切片 (数学)|切片]]と[[傾き (数学)|傾き]]に対応する<ref name="Dekking">{{Citation|title=A modern introduction to probability and statistics: understanding why and how|last=Dekking|first=Frederik Michel|date=2005|publisher=Springer|isbn=1-85233-896-2|oclc=783259968}}</ref>。

実験において実験者によって操作される変数は、その働きが証明されている独立変数と言う<ref name=":2">[http://onlinestatbook.com/2/introduction/variables.html Variables]</ref>。従属変数は、独立変数が操作されるときに変化が期待される事象である<ref name="random house">'' Random House Webster's Unabridged Dictionary.'' Random House, Inc. 2001. Page 534, 971. {{ISBN2|0-375-42566-7}}.</ref>。

[[多変量解析]]や[[機械学習]]用の[[データマイニング]]ツールでは、従属変数は'''目的変数'''（ラベル属性とも）、独立変数は単に変数<ref name=":2" /><ref>[http://1xltkxylmzx3z8gd647akcdvov.wpengine.netdna-cdn.com/wp-content/uploads/2013/10/rapidminer-5.0-manual-english_v1.0.pdf English Manual version 1.0] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140210002634/http://1xltkxylmzx3z8gd647akcdvov.wpengine.netdna-cdn.com/wp-content/uploads/2013/10/rapidminer-5.0-manual-english_v1.0.pdf|date=2014-02-10}} for [[RapidMiner]] 5.0, October 2013.</ref>または[[特徴量]]と呼ばれる。目的関数の既知の値は、[[学習データ]]セットおよび[[テストデータ]]セットに用いられるが、他のデータについては予測が必要となる。目的関数は[[教師あり学習]]で使用され、[[教師なし学習]]では使用しない。 

== 類義語 ==
分野に応じて独立変数は「予測変数」、「回帰変数」、「共変量」、「操作変数」、「説明変数」、「曝露変数」（[[信頼性工学]]）、「[[危険因子]]」（医療統計学）、「[[特徴]]」（[[機械学習]]および[[パターン認識]]）、「入力変数」と呼ばれる<ref name="Dodgeindepvar">Dodge, Y. (2003) ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', OUP. {{ISBN2|0-19-920613-9}} (entry for "independent variable")</ref><ref name="Dodgeregression">Dodge, Y. (2003) ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', OUP. {{ISBN2|0-19-920613-9}} (entry for "regression")</ref>。[[計量経済学]]では、「共変量」の代わりに「制御変数」という用語が通常用いられる<ref>{{Cite book |last=Gujarati |first=Damodar N. |last2=Porter |first2=Dawn C. |author2-link=:en:Dawn C. Porter |title=Basic Econometrics |location=New York |publisher=McGraw-Hill |year=2009 |edition=Fifth international |isbn=978-007-127625-2 |chapter=Terminology and Notation |pages=21}}</ref><ref>{{Cite book |last=Wooldridge |first=Jeffrey |year=2012 |title=Introductory Econometrics: A Modern Approach |location=Mason, OH |publisher=South-Western Cengage Learning |edition=Fifth |isbn=978-1-111-53104-1 |pages=22–23}}</ref><ref>{{Cite book |title=A Dictionary of Epidemiology |edition=Fourth |editor-first=John M. |editor-last=Last |publisher=Oxford UP |year=2001 |isbn=0-19-514168-7}}</ref><ref>{{Cite book |title=The Cambridge Dictionary of Statistics |edition=2nd |first=B. S. |last=Everitt |publisher=Cambridge UP |year=2002 |isbn=0-521-81099-X}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Woodworth|first=P. L.|year=1987|title=Trends in U.K. mean sea level|journal=Marine Geodesy|volume=11|issue=1|pages=57–87|bibcode=1987MarGe..11...57W|doi=10.1080/15210608709379549}}</ref>。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2|refs=
<ref name="carlson">Carlson, Robert. A concrete introduction to real analysis. CRC Press, 2006. p.183</ref>
<ref name=stewart>Stewart, James. Calculus. Cengage Learning, 2011. Section 1.1</ref>
}}

{{Calculus topics}}
{{DEFAULTSORT:とくりつへんすうとしゆうそくへんすう}}
[[Category:数学用語]]
[[Category:回帰分析]]
[[Category:実験計画法]]
[[Category:数学に関する記事]]