狭義正測度のソースを表示

{{Unreferenced|date=November 2013}}
[[数学]]の[[測度論]]の分野における'''狭義正測度'''（きょうぎせいそくど、{{Lang-en-short|strictly positive measure}}）とは、「至る所でゼロでない」か、「点上においてのみゼロ」であるような測度のことを言う。

== 定義 ==
(''X'', ''T'') を[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]][[位相空間]]とし、Σ を ''X'' 上の[[完全加法族]]で位相 ''T'' を含むようなものとする（したがって全ての[[開集合]]が[[可測集合]]であり、Σ は少なくとも ''X'' 上の[[ボレル集合|ボレルσ-代数]]と同程度性質の良いものである）。このとき (''X'', Σ) 上のある測度 ''μ'' が'''狭義正'''であるとは、''X'' 内の空でない全ての開集合の測度が狭義正であることを言う。

より端的に記号で書くと、''μ'' が狭義正であるための[[必要十分条件]]は、

:<math>\forall U \in T \mbox{ s.t. } U \neq \emptyset, \mu (U) > 0 </math>

である。

== 例 ==
* （任意の位相を伴う）任意の集合 ''X'' 上の[[数え上げ測度]]は狭義正である。
* [[ディラック測度]]は通常、位相 ''T'' が特に「粗い」（「わずかな」集合しか含まない）ものでない限り、狭義正ではない。例えば、通常のボレル位相と σ-代数を伴う[[実数直線]] '''R''' 上の ''δ''<sub>0</sub> は、狭義正ではない。しかし、もし '''R''' が自明位相 ''T''&nbsp;=&nbsp;{∅,&nbsp;'''R'''} を備えるものであるなら、''δ''<sub>0</sub> は狭義正である。この例は、狭義正を決定付ける上での位相の重要性を示すものである。
* （ボレル位相とその σ-代数を伴う）[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 上の{{仮リンク|ガウス測度|en|Gaussian measure}}は狭義正である。
** '''R'''<sup>''n''</sup> 内の連続な経路を含む空間上の[[ウィーナー過程|ウィーナー測度]]は狭義正である。&mdash; ウィーナー測度は、無限次元空間上のガウス測度の例である。
* （ボレル位相と σ-測度を伴う） '''R'''<sup>''n''</sup> 上の[[ルベーグ測度]]は狭義正である。
* [[自明測度]]は、用いられる空間 ''X'' あるいは位相によらず、けして狭義正となることはない。しかし ''X'' が空である場合は除く。

== 性質 ==
* ''μ'' と ''ν'' はある可測な位相空間 (X,&nbsp;Σ) 上の二つの測度で、''μ'' は狭義正で ''ν'' に関して[[絶対連続]]であるとする。このとき ''ν'' も同様に狭義正となる。その証明は簡単である。''U''&nbsp;⊆&nbsp;''X'' を任意の開集合とする。''μ'' は狭義正であるので、''μ''(''U'')&nbsp;&gt;&nbsp;0 が成り立つ。すると絶対連続性により、''ν''(''U'')&nbsp;&gt;&nbsp;0 が同様に成り立つ。
* したがって狭義正という性質は、{{仮リンク|同値 (測度論)|label=測度の同値性|en|Equivalence (measure theory)}}に関して[[不変量|不変]]である。

== 関連項目 ==
* [[台 (測度論)]]：ある測度が狭義正であるための[[必要十分条件]]は、その台が全空間であることである。

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[[Category:測度論]]
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