猿の腰掛けのソースを表示

{{Otheruses|数学の用語|猿の腰掛けと呼ばれるきのこ及びその生物学上の分類|サルノコシカケ科|その他の「さるのこしかけ」|さるのこしかけ}}
[[数学]]における'''猿の腰掛け'''（さるのこしかけ）[[wikidata:Q382375|<sup>[各言語名称]</sup>]]とは次式で示される[[曲面]]を指す。'''猿の鞍'''（さるのくら）ともいう。 

: <math> z = x^3 - 3xy^2 </math>

[[円筒座標系]]では次式で示される。

: <math>z = \rho^3 \cos(3\varphi)</math>

[[ファイル:Monkey_Saddle_Surface_(Shaded).png|サムネイル|300x300ピクセル|猿の腰掛け]]
猿の腰掛けは[[鞍点]]を有する曲面の一種であり、この名は猿が座るための鞍には、両脚と尻尾のための計3つの方向へくぼむ谷が要るという考えから来ている。猿の腰掛けの点 (0, 0, 0) は、その曲面の関数 ''z''(''x'', ''y'') に (0, 0) を代入した時に生じる退化[[臨界点 (数学)|臨界点]]に対応している。猿の腰掛けは、原点で[[ガウス曲率]]が0の孤立した[[臍点]]を持ち、他の点では曲率が常に負である。

直交座標と円筒座標の二式は、[[複素数]] <math>x+iy = r e^{i\varphi}</math>を用いて次のように関連付けることができる。

: <math> z = x^3 - 3xy^2 = \operatorname{Re} [(x+iy)^3] = \operatorname{Re}[r^3 e^{3i\varphi}] = r^3\cos(3\varphi)</math>

円筒座標の式において、3 の部分を任意の整数 ''k'' ≥1 に置き換えると、''k'' 個の谷を持つ鞍を作ることができる<ref>Peckham, S.D. (2011) Monkey, starfish and octopus saddles, ''Proceedings of Geomorphometry 2011'', Redlands, CA, pp. 31-34, https://www.researchgate.net/publication/256808897_Monkey_Starfish_and_Octopus_Saddles</ref>。

猿の腰掛けは、''x'' + ''y'' + ''z'' + ''xyz'' = 0 と定義される''Smelt petal'' としても説明できる。したがって、猿の腰掛けの ''z'' 軸は''Smelt petal'' における方向 (1,1,1) に対応する。<ref>{{Cite book |last=J. |first=Rimrott, F. P. |title=Introductory Attitude Dynamics |date=1989 |publisher=Springer New York |isbn=9781461235026 |location=New York, NY |pages=26 |oclc=852789976}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Chesser|first=H.|last2=Rimrott|first2=F.P.J.|editor-last=Rasmussen|editor-first=H.|date=1985|title=Magnus Triangle and Smelt Petal|journal=CANCAM '85: Proceedings, Tenth Canadian Congress of Applied Mechanics, June 2-7, 1985, the University of Western Ontario, London, Ontario, Canada}}</ref>
[[ファイル:Shape_petal.svg|代替文=Shape petal|サムネイル|300x300ピクセル|Smelt petal: {{Math|1=''x'' + ''y'' + ''z'' + ''xyz'' = 0}}]]

== 馬の鞍 ==
「馬の鞍」という用語は、猿の腰掛けと対比的に使われ、関数 ''z''(''x'', ''y'') が通常の[[鞍点]]を持ち、''xy''平面のあらゆる方向に対して局所的な最小値または最大値となる普通の鞍面を指す。一方、猿の腰掛けは''xy''平面のすべての方向において[[変曲点]]となる鞍点を持つ。

== 参考文献 ==
<references />

== 外部リンク ==
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|urlname=MonkeySaddle|title=Monkey Saddle}}

{{DEFAULTSORT:さるのこしかけ}}
[[Category:代数曲面]]
[[Category:多変数微分積分学]]
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