球対称函数のソースを表示

[[数学]]における'''球対称函数'''（きゅうたいしょうかんすう、{{lang-en-short|spherically symmetric function}}）または'''動径函数'''（{{lang-en-short|''radial function''}}; 放射函数）は、各点における値がその点の偏角成分に依らず動径成分（原点からその点までの距離）のみに依存して決まる函数を言う。

例えば[[ユークリッド平面]] {{math|'''R'''{{msup|2}}}} 上で定義された函数 {{math|''Φ''}} が二次元の球対称函数であるとは、適当な一変数非負値函数 {{mvar|φ}} を用いて
:<math>\Phi(x,y) = \varphi(r), \quad (r = \sqrt{x^2+y^2})</math>
の形に表される。球対称函数は{{仮リンク|球面函数|en|spherical function}}と対照を成すものであり、[[ユークリッド空間]]上で定義された任意の下降函数 （例えば[[連続函数|連続]]かつ{{仮リンク|急減少函数|label=急減少|en|Rapidly decreasing function}}な函数）は球対称成分（動径成分）と球面的成分（偏角成分）からなる級数に分解される（{{仮リンク|体球面調和函数|label=体球面調和|en|solid spherical harmonic}}展開）。

函数が球対称（回転対称、動径的）であるための[[必要十分条件]]はそれが原点を固定する任意の[[回転変換]]のもとで不変となることである。言葉を変えれば、{{mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{msup|''n''}}}} 上の函数 {{mvar|f}} が球対称となる必要十分条件は、{{mvar|n}}-次元[[特殊直交群]] {{math|SO(''n'')}} の任意の元 {{mvar|&rho;}} に対して {{math|''f'' ∘ ''ρ'' {{=}} ''f''}} を満たすことである。球対称函数のこのような特徴付けは[[シュヴァルツ超函数]]の球対称性を定義するのにも利用できる。{{math|'''R'''{{msup|''n''}}}} 上のシュヴァルツ超函数 {{mvar|S}} は任意の試験函数 {{mvar|φ}} と回転変換 {{mvar|ρ}} に対し
: <math>S[\varphi] = S[\varphi\circ\rho]</math>
を満たすとき、球対称であるという。

任意の函数 {{mvar|f}} が与えられたとき、その球対称成分（動径成分） {{mvar|φ{{ind|f}}}} は原点を中心とする球面上で平均をとることによって与えられる。特に {{mvar|f}} が局所可積分ならばこれは
:<math>\varphi_f(x) = \frac{1}{\omega_{n-1}}\int_{S^{n-1}} f(rx')\,dx'</math>
と書くことができる。ただし、{{math|ω{{ind|''n''&minus;1}}}} は {{math|(''n'' &minus; 1)}}-次元[[超球面|球面]] {{math|''S''{{msup|''n''&minus;1}}}} の表面積であり、{{math|1=''r'' = {{abs|''x''}}}} および {{math|1=''x{{'}}'' = ''x''/''r''}} とした。このことから、[[フビニの定理]]により、局所可積分函数は[[ほとんど全て]]の {{mvar|r}} において球対称成分は矛盾なく定義されることが従う。

球対称函数の[[フーリエ変換]]はふたたび球対称である。それゆえ球対称函数は[[フーリエ解析]]において決定的な役割を果たす。さらに言えば、球対称函数のフーリエ変換は典型的には無限遠において非球対称函数よりも強く減衰する振舞いを示す。原点の近傍において有界な球対称函数に対して、そのフーリエ変換は動径 {{mvar|R}} の函数 {{math|''R''{{exp|&minus;(''n''&minus;1)/2}}}} よりも速く減少する。[[ベッセル函数]]は特別なクラスの球体種函数で、フーリエ解析において[[ラプラス作用素]]の球対称[[固有函数]]として自然に現れる。これらは自然にフーリエ変換の球対称部分と看做せる。

== 関連項目 ==
* [[極座標系]]
* [[動径基底函数]]

== 参考文献 ==
*{{citation|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.}}.

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | title= Radial Function | urlname=RadialFunction}}

{{DEFAULTSORT:きゆうたいしようかんすう}}
[[Category:調和解析]]
[[Category:回転対称性]]
[[Category:写像]]
[[Category:数学に関する記事]]