球面座標系のソースを表示
←
球面座標系
ナビゲーションに移動
検索に移動
あなたには「このページの編集」を行う権限がありません。理由は以下の通りです:
この操作は、次のグループに属する利用者のみが実行できます:
登録利用者
。
このページのソースの閲覧やコピーができます。
{{出典の明記| date = 2022年8月}} [[File:3D_Spherical.svg|thumb|球面座標系]] '''球面座標系'''（きゅうめんざひょうけい、{{Lang-en|spherical coordinate system}}）とは、3次元[[ユークリッド空間]]に定まる[[座標系]]の一つで、[[動径]]座標と二つの[[角度]]座標で表される[[極座標系]]である。第一の角度はある[[座標軸|軸]]（通常は {{mvar|z}}-軸を選ぶ）と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に[[垂直]]な[[平面]]にある別の軸（通常は {{mvar|x}}-軸を選ぶ）とこの平面への動径の[[射影]]がなす角度である。通常の座標の選び方は {{mvar|z}}-軸を[[鉛直]]上向きに選ばれるので、第一の角度は[[天頂]]からの角度であり、[[仰俯角|天頂角]]と呼ばれる。第二の角度座標は鉛直軸と直交する[[水平]]面内の角度であり[[方位角]]と呼ばれる。通常は動径座標に記号 {{mvar|r}} を用い、天頂角には {{mvar|θ}} を、方位角には {{mvar|φ}} を用いて表される。動径座標は {{math|0 ≤ ''r'' < ∞}} の範囲にあり、天頂角は {{math|0 ≤ ''θ'' ≤ π}} の範囲にある。方位角の動く範囲は {{math|−π < ''φ'' ≤ π}} もしくは {{math|0 ≤ ''φ'' < 2π}} のどちらかを用いることが多い。 == 座標変換 == 球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} から[[直交座標系|直交直線座標]] {{math|(''x'',''y'',''z'')}} への変換は {{Indent| <math>\begin{cases} x = r\sin\theta\, \cos\phi \\ y = r\sin\theta\, \sin\phi \\ z = r\cos\theta \\ \end{cases}</math> }} で与えられる。方位角を {{math|−π < ''φ'' ≤ π}} とする場合は、直交直線座標 {{math|(''x'',''y'',''z'')}} から球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} への変換は {{Indent| <math>\begin{cases} r =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta =\arccos(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \\ \phi =\sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\ \end{cases}</math> }} で与えられる。ここで {{math|sgn}} は[[符号関数]] {{Indent| <math>\sgn(y) =\begin{cases} 1 & (y\ge0) \\ -1 & (y<0) \\ \end{cases} </math> }} である。{{mvar|z}}-軸上 {{math|1=(''x'',''y'') = (0,0)}} において特異性があり、[[分母]]がゼロとなるため {{mvar|φ}} が定まらない。さらに[[原点]] {{math|1=(''x'',''y'',''z'') = (0,0,0)}} においては {{mvar|θ}} も定まらない。 球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} から直交直線座標 {{math|(''x'',''y'',''z'')}} への変換の式を微分すれば {{Indent| <math>\begin{cases} dx = \sin\theta\, \cos\phi\, dr +r\cos\theta\, \cos\phi\, d\theta -r\sin\theta\, \sin\phi\, d\phi \\ dy = \sin\theta\, \sin\phi\, dr +r\cos\theta\, \sin\phi\, d\theta +r\sin\theta\, \cos\phi\, d\phi \\ dz = \cos\theta\, dr -r\sin\theta\, d\theta\\ \end{cases}</math> }} が得られて、[[ヤコビ行列]]とヤコビ行列式は {{Indent| <math>\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)} &=\begin{pmatrix} \sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\ \sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\sin\theta\, \cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 \\ 0 & 0 & r\sin\theta \\ \end{pmatrix} \\ \end{align}</math> }} {{Indent| <math>\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)} \right| =r^2 \sin\theta</math> }} となる。従って球面座標で表した体積素は {{Indent| <math>dV =dx\, dy\, dz =r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi</math> }} となる。また、線素の二乗は {{Indent| <math>ds^2 =dx^2 +dy^2 +dz^2 =dr^2 +r^2d\theta^2 +r^2\sin^2\theta\, d\phi^2</math> }} となる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している[[直交曲線座標|直交座標系]]である。 == ベクトル解析 == 球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} での[[位置ベクトル]] {{mvar|'''x'''}} の偏微分により {{Indent| <math>\boldsymbol{e}_r =\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial r},~ \boldsymbol{e}_\theta =\frac{1}{r}\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\theta},~ \boldsymbol{e}_\phi =\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\phi}</math> }} を定義する。 標準基底 {{mvar|'''e'''{{sub|x}} , '''e'''{{sub|y}} , '''e'''{{sub|z}}}} を用いれば、位置ベクトルの微分は {{Indent| <math>\begin{align} d\boldsymbol{x} &=\boldsymbol{e}_x\, dx +\boldsymbol{e}_y\, dy +\boldsymbol{e}_z\, dz \\ &=\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \end{pmatrix} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ d\phi \\ \end{pmatrix} \end{align}</math> }} となるので、具体的に {{Indent| <math>\begin{cases} \boldsymbol{e}_r =\boldsymbol{e}_x \sin\theta\, \cos\phi +\boldsymbol{e}_y \sin\theta\, \sin\phi +\boldsymbol{e}_z \cos\theta \\ \boldsymbol{e}_\theta =\boldsymbol{e}_x \cos\theta\, \cos\phi +\boldsymbol{e}_y \cos\theta\, \sin\phi -\boldsymbol{e}_z \sin\theta \\ \boldsymbol{e}_\phi =-\boldsymbol{e}_x \sin\phi +\boldsymbol{e}_y \cos\phi \\ \end{cases}</math> }} で表される。 標準内積を考えれば {{Indent| <math>| \boldsymbol{e}_r |^2 =| \boldsymbol{e}_\theta |^2 =| \boldsymbol{e}_\phi |^2 =1</math> }} {{Indent| <math>\boldsymbol{e}_r\cdot \boldsymbol{e}_\theta =\boldsymbol{e}_r\cdot \boldsymbol{e}_\phi =\boldsymbol{e}_\theta\cdot \boldsymbol{e}_\phi =0</math> }} となり、これらは正規直交基底である。 また3次元空間においては[[ベクトル積]]を考えることができて、球面座標の単位ベクトル間のベクトル積は {{Indent| <math>\boldsymbol{e}_r\times \boldsymbol{e}_\theta =\boldsymbol{e}_\phi,~ \boldsymbol{e}_\phi\times \boldsymbol{e}_r =\boldsymbol{e}_\theta,~ \boldsymbol{e}_\theta\times \boldsymbol{e}_\phi =\boldsymbol{e}_r</math> }} となる。したがって、球面座標は {{math|''r'',''θ'',''φ''}} の順番で[[向き付け]]られた座標である。 [[曲面]]上の点が {{mvar|u, v}} でパラメータ付けされるとき、面積素ベクトルは {{Indent| <math>\begin{aligned} d\boldsymbol{S} &=\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial u}\times \frac{\boldsymbol{x}}{\partial v}\, du\wedge dv \\ &=\boldsymbol{e}_r\, r^2\sin\theta\, d\theta\wedge d\phi +\boldsymbol{e}_\theta\, r\sin\theta\, d\phi\wedge dr +\boldsymbol{e}_\phi\, r\, dr\wedge d\theta \\ \end{aligned} </math> }} で与えられる。 任意のベクトル場 {{mvar|'''A'''}} は {{Indent| <math>A_r =\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{A},~ A_\theta =\boldsymbol{e}_\theta \cdot \boldsymbol{A},~ A_\phi =\boldsymbol{e}_\phi \cdot \boldsymbol{A}</math> }} {{Indent| <math>\boldsymbol{A} =A_r \boldsymbol{e}_r +A_\theta \boldsymbol{e}_\theta +A_\phi \boldsymbol{e}_\phi</math> }} によって成分表示される。 ベクトル場の球面座標による微分は {{Indent| <math>\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial r} =\frac{\partial A_r}{\partial r} \boldsymbol{e}_r +\frac{\partial A_\theta}{\partial r} \boldsymbol{e}_\theta +\frac{\partial A_\phi}{\partial r} \boldsymbol{e}_\phi</math> }} {{Indent| <math>\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\theta} =\left( \frac{\partial A_r}{\partial\theta} -A_\theta \right) \boldsymbol{e}_r +\left( \frac{\partial A_\theta}{\partial\theta} +A_r\right) \boldsymbol{e}_\theta +\frac{\partial A_\phi}{\partial\theta} \boldsymbol{e}_\phi</math> }} {{Indent| <math>\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\phi} =\left( \frac{\partial A_r}{\partial\phi} -A_\phi\sin\theta \right) \boldsymbol{e}_r +\left( \frac{\partial A_\theta}{\partial\phi} -A_\phi\cos\theta \right) \boldsymbol{e}_\theta +\left( \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi} +A_r\sin\theta +A_\theta\cos\theta \right) \boldsymbol{e}_\phi </math> }} で与えられる。 === スカラー場の勾配 === スカラー場 {{math|''f''('''''x''''')}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]は {{Indent| <math>df =(\mathrm{grad}\, f)\cdot d\boldsymbol{x}</math> }} で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が {{Indent| <math>d\boldsymbol{x} =\boldsymbol{e}_r\, dr +r\boldsymbol{e}_\theta\, d\theta +r\sin\theta\, \boldsymbol{e}_\phi\, d\phi </math> }} であることから、球面座標系でのスカラー場 {{mvar|f}} の勾配は {{Indent| <math>\mathrm{grad}\, f =\boldsymbol{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \frac{\partial f}{\partial\theta} +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial\phi}</math> }} となる。ベクトル微分演算子を {{Indent| <math>\nabla =\boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r} +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\phi}</math> }} で定めれば {{Indent| <math>\mathrm{grad}\, f =\nabla f</math> }} と書ける。 === ベクトル場の発散 === ベクトル場 {{mvar|'''A'''}} の[[発散 (ベクトル解析)|発散]]は {{Indent| <math>\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S} =(\operatorname{div} \boldsymbol{A})\, dV</math> }} で定義されるスカラー場である。球座標で表した体積素と面積素を用いれば {{Indent| <math>\begin{align} (\operatorname{div} \boldsymbol{A})\, r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi &=r^2A_r\sin\theta\, d\theta\wedge d\phi +rA_\theta\sin\theta\, d\phi\wedge dr +rA_\phi\, dr\wedge d\theta \\ &=\left[ \frac{\partial}{\partial r}(r^2A_r\sin\theta) +\frac{\partial}{\partial\theta}(rA_\theta\sin\theta) +\frac{\partial}{\partial\phi}(rA_\phi) \right] dr\, d\theta\, d\phi \\ \end{align}</math> }} となるので、球面座標系でのベクトル場の発散として {{Indent| <math>\operatorname{div} \boldsymbol{A} =\frac{1}{r^2} \frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r} +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial(A_\theta\sin\theta)}{\partial\theta} +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi}</math> }} が得られる。 ベクトル微分演算子を用いれば {{Indent| <math>\begin{align} \mathrm{div}\, \boldsymbol{A} &= \nabla\cdot \boldsymbol{A} =\boldsymbol{e}_r\cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial r} +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\theta} +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\phi} \\ &= \left( \frac{\partial A_r}{\partial r} +\frac{2}{r} A_r\right) +\frac{1}{r} \left( \frac{\partial A_\theta}{\partial\theta} +A_\theta\cot\theta \right) +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi} \\ &=\frac{1}{r^2} \frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r} +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial(A_\theta\sin\theta)}{\partial\theta} +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi} \\ \end{align}</math> }} と書ける。 === ベクトル場の回転 === ベクトル場 {{mvar|'''A'''}} の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]は {{Indent| <math>\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{x} =(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})\cdot d\boldsymbol{S}</math> }} で定義されるベクトル場である。 球座標の面積素と線素を用いれば {{Indent| <math>\begin{align} (\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_r\, &r^2\sin\theta\, d\theta\wedge d\phi +(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_\theta\, r\sin\theta\, d\phi\wedge dr +(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_\phi\, r\, dr\wedge d\theta \\ &=A_r\, dr +rA_\theta\, d\theta +rA_\phi\sin\theta\, d\phi \\ &=\left[ \frac{\partial}{\partial\theta}(rA_\phi\sin\theta) -\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial\phi} \right] d\theta\wedge d\phi +\left[ \frac{\partial A_r}{\partial\phi} -\frac{\partial}{\partial r}(rA_\phi\sin\theta) \right] d\phi\wedge dr +\left[ \frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} -\frac{\partial A_r}{\partial\theta} \right] dr\wedge d\theta \end{align}</math> }} となるので、球面座標系でのベクトル場の回転として {{Indent| <math>\operatorname{rot}\boldsymbol{A} =\frac{\boldsymbol{e}_r}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial(A_\phi\sin\theta)}{\partial\theta} -\frac{\partial A_\theta}{\partial\phi} \right] +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \left[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\phi} -\frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r} \right] +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r} \left[ \frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} -\frac{\partial A_r}{\partial\theta} \right]</math> }} が得られる。 ベクトル微分演算子を用いれば {{Indent| <math>\begin{align} \mathrm{rot}\, \boldsymbol{A} &=\nabla\times\boldsymbol{A} =\boldsymbol{e}_r\times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial r} +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\theta} +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\phi} \\ &=\frac{\boldsymbol{e}_r}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial(A_\phi\sin\theta)}{\partial\theta} -\frac{\partial A_\theta}{\partial\phi} \right] +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \left[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\phi} -\frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r} \right] +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r} \left[ \frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} -\frac{\partial A_r}{\partial\theta} \right] \\ \end{align}</math> }} となる。 == 関連項目 == * [[天球座標系]] * [[極座標系]] * [[球面]] {{DEFAULTSORT:きゆうめんさひようけい}} [[Category:座標]] [[Category:数学に関する記事]] {{Differential-geometry-stub}} [[fi:Koordinaatisto#Pallokoordinaatisto]] [[it:Sistema di riferimento#Il sistema sferico]]
このページで使用されているテンプレート:
テンプレート:Differential-geometry-stub
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Indent
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Lang-en
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Math
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Mvar
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:出典の明記
(
ソースを閲覧
)
球面座標系
に戻る。
ナビゲーション メニュー
個人用ツール
ログイン
名前空間
ページ
議論
日本語
表示
閲覧
ソースを閲覧
履歴表示
その他
検索
案内
メインページ
最近の更新
おまかせ表示
MediaWiki についてのヘルプ
特別ページ
ツール
リンク元
関連ページの更新状況
ページ情報