球面波のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年5月}}
'''球面波'''（きゅうめんは、{{lang-en-short|spherical wave}}）とは、3次元の等方的な[[媒質]]中に存在する点波源から発生、もしくは一点に向かって収束する[[球]]状の[[波動]]のことである。同[[位相]]の波面は全て点波源を中心とする同心球面を形成するため、この波動は波源に関して[[球対称]]となる。3次元[[波動方程式]]の球対称解として記述される。

== 球面波を表す式 ==
球面波を記述する式には次の2通りのものが存在する。
:<math>\begin{align}\psi(r,t)&=\frac{f(r\pm vt)}{r} \qquad\cdots(1)\\
\psi(r,t)&=\frac{1}{r}F\left(t\pm\frac{r}{v}\right) \qquad\cdots(2)\end{align}</math>
ただしここで''r'' は波源からの距離、''t'' は時刻、''v'' は[[位相速度]]（ただし''v'' > 0）である。

=== 導出 ===
上式は次のようにして導き出せる。

3次元の[[波動方程式]]は以下である：
:<math>\Delta \psi \equiv \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} \qquad\cdots(3)</math>
ただしここでは波源を原点、すなわち<math>(x,y,z)=(0,0,0)</math>としている。まずこれを[[球座標]]に変換し、角度には依存しないことを考慮すると、次式になる（[[ラプラス作用素#三次元]]を参照）。
:<math>\Delta\psi =\frac{2}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}</math>

 （球座標への変換導出過程）
 次の関係が成り立つ。
  <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
 このとき
  <math>\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{x}{r}</math>
 したがって
  <math>\begin{align}\frac{\partial\psi}{\partial x} &= \frac{\partial\psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}, \\
\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{x}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\left(-\frac{x}{r^2}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}\right) \\
&= \frac{r^2-x^2}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}\end{align}</math>
 同様に
  <math>\begin{align}\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}&=\frac{r^2-y^2}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}, \\
\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}&=\frac{r^2-z^2}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{z^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}\end{align}</math>
 したがって
 <math>\begin{align}\Delta\psi &= \frac{3r^2-(x^2+y^2+z^2)}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} \\
&=\frac{2}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}\end{align}</math>

ここで
:<math>\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\psi)=\frac{2}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}</math>
となるので、以上を波動方程式(3)の左辺に代入して
:<math>\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\psi)=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}</math>
を得る。両辺に''r'' をかけると
:<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\psi)=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(r\psi)</math>
となるが、これは''r'' &psi;についての1次元波動方程式であり、簡単に解くことができる：
:<math>r\psi=f(r\pm vt)</math>
または
:<math>r\psi=F\left(t\pm\frac{r}{v}\right)</math>
したがって式(1)、(2)を得る。

== 特徴 ==
#波源からの距離が大きくなるにしたがって減衰し、<math>r\rightarrow\infty</math>の[[極限]]で[[振幅]]は0となる。具体的にいえば、振幅は波源からの距離に反比例する。
#波動の様子は半径からの方向には依存せず、半径からの[[距離]]および[[時間]]のみに依存する。
#波源から十分離れた地点では波面のカーブが平面に近くなるため、減衰を無視できるほどの十分狭い領域では[[平面波]]として近似することができる。
#特に調和球面波の場合、波の強さ([[エネルギー]])は、距離の2乗に反比例する（[[逆2乗の法則]]）。

== 調和球面波 ==
[[ファイル:Spherical wave.gif|right|調和球面波の様子。距離に比例して減衰していく様子がわかる。]]
球面波の特別な場合として、'''調和球面波'''が存在する。これは以下の式によって表されるものである。

:<math>\begin{align}\psi(r,t) &= \frac{\mathcal{A}}{r}\sin[k(r\pm vt+\delta)], \\
&= \frac{\mathcal{A}}{r}\sin\left[\omega\left(t\pm\frac{r}{v}+\delta\right)\right]\end{align}</math>

ここで<math>\mathcal{A}</math>は波源強度とよばれる定数であり、''k'' は[[波数]]、&omega;は[[角振動数]]、&delta;は初期位相である。

=== 調和球面波のエネルギー ===
点波源を中心とする球面の単位面積あたりに単位時間運ばれるエネルギー、すなわち波の強度<math>I</math>は以下のようになる。
:<math>I(r)=2\pi^2\rho v\nu^2\left(\frac{\mathcal{A}}{r}\right)^2=\frac{2\pi^2\rho v\nu^2\mathcal{A}^2}{r^2}</math>
ただし<math>\rho</math>は媒質の密度、<math>\nu</math>は[[振動数]]である。

この式より調和球面波の強度に関して[[逆2乗の法則]]が成り立っていることがわかる。

== 関連項目 ==
*[[波動]]
*[[平面波]]
*[[逆2乗の法則]]

{{DEFAULTSORT:きゆうめんは}}
[[Category:振動と波動]]