球面調和関数のソースを表示

{{Pathnav|数学|特殊関数|調和関数|frame=1}}
[[File:Harmoniki.png|thumb|300px|低次の球面調和関数。赤色は正、緑色は負の領域を示す。]]
[[File:Cubicharmonics 3840x2160.png|thumb|300px|球面調和関数の球表示（左）と原子軌道表示（右）。 [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/Cubicharmonics_white.gif （gifアニメーション）]]]
'''球面調和関数'''（きゅうめんちょうわかんすう、{{Lang-en-short|spherical harmonics}}<ref>{{Cite book|和書|author=文部省|authorlink=文部省|editor=日本物理学会|editor-link=日本物理学会|title=[[学術用語集]] 物理学編|date=1990-09|publisher=[[培風館]]|id={{全国書誌番号|90057219}}|isbn=4-563-02195-4|ncid=BN05183934|oclc=23241821|asin=4563021954}}</ref>）あるいは'''球関数'''（きゅうかんすう、{{Lang-en-short|spherical functions}}<ref>[[#Reference-Kotobank-球関数|ブリタニカ百科事典]]</ref>）は以下のいずれかを意味する[[関数 (数学)|関数]]である：
# {{Mvar|n}} 次元[[ラプラス方程式]]の解となる[[斉次多項式]]を単位球面に制限する事で得られる関数。
# 次元 {{Mvar|n}} が {{Math|3}} の場合の 1 の意味での球面調和関数で、[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 {{math|{{SubSup|Y|''k''|''n''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}}.
本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。

== 定義 ==
{{Mathbf|R}} を[[実数]]全体の集合とし、{{Mathbf|C}} を[[複素数]]全体の集合とし、{{Mvar|n}} 個の実数からなる組の集合を {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} とし、{{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の元を {{Math|(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}}) &isin; '''R'''{{sup|''n''}}}} と書き表すことにする。

{{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の複素数値関数
: {{Math|''&phi;'': '''R'''{{sup|''n''}} &rarr; '''C'''}}
が2階微分可能なとき、{{math|&Delta;''&phi;''}} を
: <math>\Delta\phi=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i{}^2}\phi</math>
と定義し、{{Math|&Delta;}} を'''[[ラプラス作用素]]'''という。さらに  {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の（複素数値の）多項式 {{Math|''p''(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}})}} で
: {{Math|&Delta;''p'' {{=}} 0}}
を満たすものを'''{{仮リンク|調和多項式|en|harmonic polynomial}}'''という<ref name=":1">{{harvnb|野村|2006|p=9}}</ref>。なおラプラス作用素は回転行列 {{Mvar|R}} に対し、
: {{Math|&Delta;''p''(''R''(''x'')) {{=}} ''R''(&Delta;''p''(''x''))}}
を満たすので{{sfn|野村|2006|pp=5–6}}、調和多項式の定義は座標系のとり方に依存しない。

調和多項式 {{Mvar|p}} が {{Mvar|k}} 次の[[斉次多項式]]であるとき、{{Mvar|p}} を単位球面
{{NumBlk|:|<math>S^{n-1}=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n \mid \sum_ix_i{}^2=1\}</math>|{{EquationRef|P1}}}}
に制限した制限写像
: <math>Y=p|_{S^{n-1}} \colon S^{n-1} \to \mathbf{C}</math>
を {{Mvar|k}} 次の'''球面調和関数'''という{{sfn|野村|2006|p=12}}。

（{{Mvar|n}} 次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} における）{{Mvar|k}} 次の球面調和関数全体の集合を ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' とすると、''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' は {{Mathbf|C}} 上の[[ベクトル空間]]であり、
{{NumBlk|:|<math>\operatorname{dim}_{\mathbf{C}}\mathcal{H}_k=\frac{(n+2k-2)(n+k-3)!}{(n-2)!k!}</math>|{{EquationRef|P2}}}}
である{{sfn|野村|2006|p=10}}。

== 帯球関数 ==
{{Math|''e''{{sub|n}}}} を {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上のベクトル
:{{Math|1=''e{{sub|n}}'' = (0, ..., 0, 1) &isin; '''R'''{{sup|''n''}}}}
とする。
{{Math theorem|
以下の性質を満たす {{Mvar|k}} 次の球面調和関数を、（{{Mvar|e{{sub|n}}}} 方向の）{{Mvar|k}} 次の'''{{仮リンク|帯球関数|en|Zonal spherical harmonics}}'''という<ref name=":0">{{harvnb|野村|2006|p=17}}</ref>：
: {{Math|''R''(''e''{{sub|''n''}}) {{=}} ''e''{{sub|''n''}}}} を満たす任意の[[回転行列]] {{Mvar|R}} に対し、{{Math|''Y''(''R''(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}})) {{=}} ''Y''(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}})}} 
次元 {{Mvar|n}} が {{Math|3}} であれば、{{Mvar|z}} 軸 {{Math|(0, 0, 1)}} を保つ回転によって球面 {{Math|''S''{{sup|2}}}} を回せば、球面上に[[緯線]]が帯状に描かれる。帯球関数という名称は、「[[緯線]]による帯上で値が不変になる球面調和関数」である事に由来する{{R|:0}}。
|name=定義|note='''帯球関数'''}}
次の事実が成立する{{R|:0}}。

{{Math theorem|
任意の自然数 {{mvar|k}} に対し、{{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の {{mvar|k}} 次の帯球関数は定数倍を除いて一意である。すなわち {{math|''Z''{{sub|1}}, ''Z''{{sub|2}}}} を {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の2つの {{Mvar|k}} 次帯球関数とするとき、{{math|''Z''{{sub|1}} {{=}} ''aZ''{{sub|2}}}} を満たす複素数 {{Math|''a'' &isin; '''C'''}} が存在する。
}}

=== 具体的表記 ===
帯球関数を具体的に書き表す為、記号を導入する。自然数 {{Mvar|n}} と非負の実数 {{Mvar|x}} に対し'''[[ポッホハマー記号]]''' {{Math|(''x''){{sub|''n''}}}} を
: <math>(x)_n := \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}</math>
により定義する。ここで {{Math|&Gamma;(''x'')}} は[[ガンマ関数]]である。さらに[[超幾何関数|'''ガウスの超幾何関数''']]を
: <math>{}_2F_1(-k,b;c;z)=\sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{k}{i} \frac{(b)_i}{(c)_i} z^i</math>
により定義し<ref group="注">超幾何関数は一般には無限級数であるが、第一引数が負の整数である場合は、ここで示した有限級数の形で書き表す事ができる。</ref>、さらに[[ゲーゲンバウアー多項式|'''超球多項式''']]を
: <math>P_k^{(\alpha)}(z):=
\,_2F_1\!\left(-k,2\alpha+k;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)</math>
により定義する<ref group="注">[[ゲーゲンバウアー多項式]]の項目には、ゲーゲンバウアー多項式と超球多項式は同一であると書いてあるが、本項では {{harvtxt|野村|2006|p=20}} に従って超球多項式を定義したため、ゲーゲンバウアー多項式とは定数倍異なる。</ref>。このとき、次が成立する。
: <math>Z_k^{n}(x_1,\ldots,x_n):=P_k^{((n-2)/2)}(x_n)</math> は {{Mvar|k}} 次の帯球関数である{{sfn|野村|2006|p=20}}。
すでに述べたように、{{Mvar|k}} 次の帯球関数は定数倍を除いて一意なので、全ての {{Mvar|k}} 次帯球関数は上述したものの定数倍として表記可能である。

== 3次元空間における球面調和関数 ==
3次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} の場合、{{Math|'''R'''{{sup|3}}}} を[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} で表すと、下記の {{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} が球面調和関数になる事が知られている。
{{NumBlk|:|<math>Y_{k}^{m}(\theta, \phi)
=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2k+1}{4\pi}\frac{(k-|m|)!}{(k+|m|)!} \,}
\,P_k^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}.</math>|{{EquationRef|B1}}}}
ここで
{{NumBlk|:|{{Mvar|m}} は整数で、{{Math|''k'' &ge; {{mabs|''m''}}}}|{{EquationRef|B2}}}}
であり、{{Math|{{SubSup|P|''k''|''m''}}(''t'')}} は[[ルジャンドル多項式|'''ルジャンドルの陪多項式''']]{{sfn|日本測地学会|2004}}
{{NumBlk|:|<math>P_k{}^m(t)=
\frac{1}{2^k}(1-t^2)^\tfrac{m}{2}\sum_{j=0}^{\lfloor (k-m) / 2\rfloor}
{(-1)^j (2k-2j)! \over j!(k-j)!(k-2j-m)!}t^{k-2j-m}</math>|{{EquationRef|B3}}}}
である。すなわち {{Math|{{SubSup|P|''k''|''m''}}(''t'')}} は'''ルジャンドルの陪微分方程式'''
: <math>(1-t^2)y''(t)-2t\,y'(t)+\left[k(k+1)-\frac{m^2}{1-t^2}\right]y(t)=0</math>
の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は条件 ({{EquationNote|B2}}) を満たすとき、およびそのときだけ解を持つことが知られている。また、{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} の定義における係数は、後述するノルムが1になるよう選んだものである。

{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} が球面調和関数の定義を満たすことは自明ではないが、{{Mvar|p}} を {{Math|''p''(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'') {{=}} ''r''{{sup|''k''}} {{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} と定義した上で直交座標に変換すると {{Mvar|p}} が斉次多項式になっている事を確認できる。

なお、本項では、「球面調和関数」という言葉をラプラス方程式の解となる斉次多項式（の球面への制限）一般を指す用語として用いるが、物理の教科書などでは上述した {{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} のみを球面調和関数と呼んでいるものも多い。

===  ''Y{{sub|k}}{{sup|m}}''(''&theta;'', ''&phi;'') の意義 ===
{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られる。{{Mvar|k}} 次の斉次多項式 {{Mvar|p}} に対し、変数分離形
: {{Math|1=''p''(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'') = ''R''(''r'') &Theta;(''&theta;'') &Phi;(''&phi;'')}}
でラプラス方程式 {{Math|1=&Delta;''p'' = 0}} を解くと、変数分離形の解は必ず
: <math>p(r,\theta,\phi)=r^k(AY_k{}^m(\theta,\phi)+BY_k{}^{-m}(\theta,\phi)),</math> {{Mvar|m}} は整数で {{Math|''k'' &le; {{mabs|''m''}}}}
と書ける事を証明できる。

{{math proof|
{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られるものである。このことを見るために3次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} を[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} でラプラス作用素を表記すると、
: <math>\Delta=\frac{1}{r^2}(\Delta_r + \Delta_s)</math>
となる。ここで、
: <math>\Delta_r=\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right),</math>
: <math>\Delta_s=\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}
+\frac{1}{\sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}</math>
である。定義より次数 {{Mvar|k}} の球面調和関数は、{{Mvar|k}} 次の斉次多項式 {{Mvar|p}} を単位球面上に制限したものとして表現可能である。{{Mvar|p}} が {{Mvar|k}} 次の斉次多項式である事から、{{Mvar|p}} の極座標表示は
{{NumBlk|:|{{Math|1=''p''(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'') = ''r''{{sup|''k''}}''Y''(''&theta;'', ''&phi;'')}}|{{EquationRef|A1}}}}
の形に書ける。[[ラプラス方程式]] {{Math|1=&Delta;''p'' = 0}} の以下、変数分離解
: {{Math|1=''Y''(''&theta;'', ''&phi;'') = &Theta;(''&theta;'') &Phi;(''&phi;'')}}
を求める。{{Math|''R''(''r'') {{=}} ''r''{{sup|''k''}}}} とすれば、
: <math>\frac{1}{R}\Delta_r R=\frac{1}{R}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\frac{\mathrm dR}{\mathrm dr}\right)=k(k+1)</math>
なので、変数分離解をラプラス方程式の極座標表示に代入することで、
: <math>\frac{1}{Y}\Delta_s Y = -k(k+1)</math>   
が成立する。上式に対してさらに変数分離を適用する事で、複素数 {{Mvar|m}} を適切に選べば
{{NumBlk|:|<math>\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm d^2 \Phi}{\mathrm d\varphi^2} = -m^2</math>|{{EquationRef|A2}}}}
{{NumBlk|:|<math>k(k+1)\sin^2\theta+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}
\left(\sin\theta \frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)=m^2</math>|{{EquationRef|A3}}}}
が成立する事がわかる。以下、{{Mvar|m}} が定数である場合の解を求める。

({{EquationNote|A2}}) は初等的に解くことができ、一般解
{{NumBlk|:|<math>\Phi(\phi)=A\mathrm{e}^{im\phi}+B\mathrm{e}^{-im\phi}</math>|{{EquationRef|A4}}}}
を得られる。ここで {{Mvar|i}} は[[虚数単位]]である。それに対し[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式|スツルム＝リウヴィル型の微分方程式]] ({{EquationNote|A3}}) は {{Math|''t'' {{=}} cos ''&theta;''}} と変数変換すると、{{Math|''y''(''t'') {{=}} &Theta;(arccos ''t'')}} はルジャンドルの陪微分方程式
: <math>(1-t^2)y''(t)-2t\,y'(t)+\left(k(k+1)-\frac{m^2}{1-t^2}\right)y(t)=0</math>
を満たす。よってルジャンドルの陪多項式 {{Math|{{SubSup|P|''k''|''m''}}(''t'')}} を ({{EquationRef|B3}}) のように定義すれば、結論として
{{NumBlk|:|<math>\Theta(\theta)=P_k^{|m|}(\cos{\theta} )</math>|{{EquationRef|A5}}}}
がわかる。ここで {{Mvar|k}} は ({{EquationRef|B2}}) の条件を満たす整数である。そこで {{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} を
:<math>Y_{k}^{m}(\theta, \phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2k+1}{4\pi}\frac{(k-|m|)!}{(k+|m|)!} \,}
\,P_k^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}</math>

と定義すれば、({{EquationNote|A1}}), ({{EquationNote|A4}}), ({{EquationNote|A5}}), ({{EquationNote|B2}}) より、変数分離形の {{Mvar|k}} 次の調和多項式 {{Mvar|p}} は必ず
: <math>p(r,\theta,\phi)=r^k(AY_k{}^m(\theta,\phi)+BY_k{}^{-m}(\theta,\phi)),</math> {{Mvar|m}} は整数で {{Math|''k'' &le; {{!}}''m''{{!}},}}
と書ける事になる。なお、{{Mvar|p}} を直交座標に変換すると {{Mvar|p}} が斉次多項式になっている事を確認できる。
|drop=yes}}
また、3次元空間の場合、{{Mvar|k}} 次球面調和関数全体のなすベクトル空間 ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' の次元は、({{EquationNote|P2}}) より
: <math>\operatorname{dim}_{\mathbf{C}}\mathcal{H}_k=2k+1</math>   
なので、({{EquationNote|B2}}) より、以下の結論が得られる：

{{math theorem|3次元空間の場合、{{Math|{{SubSup|Y|''k''|&minus;''k''}}(''&theta;'', ''&phi;''), …, {{SubSup|Y|''k''|''k''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} は ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' の基底である。すなわち3次元空間の場合、（変数分離形とは限らない）次数 {{Mvar|k}} の斉次多項式（の球面への制限）{{mvar|Y}} が球面調和関数となる必要十分条件は、{{mvar|Y}} がこれらの関数の線形和として書ける事である。|name={{EquationRef|定理1}}}}

== 球面上の完全直交性 ==
本節では、球面調和関数の空間に内積を定義し、球面調和関数がこの内積に関して完全直交性を満たすことを示す。

=== 球面調和関数に対する内積 ===
{{Mvar|n}} 次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の単位球面 {{Math|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}} を ({{EquationNote|P1}}) のように定義し、{{Math|d''S''}} を {{Math|''S''{{sup|''n''&minus;1}}}} 上の[[面積分|面素]]とし、{{Math|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}} 上定義された2つの球面調和関数 {{Math|''f'', ''g''}} の内積を
{{NumBlk|:|<math>\langle f \mid g \rangle_{S^{n-1}}
:= \int_{S^{n-1}}f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})\,\mathrm{d}S </math>|{{EquationRef|C1}}}}
により定義する。なお、面素 {{Math|d''S''}} は[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;''{{sub|1}}, …, ''&theta;''{{sub|''n'' &minus; 1}})}} を
: <math>x_j=\begin{cases}
r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{j-1}\cos\theta_j &\text{if }1\le j\le n-1\\
r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_n                 &\text{if }j=n
\end{cases}</math>
を用いて
: <math>\mathrm{d}S=\prod_{j=1}^{n-1}\sin^{j-1}\theta_j\,\mathrm{d}\theta_1\cdots\mathrm{d}\theta_{n-1}</math>
と書ける{{sfn|野村|2006|p=13}}。特に {{Math|3}} 次元空間の場合は[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} に対し、
: <math>\mathrm{d} S=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi</math>   
である。

=== 直交性 ===
{{Mvar|k}} 次球面調和関数全体のなすベクトル空間を ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' とすると、以上のように定義された内積に対し、以下の事実が成立する事が知られている。
{{math theorem|
2つの非負整数 {{Math|''k'' &ne; ''j''}} に対し、''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' と ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|j}}}}'' は ({{EquationNote|C1}}) で定義された内積に関して直交する。すなわち任意の {{math|''f'' &isin; ''{{mathcal|H}}{{sub|k}}'', ''g'' &isin; ''{{mathcal|H}}{{sub|j}}''}} に対し、{{math|{{langle}}''f''{{!}}''g''{{rangle}}{{sub|''S''{{sup|''n''&minus;1}}}} {{=}} 0}} が成立する<ref name=":2">{{harvnb|野村|2006|pp=15–16}}</ref>。
}}   
特に {{Math|3}} 次元空間では次が成立する。
{{math theorem|
<math>\langle Y_k^m \mid Y_j^s \rangle_{S^{n-1}} =
\begin{cases}1&\text{if }k=j,\, m=s,\\
0&\text{otherwise.}\end{cases}</math>
}}

=== 完全直交性 ===
''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' が更に強い性質を満たすことも証明可能である。{{Math|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}} 上の[[自乗可積分函数]]全体の空間
:{{math|1=''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n'' − 1}}) = { ''f'': ''S''{{sup|''n'' − 1}} → '''C''' {{!}} ''f''}}&nbsp;は[[可測関数|可測]]かつ {{math|{{bra-ket| ''f'' | ''f'' }}{{sub|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}}}} が有限値&nbsp;{{math|{{)}}}}
は ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' を使って直交分解可能である{{R|:2}}：
{{math theorem|
<math>L^2(S^{n-1})=\bigoplus_{k=0}^\infty \mathcal{H}_k </math> （[[ヒルベルト直和]]）。
}}
これを言い換えると、以下の系が従う：
{{math theorem|
任意の {{math|''f'' &isin; ''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n''&minus;1}})}} に対し、[[ルベーグ積分|可積分]]な関数の[[族 (数学)|族]]  {{math|{{mset|''Y{{sub|k}}''}}{{SubSup||''k''{{=}}0|&infin;}}}} で {{Mvar|Y{{sub|k}}}} が {{Mvar|k}} 次球面調和関数となるものが存在し、以下が成立する：
: <math>f(\mathbf{x})=\sum_{k=0}^{\infty}Y_k(\mathbf{x}). </math>
しかもこのような族は一意である。|name=系}}

特に {{Math|3}} 次元の場合は、上述の事実と{{EquationNote|定理1}}から以下が成立する：
{{math theorem|
任意の {{math|''f'' &isin; ''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n'' &minus; 1}})}} に対し、{{mvar|f}} を極座標で表したとき、
: <math>f(\theta,\phi)=\sum_{k=0}^\infin\sum_{m=-k}^k A_{k m}Y_{k}^{m}(\theta, \phi)</math>
を満たす複素数の族 {{math|{{mset|''A''{{sub|''k'', ''m''}}}}{{sub|''k'' {{=}} 0, 1, …; ''m'' {{=}} &minus;''k'', …, ''k''}}}} で
: <math> \sum_{k=0}^\infin \sum_{m=-k}^k A_{k m}{}^2 < \infty</math>
となるものが一意に存在する。
}}

== 3次元空間における完全直交性 ==
{{Math|3}} 次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} の球面座標 {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} に対し、
: <math>\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = r^2\sin\theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi</math>    
が成立する。そこで、{{Math|'''R'''}} 上の関数 {{Math|''&chi;'', ''&xi;''}} に対し、{{Math|''&chi;'', ''&xi;''}} の内積を
{{NumBlk|:|<math>\langle \chi\mid\xi \rangle_{R} := \int_{-\infty}^{\infty}\chi(r)\xi(r)r^2\mathrm{d}r </math>|{{EquationRef|D1}}}}
により定義し、さらに {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} の関数 {{Math|''f''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}}} の内積を
{{NumBlk|:|<math>\langle f_1 \mid f_2 \rangle
 := \int_{\mathbf{R}^3}f_1(\mathbf{x})f_2(\mathbf{x})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z</math>
|{{EquationRef|D2}}}}
とする。{{Math|''f''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}}} が
: {{Math|''f''{{sub|1}}(''x'') {{=}} ''&chi;''{{sub|1}}(''r'') ''Y''{{sub|1}}(''&theta;'', ''&phi;''),  ''f''{{sub|2}}(''x'') {{=}} ''&chi;''{{sub|2}}(''r'') ''Y''{{sub|2}}(''&theta;'', ''&phi;'')}}   
と変数分離形で書けていた場合には、({{EquationNote|C1}}), ({{EquationNote|D1}}), ({{EquationNote|D2}}) で定義した内積は以下の性質を満たす。
: <math>\langle f_1|f_2 \rangle = \langle \chi_1|\chi_2 \rangle_{R} \langle Y_1|Y_2 \rangle_{S}</math>    
({{EquationNote|C1}}), ({{EquationNote|D1}}), ({{EquationNote|D2}}) の内積を用いて自乗可積分な関数全体の集合をそれぞれ {{math|''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|2}}, sin ''&theta;'' d''&theta;'' d''&phi;''), ''L''{{sup|2}}('''R''', ''r''{{sup|2}} d''r''), ''L''{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}}, d''x'' d''y'' d''z'')}} と書くと、ヒルベルト空間の一般論から、次が成立する<ref group="注">なお、{{math|''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|2}}, sin ''&theta;'' d''&theta;'' d''&phi;'')}} は前節で {{Math|''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n'' &minus; 1}})}} と書いていた空間で {{Math|''n'' {{=}} 3}} としたものと同一である。</ref>。

{{Math theorem|次が成立する：
:<math>L^2(\mathbf{R}^3,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z)
=L^2(S^2,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi)\otimes L^2(\mathbf{R},r^2\,\mathrm{d}r)</math> （ヒルベルトテンソル積）。}}

上述した定理と{{EquationNote|定理1}}から、以下の結論が従う。
{{math theorem|
{{Math|'''R'''{{sup|3}}}} 上の任意の自乗可積分関数 {{Math|''f''(''x'', ''y'', ''z'')}} に対し、{{math|{{bra-ket|''&chi;{{sub|k, m}}''|''&chi;{{sub|k, m}}''}}{{sub|''R''}} &lt; &infin;}} を満たす {{Math|'''R'''}} 上の可積分関数の族 {{Math|{{mset|''&chi;''{{sub|''k'', ''m''}}(''r'')}}}} で
: <math>f(r,\theta,\varphi)=\sum_{m=0}^\infty\sum_{k=-m}^m\chi_{k,m}(r)Y_{k,m}(\theta,\phi)</math>    
となるものが一意に存在する。
|name=系}}

== {{Anchors|具体例}}{{Math|''Y<sub>k</sub><sup>m</sup>''(''&theta;'', ''&phi;'')}} の具体例 ==
{{main|球面調和関数表}}
いくつかの球面調和関数の具体的な表式を示す。
:<math>\begin{align}
Y_{0}^{0}&=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\\
Y_{1}^{0}&=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,\cos\theta\\
Y_{1}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\\
Y_{2}^{0}&=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\,(3\cos^2\theta-1)\\
Y_{2}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\cos\theta\,e^{\pm i\varphi}\\
Y_{2}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\,\sin^2\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\
Y_{3}^{0}&=\sqrt{\frac{7}{16\pi}}\,(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)\\
Y_{3}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{21}{64\pi}}\,\sin\theta\,(5\cos^{2}\theta-1)\,e^{\pm i\varphi}\\
Y_{3}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{105}{32\pi}}\,\sin^{2}\theta\cos\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\
Y_{3}^{\pm3}&=\mp\sqrt{\frac{35}{64\pi}}\,\sin^{3}\theta\,e^{\pm3i\varphi}
\end{align}</math>

== 代数的性質 ==
=== 加法定理 ===
球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理
: <math>\cos(\theta'-\theta)=\cos\theta'\cos\theta + \sin\theta\sin\theta'</math>
を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺は[[ルジャンドル多項式]]に置き換えられる。

二つの[[単位ベクトル]] {{Mvar|'''x'''}} および {{Mvar|'''y'''}} を考え、それらの[[球面座標]]をそれぞれ {{Math|(''&theta;'', ''&phi;'')}} および {{Math|(''&theta;''&#x2032;, ''&phi;''&#x2032;)}} とする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる<ref>{{Cite book|last1=Edmonds|first1=A. R.|title=Angular Momentum In Quantum Mechanics|publisher=Princeton University Press|page=81}}</ref>：

{{NumBlk|:|<math>P_\ell( \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} )
= \frac{4\pi}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}(\theta',\varphi')
\, Y_{\ell m}^*(\theta,\varphi).</math>|{{EquationRef|1}}}}

ここで {{Mvar|P{{sub|&#x2113;}}}} は {{Mvar|&#x2113;}} 次のルジャンドル多項式である。この表式は実数調和関数・虚数調和関数の双方について成り立つ<ref group="注">これは {{Mvar|&#x2113;}} 次の球面調和関数のどんな正規直交基底にも成り立つ。</ref>。この結果は[[単位球面]]上の[[ポアソン核]]の性質を用いて、あるいはベクトル {{Mvar|'''y'''}} を {{Mvar|z}} 軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができる{{sfn|Watson|Whittaker|1927|p=395}}。

特に、{{Math|1='''''x''''' = '''''y'''''}} の場合はウンゼルトの定理{{sfn|Unsöld|1927}}
: <math>\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}^*(\theta,\varphi) \, Y_{\ell m}(\theta,\varphi) = \frac{2\ell + 1}{4\pi}</math>
に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式 {{Math|1=cos{{sup|2}} ''&theta;'' + sin{{sup|2}}''&theta;'' = 1}} を二次元に拡張したものとみなすことができる。

式 ({{EquationNote|1}}) の左辺 {{Math|''P{{sub|&#x2113;}}''('''''x'''''&sdot;'''''y''''')}} は {{Mvar|&#x2113;}} 次の{{仮リンク|帯球調和関数|en|Zonal_spherical_harmonic}}の定数倍である。この観点から、より高次元の場合にも次のように一般化することができる。{{Mvar|Y{{sub|j}}}} を {{Mvar|n}} 次元[[超球面]]上の {{Mvar|&#x2113;}} 次の球面調和関数の張る空間 {{Math|'''H'''{{sub|&#x2113;}}}} の任意の[[正規直交基底]]とする。このとき、単位ベクトル {{Mvar|'''x'''}} に対応する {{mvar|&#x2113;}} 次の帯球調和関数 {{math|{{SubSup|Z|'''''x'''''|(''&#x2113;'')}}}} は以下のように書き下せる{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=§IV.2}}。

{{NumBlk|:|<math>Z^{(\ell)}_{\boldsymbol{x}}({\boldsymbol{y}})
= \sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}\overline{Y_j({\boldsymbol{x}})}\,Y_j({\boldsymbol{y}}).</math>|{{EquationRef|2}}}}

さらに、帯球調和関数 {{math|{{SubSup|Z|'''''x'''''|(''&#x2113;'')}}('''''y''''')}} は適切な[[ゲーゲンバウアー多項式]]の定数倍として表すことができる：
{{NumBlk|:|<math>Z^{(\ell)}_{\boldsymbol{x}}({\boldsymbol{y}})
= C_\ell^{((n-1)/2)}({\boldsymbol{x}}\cdot {\boldsymbol{y}}).</math>|{{EquationRef|3}}}}
{{Mvar|'''x'''}} および {{Mvar|'''y'''}} が球面座標で表される場合、({{EquationNote|2}}) および ({{EquationNote|3}}) を組み合わせると ({{EquationNote|1}}) が得られる。最後に、{{Math|'''''x''''' {{=}} '''''y'''''}} の場合を評価すると次の恒等式が得られる：
: <math>\frac{\dim \mathbf{H}_\ell}{\omega_{n-1}}
=\sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}|Y_j({\boldsymbol{x}})|^2.</math>
ここで {{Math|''&omega;''{{sub|''n'' &minus; 1}}}} は {{Math|(''n'' &minus; 1)}} 次元[[超球の体積]]である。

=== クレブシュ–ゴルダン係数 ===
[[クレブシュ-ゴルダン係数|クレブシュ–ゴルダン係数]]とは、二つの球面調和関数の積を球面調和関数の線形結合で展開する際の展開係数である。ウィグナーの[[3j記号|3-j記号]]や[[6j記号|ラカー係数]]、[[スレーター積分]]など様々な計算方法があるが、本質は同じである。抽象的には、クレブシュ–ゴルダン係数は二つの[[回転群]]の既約表現の[[テンソル積]]を既約表現の和で表わすときの係数と見ることができる。よって、適切に正規化すれば多重度と一致する。

=== パリティ ===
原点に対する点対称操作で符号が替わらない（偶関数）かあるいは符号が逆になる（奇関数）かに依って、球面調和関数に対する「パリティ」が定義される。原点を不動点とする点対称操作は {{math|''P''&Psi;({{vec|''r''}}) {{=}} &Psi;(&minus;{{vec|''r''}})}} と表わせる。立体角で表わせば、{{math|{{mset|''&theta;'', ''&phi;''}}}} を {{math|{{mset|''&pi;'' &minus; ''&theta;'', ''&pi;'' + ''&phi;''}}}} に置き換える操作になる。ルジャンドル陪多項式（Associated Legendre polynomials）はパリティとして {{math|(&minus;1){{sup|&#x2113; + ''m''}}}} を、指数関数は {{math|(&minus;1){{sup|''m''}}}} を与えるので、両者を併せると球面調和関数のパリティは（mには依らずに） {{math|(&minus;1){{sup|&#x2113;}}}} となる。
: <math>Y_\ell^m(\theta,\phi) \; \rightarrow \;
Y_\ell^m(\pi-\theta,\pi+\phi) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\theta,\phi)</math>
このことは、高次元に一般化した場合にも成り立つ。{{mvar|&#x2113;}} 次の球面調和関数に点対称操作を施した場合、符号の変化は {{math|(&minus;1){{sup|&#x2113;}}}} となる。
（これは調和多項式が次数の偶・奇に併せて空間反転で偶関数・奇関数であること、球面調和函数が調和多項式の球面上への制限であることからも容易に理解できる。）

== 量子力学での応用 ==
[[量子力学]]で、[[球対称]]な[[ポテンシャル]] {{math|''V''(''r'')}} に対する1粒子[[シュレーディンガー方程式]]（代表的なものは[[水素原子のシュレーディンガー方程式]]）
:<math>\left\{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right\}\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})</math>
を解いたときに、球面調和関数が現れる。量子力学では {{Math|{{SubSup|Y|''&#x2113;''|''m''}}}} の {{Mvar|&#x2113;, m}} を[[量子数]]と呼び、それぞれ {{Mvar|&#x2113;}} を'''方位量子数'''、{{Mvar|m}} を'''磁気量子数'''という。

球面調和関数は[[軌道角運動量]] {{Mvar|'''&#x2113;'''}} と密接な関係がある。球面調和関数は {{Math|'''''&#x2113;'''''{{sup|2}}}} と {{Mvar|&#x2113;{{sub|z}}}} の同時固有関数になっており、その固有値はそれぞれ {{math|''&#x127;''{{sup|2}}''&#x2113;''(''&#x2113;'' + 1), ''m&#x127;''}} である。すなわち
: <math>\boldsymbol{\ell}^2Y_\ell^m=\hbar^2\ell(\ell+1)Y_\ell^m</math>
:<math>\ell_z Y_\ell^m=m\hbar Y_\ell^m</math>
となる。また、上昇下降演算子 {{math|''&#x2113;''<sub>+</sub>, ''&#x2113;''<sub>&minus;</sub>}} を球面調和関数に作用させると
:<math>\ell_+ Y_\ell^m=\hbar\sqrt{(\ell-m)(\ell+m+1)}\, Y_\ell^{m+1}</math>
:<math>\ell_- Y_\ell^m=\hbar\sqrt{(\ell+m)(\ell-m+1)}\, Y_\ell^{m-1}</math>
:<math>\ell_+ Y_\ell^\ell=0,\quad\ell_- Y_\ell^{-\ell}=0</math>
となる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist|30em}}

== 文献 ==

=== 参考文献 ===
* {{Cite web|url=http://www.cis.upenn.edu/~cis610/sharmonics.pdf|title=Notes on Spherical Harmonics and Linear Representations of Lie Groups|accessdate=2017/08/29|author=Jean Gallier (Department of Computer and Information Science University of Pennsylvania)|year=2013|format=PDF|publisher=[[ペンシルバニア大学]]|ref={{SfnRef|Gallier |2013}}}}
* {{Cite web|和書|url=http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/TKRHA.pdf|title=極座標・回転群・SL(2, R)|accessdate=2017-01-04|author=野村隆昭|year=2006|format=PDF|publisher=[[九州大学]]|ref={{SfnRef|野村|2006}}}}
* {{Cite book|ref=H13|author=Brian C.Hall|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics 267|date=July 1, 2013|publisher=Springer}}
* {{Cite web|和書|url=http://www.geod.jpn.org/web-text/part4/4-4/index.html|title=4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式|accessdate=2017-01-04|author=[[高知大学]]自然科学系 [[田部井隆雄]]、神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫、[[京都大学大学院理学研究科]] 福田洋一|year=2004|publisher=日本測地学会|ref={{SfnRef|日本測地学会2004}}}}
* {{Citation|last2=Whittaker|first2=E. T.|last1=Watson|first1=G. N.|authorlink2=エドマンド・テイラー・ホイッテーカー|authorlink1=:en:G. N. Watson|title=A Course of Modern Analysis|publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]]|year=1927|page=392}}
* {{Cite journal|last=Unsöld|first=Albrecht|authorlink=アルブレヒト・ウンゼルト|year=1927|title=Beiträge zur Quantenmechanik der Atome|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|volume=387|issue=3|pages=355–393|issn=0003-3804|lccn=50013519|oclc=5854993|doi=10.1002/andp.19273870304|bibcode=1927AnP...387..355U|ref=harv}}
* {{Cite book|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=:en:Elias M. Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=:en:Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|series=Princeton mathematical series|publisher=[[プリンストン大学出版局|Princeton University Press]]|date=November 1, 1971|asin=069108078X|oclc=919508312|ncid=BA82681515|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.|ref=harv}}

=== その他の文献 ===
* {{Cite book|和書|author=小出昭一郎|authorlink=小出昭一郎|title=量子力学1|edition=改訂版|date=1990-10-05|publisher=[[裳華房]]|series=基礎物理学選書|id={{全国書誌番号|91005557}}|isbn=4-7853-2132-6|ncid=BN05389383|asin=4785321326|oclc=835016094|pages=89-96}}
* {{Cite book|author=L. I. Schiff|authorlink=:en:Leonard I. Schiff|title=Quantum Mechanics|edition=3rd|origdate=1955|date=1968|publisher=McGraw Hill|location=Singapore etc.|asin=0070856435|oclc=632275975|ncid=BA1086214X|isbn=0-07-085643-5|pages=79-80}}
* {{Cite web|url=http://www2.math.su.se/gemensamt/grund/exjobb/matte/2009/rep8/report.pdf|title=Spherical harmonics: a theoretical and graphical study|accessdate=2017-01-04|author=Christian Helanow|year=2009|format=PDF|ref={{SfnRef|Helanow2009}}}}
* {{Cite web|url=http://www.physik.uni-leipzig.de/~rudolph/qm/qmgr.pdf|title=Group Theoretical Aspects of Quantum Mechanics|accessdate=2016-12-01|author=Joṥe Alvarado|date=2007-12-04|format=PDF|ref=A07}}
* 野村隆昭:「球面調和函数と群の表現」、ISBN: 978-4535798182、日本評論社 (2018年7月)。
* Edmonds, A. R.: "Angular Momentum in Quantum Mechanics",　Princeton University Press, ISBN 978-0691025896 (1996). Reprint version.
* 山内恭彦：「回転群とその表現」、岩波書店、ISBN 978-4000051460 (1988年11月)。
* [http://www.ohiouniversityfaculty.com/mohlenka/research/MOHLEN1999P.pdf MartinJ. Mohlenkamp: "A FastTransform for Spherical Harmonics", The Journal of Fourier Analysis and Applications 5(2/3), pp.159-184 (1999). ]
* Kendall Atkinson and Weimin Han: "Spherical Harmonics and Approximations on the Unit Sphere: An Introduction", Springer, ISBN 978-3-642-25982-1 (2012).

== 関連項目 ==
{{Commonscat}}
* [[調和関数]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|球関数|2=[[ブリタニカ百科事典|ブリタニカ国際大百科事典]] 小項目事典}}
* {{Britannica|topic|spherical-harmonic|Spherical harmonic}}

{{DEFAULTSORT:きゆうめんちようわかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:回転対称性]]
[[Category:数学に関する記事]]