環のスペクトルのソースを表示

{{for|ホモトピー論における環スペクトルの概念|{{ill2|環スペクトル|en|Ring spectrum}}}}

[[抽象代数学]]と[[代数幾何学]]において，可換環 {{mvar|R}} の'''スペクトル''' {{math|Spec(''R'')}} とは，{{mvar|R}} のすべての[[素イデアル]]からなる集合である．通常[[ザリスキー位相]]と構造[[層 (数学)|層]]をともに考え，それにより {{math|Spec(''R'')}} は[[局所環付き空間]]である．この形の局所環付き空間は'''アフィンスキーム'''と呼ばれる．

==ザリスキー位相==

可換環 {{mvar|R}} の任意の[[イデアル]] {{mvar|I}} に対し，{{mvar|V{{sub|I}}}} を {{mvar|I}} を含む素イデアルの全体と定義する．この形の集合を[[位相の特徴付け|閉集合]]と定義することで {{math|Spec(''R'')}} に位相を入れることができる．この位相を[[ザリスキー位相]]と呼ぶ．

ザリスキー位相の[[基底 (位相空間論)|基底]]を次のように構成できる．{{math|''f'' ∈ ''R''}} に対し，{{mvar|D<sub>f</sub>}} を {{mvar|f}} を含まない {{mvar|R}} の素イデアル全体と定義する．すると各 {{mvar|D<sub>f</sub>}} は {{math|Spec(''R'')}} の開集合であり，この形の開集合の全体はザリスキー位相の基底である．

{{math|Spec(''R'')}} は[[準コンパクト]]であるが，ほとんど決して[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]ではない．実際，{{mvar|R}} の[[極大イデアル]]がちょうどこの位相での[[閉点]]である．同じ理由により，{{math|Spec(''R'')}} は一般には [[T1空間|{{math|T<sub>1</sub>}} 空間]]ではない{{refnest|group="注釈"|{{math|T<sub>1</sub>}} 空間であるのは0[[クルル次元|次元]]のとき，かつそのときに限る<ref>{{cite books
| title = Encyclopedia of General Topology
| author1 = K. P. Hart
| author2 = J. Nagata
| author3 = J. E. Vaughan
| publisher = Elsevier
| year = 2004
| page = {{google books quote|id=JWyoCRkLFAkC|page=156|156}}
| isbn = 0-444-50355-2
}}</ref>．}}．しかしながら，{{math|Spec(''R'')}} は必ず [[コルモゴロフ空間|{{math|T<sub>0</sub>}} 空間]]である．また，{{仮リンク|スペクトル空間|en|spectral space}}でもある．

==層とスキーム==

ザリスキー位相を持った空間 {{math|1=''X'' = Spec(''R'')}} が与えられると，その'''構造層''' {{mvar|O<sub>X</sub>}} が開集合 {{mvar|D<sub>f</sub>}} 上 {{math|1=Γ(''D''<sub>''f''</sub>, ''O''<sub>''X''</sub>)}} を {{mvar|R}} の {{mvar|f}} における[[環の局所化|局所化]] {{mvar|R<sub>f</sub>}} とすることで定義される．これは {{仮リンク|B 層|en|B-sheaf}}を定義し，したがって層を定義することを示すことができる．より詳しくは，開集合 {{mvar|D<sub>f</sub>}} たちはザリスキー位相の基底であるので，任意の開集合 {{mvar|U}} に対し，これを {{math|{''D''<sub>''f<sub>i</sub>''</sub>}<sub>''i''∈''I''</sub>}} の和集合として表し，{{math|1=Γ(''U'', ''O''<sub>''X''</sub>) = lim<sub>''i''∈''I''</sub> ''R''<sub>''f<sub>i</sub>''</sub>}} とおく．この前層は層であることを確認でき，したがって {{math|Spec(''R'')}} は[[環付き空間]]である．この形の環付き空間に同型なものは'''アフィンスキーム'''と呼ばれる{{要検証|date=2017-08-24}}．一般の[[概型|スキーム]]はアフィンスキームを貼り合わせて得られる．

同様に，環 {{mvar|R}} 上の加群 {{mvar|M}} に対して，{{math|Spec(''R'')}} 上の層 <math>\tilde{M}</math> を定義できる．[[加群の局所化]]を用いて，<math>\Gamma(D_f, \tilde{M}) = M_f</math> とする．上のように，この構成は {{math|Spec(''R'')}} のすべての開集合上の前層に拡張し，貼り合わせの公理を満たす．この形の層は[[準連接層]]と呼ばれる．

{{mvar|P}} が {{math|Spec(''R'')}} の点であるとき，すなわち素イデアルのとき，構造層の {{mvar|P}} における茎は {{mvar|R}} の {{mvar|P}} における局所化に等しく，これは[[局所環]]である．したがって，{{math|Spec(''R'')}} は[[局所環付き空間]]である．

{{mvar|R}} を整域とし，その分数体を {{mvar|K}} とすると，環 {{math|Γ(''U'', ''O''<sub>''X''</sub>)}} をより具体的に以下のように記述できる．{{mvar|K}} の元 {{mvar|f}} が {{mvar|X}} の点 {{mvar|P}} において正則であるとは，{{mvar|b}} を {{mvar|P}} に属さない元として分数 {{math|1=''f'' = ''a''/''b''}} として表せるときにいう．これは代数幾何学における[[多様体の射|正則関数]]の概念と一致することに注意．この定義を用いると，{{math|Γ(''U'', ''O''<sub>''X''</sub>)}} は {{mvar|U}} のすべての点 {{mvar|P}} において正則な {{mvar|K}} の元全体の集合として記述できる．

==関手として==

[[圏論]]のことばを用いて {{math|Spec}} が[[関手]]であることを見ることは有用である．任意の[[環準同型]] {{math|''f'': ''R'' &rarr; ''S''}} は[[連続写像]] {{math|Spec(''f''): Spec(''S'') &rarr; Spec(''R'')}} を誘導する（なぜなら {{mvar|S}} の任意の素イデアルの引き戻しは {{mvar|R}} の素イデアルなので）．このようにして，{{math|Spec}} は可換環の圏から位相空間の圏への反変関手と見ることができる．さらに，任意の素イデアル {{mvar|P}} に対して，準同型 {{mvar|f}} は局所環の準同型
:<math>O_{f^{-1}(P)} \to O_P </math>
に落ちる．したがって，{{math|Spec}} は可換環の圏から局所環付き空間の圏への反変関手をも定義している．実はそれは普遍的なそのような関手であり，したがって自然同型の違いを除いて関手 {{math|Spec}} を定義するのに用いることができる{{fact|date=August 2015}}．

関手 {{math|Spec}} は'''[[可換環の圏]]'''と'''アフィンスキームの圏'''の間の反変同値をもたらし，これらの圏はそれぞれもう一方の[[反対圏]]としばしば考えられる．

==関連項目==
*[[概型|スキーム]]
*[[射影スキーム]]
*[[行列のスペクトル]]
*{{仮リンク|構成可能位相|en|Constructible topology}}
*{{ill2|アフィン性についてのセールの定理|en|Serre's theorem on affineness}}
*{{ill2|エタールスペクトル|en|Étale spectrum}}
*{{ill2|ツィーグラースペクトル|en|Ziegler spectrum}}

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

==参考文献==
* {{Citation | last1=Cox | first1=David | author1-link=David A. Cox | last2=O'Shea | first2=Donal | last3=Little | first3=John | title=Ideals, Varieties, and Algorithms | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94680-1 | year=1997}}
* {{Citation | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link = David Eisenbud | last2=Harris | first2=Joe | author2-link = Joe Harris (mathematician) | title=The geometry of schemes | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-98637-1 | mr=1730819  | year=2000 | volume=197}}
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link = Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | mr=0463157  | year=1977}}

==外部リンク==
* Kevin R. Coombes: [http://www.silicovore.com/agathos/spec.html ''The Spectrum of a Ring'']
* http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL, relative spec
* {{Cite web|author=Miles Reid|url=http://dmat.cfm.cl/library/ac.pdf|title=Undergraduate Commutative Algebra|page=22|url-status=dead|url-status-date=2018-02-16|archiveurl=https://web-beta.archive.org/web/20160414151327/http://dmat.cfm.cl/library/ac.pdf|archivedate=2017-04-10}}

{{Algebraic-geometry-stub}}

{{DEFAULTSORT:かんのすへくとる}}
[[Category:可換環論]]
[[Category:スキーム論]]
[[Category:素イデアル]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]