環上の多元環のソースを表示

[[数学]]の殊に[[環論]]において[[可換環]]上の'''代数'''あるいは'''多元環'''（たげんかん、{{lang-en-short|''algebra''}}）は、[[体上の多元環]]の概念において[[係数体]]を考えるところを置き換えて可換環を[[係数環]]としたものである。

本項においては、環と言えば[[単位的多元環|単位元を持つ]]ものと仮定する。

== 厳密な定義 ==
''R'' を可換環とするとき、''R'' 上の'''多元環''' (''R''-''algebra'') とは、[[環上の加群|''R''-加群]] ''A'' であって、''A'' の乗法と呼ばれる双線型な[[二項演算]] 
: <math>[\bullet,\,\bull]\colon A\times A\to A</math>
を備えたものを言う。即ち ''A'' の乗法は任意のスカラー ''a'', ''b'' &isin; ''R'' と任意の元 ''x'', ''y'', ''z'' &isin; ''A'' について
* [[双線型写像|双線型性]]:<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>
を満たす。

== 結合多元環 ==
{{main|結合的多元環}}
多元環 ''A'' が ''A'' の乗法に関して（[[単位的半群|単位的]]）[[半群]]を成す、つまり乗法が結合的（かつ単位元を持つ）ならば、''R''-多元環 ''A'' は[[結合多元環| ''R''-結合多元環]]と言う。即ち、結合多元環は、それ自体が（環上の）[[環 (数学)|環]]を成し、環の概念を一般化するものである。''R'' 上の結合多元環を、環準同型 ''f'': ''R'' &rarr; ''A'' が存在して ''f'' の像が ''A'' の中心に含まれるような環 ''A'' として定義することもできる。

== 関連項目 ==
* [[結合多元環]]
* [[可換多元環]]
* [[リー環]]
* [[半環]]
例として:
* [[分解型双四元数]]
<!--* {{仮リンク|非結合多元環の例|en|Example of a non-associative algebra}}-->

== 参考文献 ==

*{{Lang Algebra}}

{{DEFAULTSORT:かんしようのたけんかん}}
[[Category:多元環|*]]
[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]