環論のソースを表示

{{Expand English|Ring theory|date=2024年5月}}
{{Wikibooks|環論|環論}}
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[[数学]]において、'''環論'''（かんろん、{{lang-en-short|''ring theory''}}）は（加法と乗法が定義され、[[整数]]の持つ性質とよく似た性質を満足する[[代数的構造]]である）[[環 (数学)|環]]を研究する学問分野である。環論の研究対象となるのは、環の構造や[[環の表現論|環の表現]]（[[環上の加群]]）などについての一般論、および（[[群環]]、[[可除環]]、[[普遍展開環]]などの）具体的な特定の環のクラスあるいは理論と応用の両面で興味深い様々な環の性質（たとえば[[ホモロジー代数|ホモロジー的性質]]や[[PI環|多項式の等式]]）などである。

[[可換環]]は非可換の場合と比べてその性質はよく調べられている。可換環の自然な例を多く提供する[[代数幾何学]]や[[代数的数論]]は可換環論の発展の大きな原動力であった。この二つは可換環に密接に関係する分野であるから、一般の環論の一部というよりは、[[可換環論]]や[[可換体論]]の一部と考えるほうが普通である。 

[[非可換環]]は可換の場合と比べて奇妙な振る舞いをすることが多くあるので、その理論は可換環論とは極めて毛色の異なったものとなる。非可換論は、それ自身の独自の方法論を用いた発展をする一方で、可換環論の方法論に平行する形で（仮想的な）「非可換空間」上の[[函数環]]として幾何学的な方法である種の非可換環のクラスを構築するという方法論が新興している。このような傾向は1980年代の[[非可換幾何学]]の発展と[[量子群]]の発見に始まる。こうした新たなパラダイムは、非可換環（特に非可換[[ネーター環]]）のよりよい理解を導くこととなった {{harv|Goodearl|1989}}。
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環論全般で用いられる定義については[[環論用語一覧]]を参照せよ。-->

== 歴史 ==
可換環論は代数的数論、代数幾何、不変式論などを起源に持つ。これらの主題の発展に中心的な役割を果たしたのは代数体の整数環、代数函数体、多変数多項式環などである。非可換環論は複素数の概念を拡張した様々な[[超複素数系]]を獲得しようとする試みとして始まった。可換環論および非可換環論の起源は19世紀初頭にまで遡ることができるが、分野として成熟するのは1920年代を迎えるころである。

より詳細には、[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]が[[四元数]]および[[複四元数]] {{lang|en|(biquaternion)}} を発見し、[[ジェームズ・クックル]]が[[テッサリン]] {{lang|en|(tessarine)}} および[[双対四元数]] {{lang|en|(coquaternion)}} を提案し、[[ウィリアム・キングドン・クリフォード]]は「代数的運動子」(algebraic motors) と彼自身は呼んだ[[分解型複四元数]]を熱狂的に信奉した。これらの非可換環および非結合的[[リー環]]は、かつてはそれぞれ特定の[[数学的構造]]として別々の主題として扱われたけれども、[[普遍代数学]]のもとで一貫した研究が進められた。こうした再編の証の一つは、これらの代数的構造を記述するのに、[[加群の直和|直和分解]]を考えるのが有効なことである。

[[ジョセフ・ウェダーバーン|ウェダーバーン]] (1908) と[[エミール・アルティン|アルティン]] (1928) によって、多くの超複素数系が[[行列環]]として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は[[体上の多元環|体上有限階の多元環]]に対するもので、アルティンはそれをより一般の[[アルティン環]]に対して一般化した。
{{see also|アルティン-ウェダーバーンの定理}}

== 基本的な定義と導入 ==
{{main|環 (数学)|環論の用語}}
厳密にいうと、環とは[[アーベル群]] (''R'', +) に第二の[[二項演算]] * で、任意の ''a'', ''b'', ''c'' &isin; ''R'' に対して
: <math>a * (b*c) = (a*b) * c</math>
: <math>a * (b+c) = (a*b) + (a*c)</math>
: <math>(a+b) * c = (a*c) + (b*c)</math>

を満たすようなものをあわせて考えたものである。環 ''R'' にさらに'''乗法単位元''' {{lang|en|(multiplicative identity, ''unity'')}} すなわち、''R'' の全ての元に対して
: <math>a*e = e*a = a</math>
を満たす元 ''e'' が ''R'' に存在するならば、''R'' は'''単位元を持つ環'''（単位的環）であるという。整数の環における整数 1 はこのような乗法単位元の例になっている。

乗法単位元 ''e'' が[[加法単位元]]（零元）に等しい環は、必ずただ一つの元からなる環で、[[自明な環]]と呼ばれる。

ある環は、それが別の環の中に実現されるとき、[[部分環]]と呼ばれる。また、環の間の写像であって、環の演算を保つものは、[[環準同型]]と呼ばれる。全ての（単位的）環と環準同型を合わせて考えたものは、[[環の圏|（単位的）環の圏]]とよばれる[[圏 (数学)|圏]]を成す。環論において重要な概念である[[イデアル (環論)|イデアル]]は、環準同型の[[核 (代数学)|核]]として得られる特定の種類の部分集合であり、[[剰余環]]を定義するのに用いられる。イデアル、準同型および剰余環についての基本的な事実は、[[準同型定理]]および[[中国の剰余定理]]として述べることができる。

「環が'''可換'''」であるというのは、その乗法が[[交換法則|可換]]であるという意味である。可換環は[[数 (数学)|数体系]]と非常によく似た構造であり、実際多くの定義が[[整数]]に対して知られている性質を可換環が持つようにするために考えられたものである。可換環は[[代数幾何学]]においても重要な役割を果たす。可換環論においては、「数」の代わりとしてイデアルを考えることがしばしば有効で、例えば[[素イデアル]]の定義は[[素数]]の本質を捉えようとして考えられたものである。[[整域]]は非自明な可換環で、零元と異なるどの二つの元を掛けても零元にならないという性質を満たすものだが、これは整数の性質のひとつを一般化したもので、可除性の研究に対する固有の領域を与えるものになっている。さらに、[[主イデアル整域]]は任意のイデアルをただ一つの元で生成することができるような整域で、やはり整数とある種の性質を共有するものになっている。[[ユークリッド整域]]と呼ばれる整域では[[ユークリッドの互除法]]を展開することができる。他の重要な可換環の例としては[[多項式]]全体の成す環およびその剰余環がある。簡単にまとめると、

: [[ユークリッド整域]] &sub; [[主イデアル整域]] &sub; [[一意分解整域]] &sub; [[整域]] &sub; [[可換環]]

のような関係になっている。

非可換環は多くの点で[[行列]]の成す環が雛形となっている。また、[[代数幾何学]]をモデルとして、非可換環上に基礎をおく[[非可換幾何学]]を構築しようとする動きもある。非可換環および[[結合多元環]]（大雑把に言うと、環でもあり[[ベクトル空間]]でもあるようなもの）は、しばしばその上の[[加群の圏]]を通した研究が行われる。[[環上の加群]]とは、環が[[群自己準同型]]として[[作用 (数学)|作用]]する[[アーベル群]]であり、[[可換体|体]]（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）が[[ベクトル空間]]に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。非可換環の例は[[正方行列]]の成す環やもっと一般にアーベル群や加群の上の自己準同型全体の成す環、あるいは[[群環]]・[[モノイド環]]などによって与えられる。

== 一般化 ==
任意の環は単一対象[[前加法圏]] {{lang|en|(preadditive category)}} とみなすことができる。従って、任意の前加法圏を自然に環の概念の一般化と考えることができるが、実際に環に対して通常考えられる多くの定義や定理を、もっと一般の前加法圏に対する文脈でも適当に翻訳して扱うことができる。たとえば、前加法圏の間の[[加法的函手]]は環準同型を一般化するものであり、前加法圏のイデアルは[[射 (圏論)|射]]の集合であって、射の和と任意の射による合成とに関して閉じているようなものとして定義することができる。

== 関連項目 ==
* [[環上の多元環]]
* [[群論]]
* [[体論]]
* [[抽象代数学]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
*[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html  History of ring theory at the MacTutor Archive]
* {{cite book | author=R.B.J.T. Allenby | title=Rings, Fields and Groups|publisher= Butterworth-Heinemann | year=1991 | isbn=0-340-54440-6}}
* [[Michael Atiyah|Atiyah M. F.]], [[Ian G. Macdonald|Macdonald, I. G.]], ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
* {{cite book | author=T.S. Blyth and E.F. Robertson| title=Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3| publisher= Cambridge university Press| year=1985| isbn=0-521-27288-2}}
* Faith, Carl, ''Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra''. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. xxxiv+422 pp.&nbsp;ISBN 0-8218-0993-8
* Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., ''An introduction to noncommutative Noetherian rings''. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp.&nbsp;ISBN 0-521-36086-2
* Herstein, I. N., ''Noncommutative rings''. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp.&nbsp;ISBN 0-88385-015-X
* [[Nathan Jacobson]], ''Structure of rings''. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
* [[Nathan Jacobson]], ''The Theory of Rings''. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
* {{Cite web | last1=Judson | first1=Thomas W. | title=Abstract Algebra:  Theory and Applications | year=1997 | url=http://abstract.ups.edu |accessdate=2019-01-02 |language=en}}  An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory.  Free downloadable PDF with open-source [[GNU Free Documentation License|GFDL]] license.
* Lam, T. Y., ''A first course in noncommutative rings''. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp.&nbsp;ISBN 0-387-95183-0
* Lam, T. Y., ''Exercises in classical ring theory''. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp.&nbsp;ISBN 0-387-00500-5
* Lam, T. Y., ''Lectures on modules and rings''. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp.&nbsp;ISBN 0-387-98428-3
* McConnell, J. C.; Robson, J. C. ''Noncommutative Noetherian rings''. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp.&nbsp;ISBN 0-8218-2169-5
* Pierce, Richard S., ''Associative algebras''. Graduate Texts in Mathematics, 88. Studies in the History of Modern Science, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. xii+436 pp.&nbsp;ISBN 0-387-90693-2
* Rowen, Louis H., ''Ring theory''. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2 
* Connell, Edwin, Free Online Textbook, http://www.math.miami.edu/~ec/book/

== 日本語教科書 ==
* 東屋五郎：「單純環の代數的理論」、河出書房（1951年）.
* 中山正、東屋五郎：「代數學 II：環論」、岩波書店 (1954年4月15日).
* 中井喜和：「可換環と微分」、共立出版（1973年7月20日）。
* 永田雅宜：「可換環論」、紀伊國屋書店（紀伊國屋数学叢書 1）（1974年7月15日）。
* マッコイ、九野昇司(訳)：「環論：増補改訂版」、内田老鶴圃（1987年4月10日）。※ 増補改訂前の初版は1975年3月1日。
* 酒井文雄：「環と体の理論」、共立出版（共立講座21世紀の数学 8）、ISBN 4-320-01560-6 (1997年2月25日)。
* 岩永恭雄、佐藤眞久：「環と加群のホモロジー代数的理論」、日本評論社、ISBN 4-535-78367-5 (2002年10月15日)。
* 堀田良之：「可換体と体」、岩波書店、ISBN 4-00-005198-9 (2006年6月9日)。
* 谷崎俊之：「非可換体」、岩波書店、ISBN 4-00-005875-4 (2006年7月7日)。
* 後藤四郎、渡辺敬一：「可換環論」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78309-6 (2011年9月30日)。
* 新妻弘：「可換環論の様相：クルルの定理と正則局所環」、近代科学社、ISBN 978-4-7649-0554-2 (2017年12月31日)。



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