生成消滅演算子のソースを表示

'''生成消滅演算子'''（せいせいしょうめつえんざんし、{{lang-en-short|creation and annihilation operators}}）は、量子的な[[調和振動子]]や[[多体問題]]など、[[量子論]]において基本変数として広く使われる[[演算子 (物理学)|演算子]]である。
<ref name='Feynman1998p151'>{{harv|Feynman|1998|p=151}}</ref> 

量子論では、[[正準変数]]で量子化することでできた量子論を、生成消滅演算子を基本変数にした量子論に書き換えることがしばしば行われる。

'''消滅演算子'''は、状態の粒子の数を1だけ減らす演算子である。
'''生成演算子'''は、状態の粒子の数を1だけ増やす演算子で、消滅演算子のエルミート共役をとったものである。

生成消滅演算子は様々な粒子の状態に作用することができる。
例えば、[[量子化学]]や[[多体理論]]において、生成消滅演算子は[[電子状態]]に作用される。

[[ボース粒子]]における生成消滅演算子の扱いは、量子的な調和振動子における扱いと同様である。
<ref name='Feynman1998p167'>{{harv|Feynman|1998|p=167}}</ref> 
例えば、同じボース粒子状態に関連する生成消滅演算子の[[交換子]]は1に等しく、他のすべての交換子は0である。
一方、[[フェルミ粒子]]では状況が異なり、交換子のかわりに反交換子が含まれている。
<ref name="Feynman1998p174-5">{{harv|Feynman|1998|pp=174–5}}</ref>

==量子的な調和振動子の例==

時間に依存しない量子的な1次元調和振動子の[[シュレディンガー方程式]]から出発する。
:<math>\left(\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2} \hat{q}^2\right) \psi(x) = E \psi(x)</math>

ここで、'''消滅演算子'''<math>\hat{a}</math>を以下で定義し、そのエルミート共役<math>\hat{a}^\dagger</math>を'''生成演算子'''と呼ぶことにする。
:<math> \hat{a} \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{2\hbar}}\hat{q} + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar \omega}}\hat{p}</math>
:<math> \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2\hbar}}\hat{q} - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar \omega}}\hat{p}</math>

生成消滅演算子を用いると、調和振動子のシュレディンガー方程式は以下のような簡単な形に書き換えられる。
:<math> \frac{\hbar \omega}{2} ( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger) \psi(q) = E \psi(q)</math>

===性質===
* 定義から明らかなように、<math>\hat{a}</math>、<math>\hat{a}^\dagger</math>は[[エルミート作用素|自己共役]]でも[[オブザーバブル]]でもない。

* <math>\{\hat{q},\hat{p}\}</math>と<math>\{\hat{a},\hat{a}^\dagger\}</math>は一対一に対応している。よって全ての物理量は<math>\{\hat{q},\hat{p}\}</math>でも表せるし、<math>\{\hat{a},\hat{a}^\dagger\}</math>でも表せる。<math>\{\hat{q},\hat{p}\}</math>による量子化を正準量子化と呼ぶのに対し、<math>\{\hat{a},\hat{a}^\dagger\}</math>による量子化を[[第二量子化]]と呼ぶことがある。正準量子化は、その基本変数<math>\{\hat{q},\hat{p}\}</math>は自己共役であるのに対し、第二量子化は、その基本変数<math>\{\hat{a},\hat{a}^\dagger\}</math>は自己共役でもオブザーバブルでも無いのが特徴である。

* [[交換関係 (量子力学)|交換関係]]は、
:<math> [\hat{a}, \hat{a}^\dagger ] = 1 </math>

=== 応用 ===
量子的な調和振動子の基底状態<math>\ \psi_0(q)</math>以下の条件を満たす。
:<math> a \ \psi_0(q) = 0</math>
波動関数は以下の微分方程式を満たす。

:<math>q \psi_0 + \frac{d\psi_0}{dq} = 0</math>

この解は

:<math>\psi_0(q) = C \exp(-{q^2 \over 2}).</math>

規格化定数''C''は<math>\int_{-\infty}^\infty \psi_0^* \psi_0 \,dq = 1</math>と[[ガウス積分]]より、&nbsp;<math>1\over \sqrt[4]{\pi}</math> &nbsp;であることが分かる。

===行列表示===
量子的な調和振動子の状態ベクトルで生成消滅演算子を[[行列表示]]すると、

:<math>a^{\dagger}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & \dots & \dots\\
\sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & \dots\\
0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & \dots\\
0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & \dots\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \sqrt{n} & 0\dots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\end{array}\right)
</math>

:<math>a=\begin{pmatrix}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \sqrt{n} & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \ddots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> 

それぞれの行列要素は
<math>a^\dagger_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a}^\dagger | \psi_j\rangle</math>、
<math>a_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a} | \psi_j\rangle</math>である。

== 場の量子論における生成消滅演算子 ==
{{main|第二量子化}}
[[場の量子論|量子論における場]]は、演算子で表される。相互作用が無い場合などでは、[[場の演算子]]が従うべき方程式を（[[フーリエ展開]]などで）解くことができる。その結果、場が粒子の生成消滅演算子で表されることがわかり、多体系と見なすことができる（ただし相互作用がある場合には、一般に生成消滅演算子を導入できるとは限らない<ref name=sakamoto>{{cite book|和書|author=坂本眞人|title=場の量子論-普遍性と自由場を中心として-|series=量子力学選書|year=2014|publisher=[[裳華房]]|isbn=978-4785325114}}</ref>。したがって場が第一義的な基本量であり、ハミルトニアン等の物理量も場を使って書き表す。）

多体系や場の量子論における生成消滅演算子は、[[ボース粒子]]と[[フェルミ粒子]]で定義が異なる。
<math>\mathcal{H}</math>を1粒子[[ヒルベルト空間]]とする。
<math>\mathcal{H}</math>上のすべての<math>f \ </math>における<math>\hat{a}(f) \ </math>によって得られる代数に注目する。

ボース粒子での生成消滅演算子は、[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]を用いて以下のように定義される。
:<math>[a(f),a(g)]=[a^\dagger(f),a^\dagger(g)]=0</math>
:<math>[a(f),a^\dagger(g)]=\langle f|g \rangle</math>,

フェルミ粒子での生成消滅演算子は、[[反交換関係]]を用いて以下のように定義される。フェルミ粒子で交換関係を用いると、エネルギー固有値に下限が無くなる、負のノルム状態が現れるなど、物理的に意味のある理論が得られないためである<ref name=sakamoto/>。
:<math>\{a(f),a(g)\}=\{a^\dagger(f),a^\dagger(g)\}=0 </math>
:<math>\{a(f),a^\dagger(g)\}=\langle f|g \rangle</math>

消滅演算子<math>\hat{a}(f) \ </math>は<math>\mathcal{H}</math>上で反線形である。生成演算子<math>\hat{a}^\dagger(f) \ </math>は<math>\mathcal{H}</math>上で線形である。物理的には、<math>\hat{a}(f) \ </math>は状態<math>|f\rangle</math>の粒子を消滅させ、<math>\hat{a}^\dagger(f) \ </math>は状態<math>|f\rangle</math>の粒子を生成させる。

[[自由場]]の[[真空状態]]は粒子の無い状態である。つまり、

:<math>a(f)|0\rangle=0</math>

ここで<math>|0\rangle</math>は真空状態である。

<math>|f\rangle</math>が規格化<math>\langle f | f \rangle = 1 </math>されている場合、
<math>\hat{a}^\dagger(f)\hat{a}(f) \ </math>は状態<math>|f\rangle</math>の粒子数を与える。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book | last = Feynman | first = Richard P. | authorlink = リチャード・P・ファインマン | title = Statistical Mechanics: A Set of Lectures | publisher = Addison-Wesley | year = 1998 | origyear = 1972 | edition=2nd | location = Reading, Massachusetts | url = https://books.google.co.jp/books?id=Ou4ltPYiXPgC&pg=Front&redir_esc=y&hl=ja | isbn = 978-0201360769| ref=harv }}

==関連項目==
* [[交換関係 (量子力学)]]
* [[第二量子化]]

{{物理学の演算子}}

{{デフォルトソート:せいせいしようめつえんさんし}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:場の量子論]]