異種微分積分学における導函数と積分函数の一覧のソースを表示

{{refimprove|date=2010年1月}}

[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]による[[微分積分学|古典的な微積分]]に代わるものは多く、無数にある{{ill2|非ニュートン微分積分学|en|Multiplicative_calculus#History}}の何れもがそのような例として挙げられる<ref>M. Grossman and R. Katz, [https://books.google.co.jp/books?id=RLuJmE5y8pYC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=false, ''Non-Newtonian Calculus''], ISBN 0-912938-01-3, Lee Press, 1972.</ref>。そういった代替微積分学のほうが、与えられた科学的・数学的な考えを言い表すのに通常の微積分学よりも適しているということが時折ある<ref>Agamirza E. Bashirov, Emine Misirli Kurpinar, and Ali Ozyapici. [http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0022247X07003824 "Multiplicative calculus and its applications"], Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008.</ref><ref>Diana Andrada Filip and Cyrille Piatecki. [https://hal.science/hal-00945781/document "A non-Newtonian examination of the theory of exogenous economic growth"], [http://www.comp-era.net/C5/NURCUEFISCSU%20-%20Romania/default.aspx CNCSIS – UEFISCSU](project number PNII IDEI 2366/2008) and [http://193.49.79.89/leo/index.php LEO], 2010.</ref><ref>Luc Florack and Hans van Assen.[http://www.springerlink.com/content/82057067845wx7v6/ "Multiplicative calculus in biomedical image analysis"], Journal of Mathematical Imaging and Vision, DOI: 10.1007/s10851-011-0275-1, 2011.</ref>。

以下の表は「'''幾何微分積分学'''」{{efn|{{ill2|幾何代数|en|Geometric algebra}}を一般化するものとして{{訳語疑問点範囲|'''幾何解析'''|date=2018年11月}} (geometric calculus) とも呼ばれる {{訳語疑問点範囲|{{ill2|重ベクトル解析|en|Geometric calculus|fr|Analyse multivectorielle}}|date=2018年11月}} と混同してはならない}}と呼ばれる種類の{{ill2|乗法的微分積分学|en|Multiplicative calculus}}（およびその離散版）を念頭に置いた。すなわち、乗法的微分は幾何微分、乗法的積分は幾何積分の意味で用い、差分は[[前進差分]]をとる:
{| class="wikitable nowrap"
|+ 各種微分積分学の対応関係
|-
!| !! 通常の微分積分学<br />（連続・加法的） !! 乗法的微分積分学<br />（連続・乗法的） !! 和分差分学<br />（離散・加法的） !! 乗法的和分差分学<br />（離散・乗法的）
|-
! 導函数
| [[微分]]<math display="block">f'(x) = \lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}}</math>
|[[乗法的微分]]<math display="block">f^{*}(x) = \lim_{h \to 0}{ \left({f(x+h)\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }</math>
|[[有限差分|差分]](difference)<math display="block">\Delta f(x)\,=f(x+1)-f(x)</math>
|[[乗法的差分]]<br />(multiplicative&nbsp;difference)<ref>[http://faculty.uaeu.ac.ae/hakca/papers/khatami.pdf H. R. Khatami & M. Jahanshahi & N. Aliev (2004). "An analytical method for some nonlinear difference equations by discrete multiplicative differentiation"., 5—10 July 2004, Antalya, Turkey – Dynamical Systems and Applications, Proceedings, pp. 455—462]</ref><math display="block">\frac{f(x+1)}{f(x)}</math>
|-
! 原始函数 
| [[不定積分]]<math display="block">\int f'(x)\,dx=f(x)+C</math>
|[[乗法的積分|乗法的不定積分]]<math display="block">\int f^{*}(x)^{dx}=Cf(x)</math>
|[[不定和分]](antidifference)<math display="block">\Delta^{-1}\Delta f(x)=f(x)+C</math>
|[[乗法的不定和分]]<br />(indefinite product)<ref>[http://faculty.uaeu.ac.ae/hakca/papers/jahanshahi.pdf M. Jahanshahi, N. Aliev and H. R. Khatami (2004). "An analytic-numerical method for solving difference equations with variable coefficients by discrete multiplicative integration"., 5—10 July 2004, Antalya, Turkey – Dynamical Systems and Applications, Proceedings, pp. 425—435]</ref><math display="block">\prod _x \frac{f(x+1)}{f(x)}=Cf(x)</math>
|}
ただし {{mvar|C}} は任意定数（順に、積分定数、積分因数、和分定数、和分因数などと呼ばれる）。以下の表ではこれら任意定数は省略してある。
{| class="wikitable nowrap"
|+ 簡単な函数に対する各種の微分積分
! !! colspan="2" | 通常の微分積分学 !! colspan="2" | 乗法的微分積分学 !! colspan="2" | 和分差分学 !! colspan="2" | 乗法的和分差分学
|-
! 原関数 <math display="block">f(x)</math>
! 微分 <math display="block">f'(x)</math>
! 積分 <math display="block">\int f(x) dx</math>
! 乗法的微分 <math display="block">f^*(x)</math>
! 乗法的積分 <math display="block">\int f(x)^{dx}</math>
! 前進差分 <math display="block">\Delta f(x)</math>
! 不定和分 <math display="block">\Delta^{-1} f(x)</math>
! 乗法的前進差分
! 乗法的不定和分 <math display="block">\prod _x f(x)</math>
|-
! 定数函数: <math display="block">a</math>
| <math display="block">0</math>
| <math display="block">ax</math>
| <math display="block">1</math>
| <math display="block">a^x</math>
| <math display="block">0</math>
| <math display="block">ax</math>
| <math display="block">1</math>
| <math display="block">a^x</math>
|-
! 恒等函数: <math display="block">x</math>
| <math display="block">1</math>
| <math display="block">\frac{x^2}{2}</math>
| <math display="block">\sqrt[x]{e}</math>
| <math display="block">\frac{x^x}{e^x}</math>
| <math display="block">1</math>
| <math display="block">\frac{x^2}{2}-\frac x2</math>
| <math display="block">1+\frac 1x</math>
| <math display="block">\Gamma(x)</math>
|-
! 一次函数: <math display="block">ax+b</math>
| <math display="block">a</math>
| <math display="block">\frac{ax^2+2bx}{2}</math>
| <math display="block">\exp\left(\frac{a}{ax+b}\right)</math>
| <math display="block">\frac{(b+a x)^{\frac{b}{a}+x}}{e^x}</math>
| <math display="block">a</math>
| <math display="block">\frac{ax^2+2bx-ax}{2}</math>
| <math display="block">1+\frac{a}{ax+b}</math>
| <math display="block">\frac{a^x\Gamma(\frac{ax+b}{a})}{\Gamma(\frac{a+b}{a})}</math>
|-
! 逆数函数: <math display="block">\frac 1x</math>
| <math display="block">-\frac{1}{x^2}</math>
| <math display="block">\ln |x|</math>
| <math display="block">\frac{1}{\sqrt[x]{e}}</math>
| <math display="block">\frac{e^x}{x^x}</math>
| <math display="block">-\frac{1}{x+x^2}</math>
| <math display="block">\psi(x)</math>
| <math display="block">\frac{x}{x+1}</math>
| <math display="block">\frac{1}{\Gamma(x)}</math>
|-
! 冪函数: <math display="block">x^a</math>
| <math display="block">ax^{a-1}</math>
| <math display="block">\frac{x^{a+1}}{a+1}</math>
| <math display="block">e^{\frac ax}</math>
| <math display="block">e^{-a x} x^{ax}</math>
| <math display="block">(x+1)^a-x^a</math>
| <math>\frac{B_{a+1}(x)}{a+1}\quad(a\notin \mathbb{Z}^-)</math><br/ >nor <math>\frac{(-1)^{a-1}\psi^{(-a-1)}(x)}{\Gamma(-a)}</math>
| <math display="block">\left(1+\frac 1x\right)^a</math>
| <math display="block">\Gamma(x)^a</math>
|-
! 指数函数: <math display="block">a^x</math>
| <math display="block">a^x\ln a</math>
| <math display="block">\frac{a^x}{\ln a}</math>
| <math display="block">a</math>
| <math display="block">a^{\frac{x^2}{2}}</math>
| <math display="block">(a-1)a^x</math>
| <math display="block">\frac{a^x}{a-1}</math>
| <math display="block">a</math>
| <math display="block">a^{\frac{x^2-x}{2}}</math>
|-
! <math display="block">\sqrt[x]{a}</math>
| <math display="block">-\frac{\sqrt[x]{a}\ln a}{x^2}</math>
| <math display="block">x\sqrt[x]{a}-\operatorname{Ei}\left(\frac{\ln a}{x}\right)\ln a</math>
| <math display="block">a^{-\frac{1}{x^2}}</math>
| <math display="block">a^{\ln x}</math>
| <math display="block">a^{\frac{1}{1+x}}-a^{\frac{1}{x}}</math>
| <math display="block">?</math>
| <math display="block">a^{-\frac{1}{x+x^2}}</math>
| <math display="block">a^{\psi(x)}</math>
|-
! 対数函数: <math display="block">\log_a x</math>
| <math display="block">\frac{1}{x \ln a}</math>
| <math display="block">\log_a x^x-\frac{x}{\ln a}</math>
| <math display="block">\exp \left(\frac{1}{x\ln x}\right)</math>
| <math display="block">\frac{(\log_a x)^x}{e^{\operatorname{li}(x)}}</math>
| <math display="block">\log_a\left(\frac 1x +1\right)</math>
| <math display="block">\log_a \Gamma(x)</math>
| <math display="block">\log_x (x+1)</math>
| <math display="block">?</math>
|-
! <math display="block">x^x</math>
| <math display="block">x^x(1+\ln x)</math>
| <math display="block">?</math>
| <math display="block">ex</math>
| <math display="block">e^{-\frac{1}{4}x^2(1-2\ln x)}</math>
| <math display="block">(x+1)^{x+1}-x^x</math>
| <math display="block">?</math>
| <math display="block">\frac{(x+1)^{x+1}}{x^x}</math>
| <math display="block">\operatorname{K}(x)</math>
|-
! ガンマ函数: <math display="block">\Gamma(x)</math>
| <math display="block">\Gamma(x)\psi(x)</math>
| <math display="block">?</math>
| <math display="block">e^{\psi(x)}</math>
| <math display="block">e^{\psi^{(-2)}(x)}</math>
| <math display="block">(x-1)\Gamma(x)</math>
| <math display="block">(-1)^{x+1}\Gamma(x)(!(-x))</math>
| <math display="block">x</math>
| <math display="block">\frac{\Gamma(x)^{x-1}}{\operatorname{K}(x)}</math>
|-
| colspan="9" style="font-size: smaller;" |
* <math>\psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>は[[ディガンマ関数]]、
* <math>K(x)=e^{\zeta'(-1,x)-\zeta'(-1)}=e^{\frac{z-z^2}{2}+\frac z2 \ln (2\pi)-\psi^{(-2)}(z)}</math>は[[K関数]]、
* <math>(!x)=\frac{\Gamma(x+1,-1)}{e}</math>は[[完全順列#モンモール数|モンモール数]]、
* <math>B_a(x)=-a\zeta(-a+1,x)</math>は次数が[[実数]]に一般化された[[ベルヌイ多項式]]
である。
|}

== 関連項目 ==
*[[前進差分]]
*[[不定和分]]
*{{仮リンク|乗法的微分|en|Multiplicative calculus#Multiplicative derivatives}}
*[[乗法的積分]]
*[[乗法的前進差分]]
*[[乗法的不定和分]]

== 注釈 ==
{{notelist}}
== 出典 ==
<references />

{{DEFAULTSORT:いしゆひせきふんかくにおけるとうかんすうとせきふんかんすうのいちらん}}
[[Category:非ニュートン微分積分学]]
[[Category:数学の一覧]]
[[Category:数学に関する記事]]