発散定理のソースを表示

{{Expand English|Divergence theorem|date=2024年5月}}
{{calculus}}
'''発散定理'''（はっさんていり、{{lang-en|divergence theorem}}）は、[[ベクトル場]]の[[発散 (ベクトル解析)|発散]]を、その場によって定義される流れの[[面積分]]に結び付けるものである。

'''ガウスの定理'''（ガウスのていり、{{lang-en|Gauss' theorem}}）とも呼ばれる。

==発見==
[[1762年]]に[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]によって発見され、その後[[カール・フリードリヒ・ガウス]]（1813年）、[[ジョージ・グリーン]]（1825年）、[[ミハイル・オストログラツキー]]（1831年）によって、それぞれ独立に再発見された<ref>
C. F. Gauss, [https://books.google.co.jp/books?id=MDE4AAAAMAAJ&oe=UTF-8&redir_esc=y Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs-kräfte], ''Res. Beob. magn. Vereins'' '''4''', 1, 1840</ref>{{refnest|group="注"|オストログラツキーは発散定理を1828年にパリで口頭報告しているものの、その内容は公刊されず、1831年の[[サンクトペテルブルク]]での学会報告のみが残されている<ref>M. Ostorgradsky, Note sur la théorie de la chaleur, ''Mém. Acad Sci. St.-Pétersb''. '''1''', 129, 1831; Deuxième note sur la  théorie de la chaleur, ''ibid''. '''1''', 123,1831</ref>。}}。オストログラツキーは、またこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。

==定理の内容==
数式を用いて述べると次のようになる。まず、'''R'''<sup>3</sup> で定義された[[滑らかな関数|滑らか]]なベクトル場 <math>\boldsymbol{F}=(F_1,F_2,F_3)</math> に対して ''F'' の'''発散''' div ''F'' を

:<math>\operatorname{div}\boldsymbol{F}:=
\frac{\partial F_1}{\partial x}+
\frac{\partial F_2}{\partial y}+
\frac{\partial F_3}{\partial z}</math>

と定義する。発散は&nabla;([[ナブラ]];nabla)を用いると,

:<math>\operatorname{div}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}</math>

と表され,ベクトルの内積([[ドット積]])となる.

''V'' を '''R'''<sup>3</sup> において滑らか（ここでは ''C''<sup>1</sup> 級でよい）な境界 &part;''V'' をもつ有界な領域（= 連結[[開集合]]）とし、''F'' を ''V'' の[[閉集合|閉包]]で定義されている滑らかなベクトル場とすると、

:<math>
\iiint_V \operatorname{div} \boldsymbol{F}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=
\iint_{\partial V} \boldsymbol{F}\!\cdot\!\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S</math>

が成り立つ。ここで、''n'' は ''V'' の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには &part;''V'' が区分的に ''C''<sup>1</sup> 級であれば十分である。

この定理は div という演算が発散（あるいは''湧出量''）と呼ばれる所以でもある。右辺はベクトル場が領域 ''V'' の表面から流出する量であり、それが左辺の表す領域全体でのベクトル場の発散の値の積分に等しいことを表している。

この定理は、一般的な[[ストークスの定理]]から導くことができる。

==一般化されたストークスの定理との対応==
発散定理は、以下のように[[一般化されたストークスの定理]]において、[[微分形式|2次微分形式]]の&omega;を考えた場合に相当する。
:<math>
\int_{\partial V} \omega = \int_V \mathrm{d}\omega 
</math>
ここで&omega;は
:<math>
\omega:= F_1\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + F_2 \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x +F_3 \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y 
</math>
であり、その[[外微分]]は次式で与えられる。
:<math>
\mathrm{d} \omega := 
\biggl ( \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}
\biggr ) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z
</math>

==応用==
発散定理を[[電磁気学]]に応用して、[[電荷]]から湧き出す[[電場]]についての[[ガウスの法則]]を数学的に記述できる（⇒[[マクスウェルの方程式]]）。
: <math> \oint_S \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = \frac{Q}{\varepsilon _0} = \frac{1}{\varepsilon _0} \int_V \rho\, \mathrm{d} V  </math> 　積分形表現
:<math> \operatorname{div} \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon _0}</math>　　微分形表現（静電場のガウスの発散定理）

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
===注釈===
{{reflist|group="注"}}
===出典===
{{reflist}}

==参考文献==
* [[太田浩一]] 『マクスウエル理論の基礎　相対論と電磁気学』[[東京大学出版会]]（2002年）ISBN 978-4130626040

==関連項目==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[[グリーンの定理]]
*[[ケルビン・ストークスの定理]]
*[[ストークスの定理]]
*[[ベクトル解析の公式の一覧]]

{{DEFAULTSORT:はつさんていり}}
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:微分積分学の定理]]
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