白川の定理のソースを表示

[[ファイル:白川の定理.jpg|代替文=|サムネイル|青と赤と橙と緑の三角形の面積は等しい。]]
'''白川の定理'''（しらかわのていり）とは[[幾何学]]の[[三角形]]に関する定理である。 当時、高校1年生だった白川昌宏が発見し、[[岩手県立盛岡第一高等学校|盛岡第一高等学校]]少年少女数学愛好会により1990年9月8日に発行された「取れたての定理です」第1巻において発表された。 

== 定理 ==
△ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、 

:△ABC=△AA′A″=△BB′B″=△CC′C″

である。

当時の証明は元の三角形が[[直角三角形]]であることが条件だったが、後に宮本次郎により一般の三角形でも成り立つことが判明した。

== 証明 ==
△ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、

*△ABCの内角で ∠BAC = ''α''

*△AA′A″の内角で ∠A′AA″ = ''α''′

*△ABC = ''S'', AC = AA′ = ''b'', AB = AA″ = ''c''

とする。

:<math>\bigtriangleup ABC=S=\frac{1}{2}AC\cdot AB \sin \alpha</math>

なので、

:<math>\sin \alpha=\frac{2S}{bc}</math>　'''(1)'''

と表せる。

仮定より、

:∠A′AC + ''α'' + ∠A″AB + ''α''′ = 360°

が成り立つ。正方形なので

:90° + ''α'' + 90° + ''α''′ = 360°,

:''α'' + ''α''′ = 180°,

:''α''′ = 180° − ''α'',

:sin ''α''′ = sin(180° − ''α''),

:sin ''α''′ = sin ''α''.　 '''(2)'''

'''(1), (2)'''より、△AA′A″の面積は、

:<math>\begin{align}
\bigtriangleup AA'A'' &= \frac{1}{2} AA' \cdot AA'' \sin \alpha' \\
&= \frac{1}{2} bc \cdot \frac{2S}{bc} =S.
\end{align}</math>

同様に

:△BB′B″=S,

:△CC′C″=S.

依って、

:△ABC=△AA′A″=△BB′B″=△CC′C″

は示された。

== 関連項目 ==
* [[高田の定理]] - 白川の定理と同じ「取れたての定理です」第1巻に掲載された定理

== 出典 ==
{{参照方法|date=2018年8月}}
* [http://www25.tok2.com/home/toretate/d990906.html とれたて通信 1999年9月6日] - 発見の経緯と直角三角形の時の証明
* [http://www25.tok2.com/home/toretate/home02.html#vol1 「取れたての定理です」第１巻]
* [http://www25.tok2.com/home/toretate/sirakawa.html 白川の定理] - 一般化された結論

{{DEFAULTSORT:しらかわのていり}}
[[Category:三角形に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]