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'''百五減算'''（ひゃくごげんざん）は、未知の数（厳密には 0 ～ 104 の整数）を 3, 5, 7 でそれぞれ割った余りから元の数を求める[[和算]]の一つ。
3 で割った余りには 70、5 で割った余りには 21、7 で割った余りには 15 をかけた合計から 105 未満になるまで繰り返し 105 を引く（つまり 105 で割った余りを求める）もの。

==例==
以下に百五減算を利用して相手の年齢を当てるゲームを示す。これは百五減算を利用した遊びとして典型的なものである。

「あなたの年齢を 3 で割った余りを教えて下さい」と聞いて、例えば「 1 です」という答えを得る。同様に 5 と 7 で割った余りも尋ねてそれぞれ 4 , 5 であると教えてもらったとする。

そこで素早く 1 &times; 70 + 4 &times; 21 + 5 &times; 15 = 229 を計算し、229から105を引けるだけ引いていくと 229 - 105 = 124 , 124 - 105 = 19 となり、余りを聞いただけで「あなたの年齢は 19 歳ですね」と言い当てられるというわけである。

もちろんこの計算だけでは124歳や229歳である可能性もあるのだが、19歳か124歳かは相手を見ればすぐにわかるので、人間の年齢を当てるには十分である。

==背景==
:<math>70 \equiv 0 \pmod{(5\times7)}, 70 \equiv 1 \pmod{3}</math>

:<math>21 \equiv 0 \pmod{(3\times7)}, 21 \equiv 1 \pmod{5}</math>

:<math>15 \equiv 0 \pmod{(3\times5)}, 15 \equiv 1 \pmod{7}</math>より<ref name="algo">{{cite book | 1=和書 | title=C言語による最新アルゴリズム事典 | publisher=[[技術評論社]] | author=奥村晴彦 | authorlink=奥村晴彦 | year=1991 | page=226 | isbn=4-87408-414-1}}</ref>。

== 一般解 ==
3で割った余りを''a''、5で割った余りを''b''、7で割った余りを''c''とするとき、解''x''は、[[合同式]]を用いて

　　　　''x'' ≡ 70''a'' + 21''b'' + 15''c'' (mod 105)

と表される。
解から105を引いた数もまた解になるので、70から105を引いて 70 - 105 = -35 として、別解

　　　　''x'' ≡ -35''a'' + 21''b'' + 15''c'' (mod 105)

を得る。

なお、余りを知る数が3、5、7でなくても、どの2つをとっても[[互いに素 (整数論)|互いに素]]となるような数の組み合わせであれば、[[中国剰余定理]]によりこのような合同式を導くことができる<ref name="algo" />。

==原文==
[[#吉田1977|吉田 1977]]から問題と回答の原文を引用する。
===問題===
第十三　百五げんといふ事

▲{{読み仮名|半|は}}ばかりをきゝてかづを云事なり。{{読み仮名|先|まづ}}七づゝ{{読み仮名|引|ひく}}時、二つ残ると云。又五つひく時、一つ残ると云。又三づゝ引時、二つ残ると云時に、此{{読み仮名|半|は}}ばかりを{{読み仮名|聞|きき}}て惣数を知る。

===回答===
惣数八十六あるといふなり。

　{{読み仮名|先|まづ}}七づゝ引時の半一つを、十五づゝのさん用に{{読み仮名|入|いれ}}、三十とおき、又五づゝ引時の半一つを、二十一と入て{{読み仮名|置|おく}}。又三づゝの時の{{読み仮名|半|は}}を、一つを七十づゝのさん用にして百四十と入て、三口{{読み仮名|合|あはせて}}百九十一有時、百にあまる時には百五はらい、のこり八十六あるといふなり。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

==参考文献==
*{{Cite book|和書|author=吉田光由|authorlink=吉田光由|others=[[大矢真一]]校注|date=1977-10-17|title=塵劫記|series=岩波文庫 青24-1|publisher=岩波書店|pages=pp. 228-229|isbn=4-00-330241-9|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/33/9/3302410.html|ref=吉田1977}}

==関連==
* [[中国の剰余定理]]

== 外部リンク ==
*[http://www.nichinoken.co.jp/column/essay/sansu/2010_m03.html#no07 鬼谷算（きこくさん）]
*{{Kotobank|百五減算|2=世界大百科事典}}
*{{Kotobank|孫子の定理|2=法則の辞典}}

[[Category:算術|ひやくこけんさん]]
[[Category:数学に関する記事|ひやくこけんさん]]