直交多項式のソースを表示

[[数学]]における'''直交多項式列'''（ちょっこうたこうしきれつ、{{lang-en-short|''orthogonal polynomial sequence''}}）または'''直交多項式系''' (system of orthogonal polynomials) は、[[多項式]]の成す[[族 (数学)|族]]（[[多項式列]]）であって、それに属するどの二つの多項式も適当な[[内積]]に関して[[直交]]するものをいう<ref name="toki">時弘哲治、工学における特殊関数、[[共立出版]]。</ref><ref name="aomoto">青本和彦: 直交多項式入門, [[数学書房]], 2013 年.</ref><ref name="pedia">{{SpringerEOM|title=Orthogonal polynomials|urlname=Orthogonal_polynomials}}</ref><ref name="AS">{{Abramowitz_Stegun_ref|22|773}}</ref>。

最も広く用いられる直交多項式列は{{仮リンク|古典直交多項式列|en|classical orthogonal polynomials|zh|正交多項式}}と呼ばれる一群で、[[エルミート多項式]]列、[[ラゲール多項式]]列、{{仮リンク|ヤコビ多項式|en|Jacobi polynomials|de|Jacobi-Polynom|fr|Polynôme de Jacobi|es|Polinomios de Jacobi}}列やそれらの特別の場合としての[[ゲーゲンバウアー多項式]]列、[[チェビシェフ多項式]]列（{{ill2|チェビシェフ補間|en|Chebyshev nodes|ru|Узлы Чебышёва}}や{{ill2|クレンショ―＝カーティス求積|en|Clenshaw–Curtis quadrature}}に使われている）、[[ルジャンドル多項式]]列（[[ガウス求積#ガウス・ルジャンドル公式による求積|ガウス・ルジャンドル公式による求積]]に使われている<ref name="Yamamoto1">{{Cite book |和書 |author=山本哲朗 |title=数値解析入門 |edition=増訂版 |date=2003-06 |publisher=[[サイエンス社]] |series=サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14 |ISBN=4-7819-1038-6}}</ref>）などが含まれる<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AS"/>。

直交多項式系に関する分野は、19世紀後半に[[パフヌティ・チェビシェフ|チェビシェフ]]による[[連分数]]の研究から発展し、[[アンドレイ・マルコフ|マルコフ]]と[[トーマス・スティルチェス|スティルチェス]]が続いた。直交多項式系に関して業績・貢献のある数学者は多数いる（[[直交多項式#研究者・専門家|後述する]]）。

== 一変数および実測度の場合の定義 ==
実数直線上定義された非減少函数 {{mvar|α}} が任意に与えられたとき、函数 {{mvar|f}} の {{mvar|α}} に関する[[ルベーグ&ndash;スティルチェス積分]]
: <math>\int f(x) \; d\alpha(x)</math>
が定義できる<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AS"/>。この積分が任意の多項式に対して有限であるとき、多項式の対 {{mvar|f, g}} に対して[[内積]]
: <math>\langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) \; d\alpha(x)</math>
が定義される<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AS"/>。この演算は多項式全体の成す[[ベクトル空間]]上の半正定値内積であり、{{mvar|α}} が無限個の増加点を持つならば正定値になる。この[[内積]]に関して通常の仕方で直交性が定義できる（つまり二つの多項式が直交するとはそれらの[[内積]]が零であることをいう<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AS"/>）。

このとき多項式列 {{math|(''P''{{msub|''n''}}){{su|b=''n''=0|p=∞}} (deg(''P''{{msub|''n''}}) {{=}} ''n'')}} が直交系であるとは、{{math|''m'' &ne; ''n''}} のとき常に関係式
: <math>\langle P_m, \, P_n \rangle = 0</math>
を満たすことを言う<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AS"/>。即ち直交多項式列は単項式列 {{math|1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, …}} に与えられた内積に関する[[シュミットの直交化|グラム–シュミットの直交化]]を施して得られる<ref name="Yamamoto1"/>。
===正規直交系===
通常はさらに[[正規直交系]]、すなわち
: <math> \langle P_n, P_n \rangle = 1</math>
となることも要求する (これを課すことにより直交多項式列は一意に定まる<ref name="toki"/>)。

=== 絶対連続の場合 ===
{{mvar|α}} が[[ルベーグ測度]] {{mvar|dx}} に対して[[絶対連続]]であるとき、すなわち適当な区間 {{math|[''x''{{msub|1}},''x''{{msub|2}}]}}（{{math|1=''x''{{msub|1}} = &minus;&infin;}} および {{math|1=''x''{{msub|2}} = &infin;}} となってもよい）上に[[台 (数学)|台]]を持つ非負函数 {{mvar|W}} を密度函数 (''weight function'') として
: <math> d\alpha(x) = W(x) \, dx</math>
と書けるとき、[[内積]]も
: <math>\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \; dx</math>
の形に与えられる<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AS"/>。しかし多くの直交多項式系の例において、測度 {{math|''d''α(''x'')}} は {{mvar|α}} の不連続点集合が正の[[測度]]を持ち、このような密度函数 {{mvar|W}} を与えることはできない。

== 直交多項式列の例 ==
===古典直交多項式列===
{{seealso|{{仮リンク|古典直交多項式列|en|Classical orthogonal polynomials|zh|正交多項式}}}}
もっともよく利用される直交多項式系は、実数直線上の適当な区間に[[台 (数学)|台]]を持つ測度に対して直交するものである。例えば：
* 古典直交多項式列<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AS"/><ref name="KS"/><ref name="AAR"/>: ヤコビ多項式列、[[ラゲール多項式]]列、[[エルミート多項式]]列、およびそれらの特別の場合の[[ゲーゲンバウアー多項式]]列、[[チェビシェフ多項式]]列、[[ルジャンドル多項式]]列。
* {{仮リンク|ウィルソン多項式|en|Wilson polynomials|zh|威尔逊多项式}}列<ref name="AAR"/>: ヤコビ多項式列の一般化であり、特別の場合として{{仮リンク|マイズナー&ndash;ポラツェック多項式|en|Meixner–Pollaczek polynomials}}列、{{仮リンク|連続ハーン多項式|en|continuous Hahn polynomials}}列<ref name="hahn"/>および古典直交多項式列などを含み、[[アスキースキーム]]によって記述される<ref name="KS"/><ref name="KLS">Koekoek, R., Lesky, P. A., & Swarttouw, R. F. (2010). Hypergeometric orthogonal polynomials and their <math>q</math>-analogues. [[:en:Springer Science & Business Media]].</ref>。
* {{仮リンク|アスキー&ndash;ウィルソン多項式|en|Askey–Wilson polynomials|fr|Polynôme d'Askey-Wilson|zh|阿斯基-威尔逊多项式}}列はウィルソン多項式列に径数 <math>q</math> を導入 ([[q類似]]) して与えられる<ref name="aomoto"/><ref name="ismail"/><ref name="KS"/><ref name="AW"/><ref name="KLS"/>。
===離散直交多項式列===
適当な[[離散測度]]に関して直交する多項式列は{{仮リンク|離散直交多項式列|en|Discrete orthogonal polynomials|label=離散直交系}}であるという。この場合、[[測度]]が有限台、つまり多項式の無限列ではなく有限列となることもある。{{仮リンク|ラカー多項式|en|Racah polynomials}}列は離散直交多項式列の例であり、特別の場合として[[ハーン多項式]]列<ref name="hahn"/>および[[双対ハーン多項式]]列<ref name="hahn"/>を含む。したがってさらに特別の場合として{{仮リンク|マイズナー多項式|en|Meixner polynomials}}、[[クラウチューク多項式]]列、{{仮リンク|シャルリエ多項式|en|Charlier polynomials}}などが含まれる。
===篩直交多項式列===
{{仮リンク|篩直交多項式列|en|Sieved orthogonal polynomials}}、例えば{{仮リンク|篩超球多項式|en|sieved ultraspherical polynomials}}列、{{仮リンク|篩ヤコビ多項式|en|sieved Jacobi polynomials}}、{{仮リンク|篩ポラツェック多項式|en|sieved Pollaczek polynomials}}列など、は修正された漸化式を持つ。
===単位円上の直交多項式列===
[[ガウス平面]]上の適当な曲線に関する直交多項式系も考えられる。実数直線上を除いてもっとも重要な場合は、考える曲線が[[単位円]]の場合である。{{仮リンク|単位円上の直交多項式列|en|orthogonal polynomials on the unit circle}}には例えば{{仮リンク|ロジャース&ndash;セゲー多項式|en|Rogers–Szegő polynomials|zh|罗杰斯-斯泽格多项式}}列がある。

三角形や円板のような平面領域上で定義された直交多項式の族も存在する。それらの中には、ヤコビ多項式列を用いて書き表すことができるものもある。例えば[[ゼルニケ多項式]]列は単位円板上で直交する。
単位正方形の半分の直角二等辺三角形上での直交多項式の族として Appell多項式がある<ref>Bateman Manuscript Project: ''Higher Transcendental Function'', Vol.2, McGraw-Hill (1953). §12.4："Appell's polynomials", </ref>.

== 性質 ==
実数直線上の非負測度に関する一変数直交多項式列は以下のような性質を満たす。

=== モーメントとの関係 ===
直交多項式列 {{math|{''P''<sub>''n''</sub>} }}を[[モーメント (数学)|モーメント]] {{math|''m''{{msub|''n''}} {{=}} &int; ''x''{{exp|''n''}}&thinsp;''d''&alpha;(''x'')}} を用いて
: <math> P_n(x) = c_n \det\begin{pmatrix}
m_0 & m_1 &  m_2 &\cdots & m_n \\
m_1 & m_2 &  m_3 &\cdots & m_{n+1} \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\
m_{n-1} &m_n& m_{n+1} &\cdots &m_{2n-1}\\
1 & x & x^2 & \cdots & x^{n}
\end{pmatrix}</math>
と表すことができる<ref name="toki"/>。ここに任意定数 {{mvar|c{{msub|n}}}} は {{mvar|P{{msub|n}}}} の正規化に関するものである。

=== 漸化式 ===
直交多項式列 {{math|{''P''<sub>''n''</sub>} }}は以下の形の[[漸化式]]
: <math> P_n(x) = (A_n x + B_n) P_{n-1}(x) + C_n P_{n-2}(x)</math>
を満足する<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="AAR"/><ref name="Yamamoto1"/>。逆の結果は {{仮リンク|ファヴァールの定理|en|Favard's theorem|fr|Théorème de Favard}}を見よ<ref name="ismail"/><ref>Favard theorem. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Favard_theorem&oldid=43634</ref><ref>J. Favard, "Sur les polynomes de Tchebicheff" C.R. Acad. Sci. Paris , 200 (1935) pp. 2052-2053</ref>。

=== クリストッフェル–ダルブーの公式<ref name="toki"/><ref name="aomoto"/><ref name="pedia"/><ref name="AAR"/> ===
{{main|{{仮リンク|クリストッフェル–ダルブーの公式|en|Christoffel–Darboux formula}}}}

=== 零点 ===
{{seealso|ガウス求積|ガウス＝クロンロッド求積法}}
測度 {{mvar|d&alpha;}} が区間 {{math|[''a'', ''b'']}} に[[台 (数学)|台]]を持つならば {{math|''P''<sub>''n''</sub>}} の[[零点]]は全て {{math|[''a'', ''b'']}} に属する<ref name="toki"/><ref name="Yamamoto1"/> (この性質を応用したのが直交多項式による[[多項式補間]]<ref name="toki"/>、[[ガウス求積]]<ref name="toki"/><ref name="AAR"/><ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori">[[森正武]]、数値解析第2版、[[共立出版]]。</ref>、[[ガウス＝クロンロッド求積法]]<ref>Notaris, S. E. (2016). Gauss–Kronrod quadrature formulae–a survey of fifty years of research. Electron. Trans. Numer. Anal, 45, 371-404.</ref>である。)。
====交絡性質====
以下のような交絡性質 (interlacing property): 
: {{math|''m'' > ''n''}} ならば {{mvar|P{{msub|m}}}} の各零点は必ず {{mvar|P{{msub|n}}}} の任意の二つの[[零点]]の間にある。
を満たす<ref name="toki"/>。
====重根の非存在====
{{mvar|P{{msub|n}}}}の零点は全て相異なる実根である（重根を持たない）<ref name="toki"/><ref name="Yamamoto1"/>。

== 多変数の直交多項式列<ref name="iz"/><ref>Dunkl, C. F., & Xu, Y. (2014). Orthogonal polynomials of several variables. [[:en:Cambridge University Press]].</ref> ==
{{仮リンク|マクドナルド多項式|en|Macdonald polynomials}}列<ref>Langer, R. (2008). Symmetric functions and Macdonald polynomials.</ref><ref name="ams">Kuznetsov, V. B. (2006). Workshop on Jack, Hall-Littlewood, and Macdonald Polynomials, September 23-26, 2003, ICMS, Edinburgh, United Kingdom. [[:en:American Mathematical Society]].</ref>は[[アフィンルート系]]の選び方に依存して決まる多変数直交多項式系である。マクドナルド多項式列はその特別の場合として他の多くの多変数直交多項式族、例えば{{仮リンク|ジャック多項式|en|Jack polynomials}}列<ref name="ams"/>、{{仮リンク|ホール&ndash;リトルウッド多項式|en|Hall–Littlewood polynomials}}列<ref name="ams"/>、{{仮リンク|ヘックマン&ndash;オプダム多項式|en|Heckman–Opdam polynomials}}列、{{仮リンク|コーンウィンダー多項式|en|Koornwinder polynomials}}列などを含む。{{仮リンク|アスキー&ndash;ウィルソン多項式|en|Askey–Wilson polynomials|fr|Polynôme d'Askey-Wilson|zh|阿斯基-威尔逊多项式}}列<ref name="AW"/>はある種の階数 {{math|1}} の非被約[[ルート系]]に対するマクドナルド多項式の特別な場合である。

== 関連項目 ==
* {{ill2|アペル列|en|Appell sequence|es|Serie de Appel|zh|阿佩爾序列}}
* [[アスキースキーム]]、超幾何直交多項式列（及びその[[q類似]]）に対する退化図式<ref name="KS"/><ref name="KLS"/>
* [[二項型多項式列]]
* {{ill2|双直交多項式列|en|Biorthogonal polynomials}}
* {{ill2|一般化フーリエ級数|en|Generalized Fourier series|fr|Série de Fourier généralisée}}
* {{ill2|副次測度|en|Secondary measure|fr|Mesure secondaire}}
* [[シェファー列]]
* [[陰計算]]
* [[ロドリゲスの公式]]<ref name="toki"/>
* {{ill2|クリストフェル・ダルブーの公式|en|Christoffel–Darboux formula}}<ref name="toki"/>
==研究者・専門家==
直交多項式に関して業績・貢献のある数学者として以下が挙げられる。
*[[セゲー・ガーボル]]<ref name="szego">{{Cite book | last1=Szegő | first1=Gábor | title=Orthogonal Polynomials | url=https://books.google.co.jp/books?id=3hcW8HBh7gsC&redir_esc=y&hl=ja | publisher= [[:en:American Mathematical Society]] | series=Colloquium Publications | isbn=978-0-8218-1023-1 | mr=0372517 | year=1939 | volume=XXIII | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref>
*[[セルゲイ・ベルンシュテイン]]
*{{仮リンク|Naum Akhiezer|en|Naum Akhiezer|fr|Naum Akhiezer|de|Naum Iljitsch Achijeser}}
*{{仮リンク|Arthur Erdélyi|en|Arthur Erdélyi|de|Arthur Erdélyi}}
*{{仮リンク|Yakov Geronimus|en|Yakov Geronimus}}
*[[ヴォルフガンク・ハーン]]<ref name="hahn">Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten, 2: 4–34, doi:10.1002/mana.19490020103, ISSN 0025-584X, MR 0030647</ref>
*{{仮リンク|Theodore Seio Chihara|en|Theodore Seio Chihara}}<ref name="chihara1">{{cite book | first=Theodore Seio|last= Chihara | title= An Introduction to Orthogonal Polynomials | publisher= Gordon and Breach, New York | year=1978 | isbn = 0-677-04150-0}}</ref><ref name="chihara2">{{Cite journal | last1=Chihara | first1=Theodore Seio | title=Proceedings of the Fifth International Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and their Applications (Patras, 1999) | doi=10.1016/S0377-0427(00)00632-4 | mr=1858267 | year=2001 | journal=[[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]] | issn=0377-0427 | volume=133 | issue=1 | chapter=45 years of orthogonal polynomials: a view from the wings | pages=13–21 | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}
</ref>
*[[ムーラッド・イスマイル]] ([[:en:Mourad Ismail|en]]) <ref name="ismail">{{cite book | last=Ismail|first=Mourad E. H. | title=Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable | year=2005 | isbn=0-521-78201-5 | url = http://www.cambridge.org/us/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521782012 | publisher=Cambridge Univ. Press| location=Cambridge}}</ref><ref name="iz">Ismail, M. E., & Zhang, R. (2017). A review of multivariate orthogonal polynomials. Journal of the Egyptian Mathematical Society, 25(2), 91-110.</ref>
*[[ワリード・アルサラム]] ([[:en:Waleed Al-Salam|en]])
*[[リチャード・アスキー]] ([[:en:Richard Askey|en]], [[:fr:Richard Askey|fr]], [[:de:Richard Askey|de]])<ref name="KS">Koekoek, R., & Swarttouw, R. F. (1996). The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its <math>q</math>-analogue. arXiv preprint math/9602214.</ref><ref name="AAR">[[ジョージ・アンドリューズ|Andrews, G. E.]], Askey, R., & Roy, R. (1999). Special functions. [[:en:Cambridge university press]].</ref><ref name="AW">Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials", Memoirs of the [[:en:American Mathematical Society]], 54 (319): iv+55, doi:10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN 0065-9266, MR 0783216</ref>
*[[ウォルター・ゴーチ]] ([[:en:Walter Gautschi|en]])<ref>Orthogonal polynomials: computation and approximation, [[:en:Oxford University Press]], Oxford, 2004.</ref><ref>Orthogonal polynomials in [[MATLAB]]: exercises and solutions, [[SIAM (学会)|SIAM]], Philadelphia, 2016.</ref>

==出典==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Abramowitz_Stegun_ref|22|773}}
*{{Cite journal | last1=Foncannon | first1=J. J. | title=Review of ''Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable'' by Mourad Ismail | publisher=Springer New York | doi=10.1007/BF02985757 | year=2008 | journal=[[:en:The Mathematical Intelligencer]] | issn=0343-6993 | volume=30 | pages=54–60 | last2=Foncannon | first2=J. J. | last3=Pekonen | first3=Osmo | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}
*{{cite book | last=Ismail|first=Mourad E. H. | title=Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable | year=2005 | isbn=0-521-78201-5 | url = http://www.cambridge.org/us/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521782012 | publisher=[[:en:Cambridge University Press]] | location=Cambridge}}
* {{cite book | first=Dunham |last=Jackson | title= Fourier Series and Orthogonal Polynomials | location= New York | publisher=Dover | origyear=1941|year= 2004 | isbn = 0-486-43808-2}}
*{{dlmf|id=18|title=Orthogonal Polynomials|first=Tom H. |last=Koornwinder|first2=Roderick S. C.|last2= Wong|first3=Roelof |last3=Koekoek||first4=René F. |last4=Swarttouw}}
*{{SpringerEOM|title=Orthogonal polynomials |urlname=Orthogonal_polynomials}}
*{{Cite book | last1=Szegő | first1=Gábor | title=Orthogonal Polynomials | url=https://books.google.co.jp/books?id=3hcW8HBh7gsC&redir_esc=y&hl=ja | publisher= [[:en:American Mathematical Society]] | series=Colloquium Publications | isbn=978-0-8218-1023-1 | mr=0372517 | year=1939 | volume=XXIII | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}
*{{cite journal | first=  Vilmos|last= Totik | year = 2005 | title=Orthogonal Polynomials | journal = Surveys in Approximation Theory | volume = 1 | pages = 70–125 | arxiv = math.CA/0512424}}

* George E. Andrews, Richard Askey, and Ranjan Roy: ''Special Functions'', Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-52178988-2 (1999).
* Richard Beals and Roderick Wong: ''Special Functions and Orthogonal Polynomials''(2nd ed.), Cambridge Univ. Press, ISBN 978-1-10710698-7 (2016). 
* Géza Freud：''Orthogonal Polynomials'', Pergamon Press,  ISBN 978-1-48312698-2 (1971).
* G. Sansone: ''Orthogonal Functions'', (Revised English Edition), Dover, {{ISBN2|978-0-486-66730-0}} (1991).
* Theodore S. Chihara: ''An Introduction to Orthogonal Polynomials'', Dover, ISBN 978-0-486-47929-3 (2011).
* Herbert Stahl and Vilmos Totik: ''General Orthogonal Polynomials'', Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-41534-7 (1992).
* Khrushchev, Sergey: ''Orthogonal Polynomials and Continued Fractions: From Euler's Point of View'', Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-85419-1 (2008).

和書：
* 伏見康治、赤井逸：「[復刊] 直交関数系　増補版」、共立出版、ISBN 978-4-320-03478-5 (2011年)．
* 青本和彦：「直交多項式入門」、数学書房、ISBN 978-4-903342-72-6 (2013年).

==外部リンク==
*[https://mathtrain.jp/orthogonalpoly 直交多項式の意味といくつかの例]
*{{PDFlink|[http://www-is.amp.i.kyoto-u.ac.jp/data/tujimoto/jsiam-ops201307.pdf 直交多項式理論からみえてくる]}}[[可積分系]]
{{authority control}}
{{DEFAULTSORT:ちよつこうたこうしきれつ}}
[[Category:直交多項式|*]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]