直交対角線四角形のソースを表示

{{Expand English|Orthodiagonal quadrilateral|date=2020年12月28日}}
{{暫定記事名|date=2023年2月}}
[[ファイル:Orthodiagonal quadrilateral.svg|サムネイル|直交対角線四角形 (黄色)]]
[[ファイル:Pseudocarre.svg|サムネイル|正方形に内接する直交対角線四角形。]]
'''直交対角線四角形'''（ちょっこうたいかくせんしかっけい、{{Lang-en-short|Orthodiagonal quadrilateral}}）とは、[[対角線]]が[[直交]]している[[四角形]]である<ref>{{Cite book|title=Archiv der Mathematik und Physik|url=https://archive.org/details/archivdermathem31unkngoog|publisher=B. G. Teubner|date=1907|language=German|others=unknown library|last=Berliner Mathematische Gesellschaft}}</ref>。

[[凧形]]、[[菱形]]、[[正方形]]は直交対角線四角形の特殊なタイプである。

== 概要 ==
直交対角線四角形においては、向かい合う辺の長さの2乗の合計はもう一方の向かい合う辺の長さの2乗の合計と等しくなる<ref name="Altshiller-Court">{{citation|last=Altshiller-Court|first=N.|author-link=Nathan Altshiller Court|title=College Geometry|publisher=Dover Publications|year=2007}}. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136-138.</ref><ref name="Mitchell">Mitchell, {{citation|last=Douglas|first=W.|title=The area of a quadrilateral|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=93|year=2009|issue=July|pages=306–309}}.</ref>。

: <math>\displaystyle a^2+c^2=b^2+d^2. </math>

これは、[[ピタゴラスの定理]]からいえることである。これはまた、[[余弦定理]]、[[空間ベクトル]]、[[背理法]]、[[複素数]]の使用など、さまざまな方法で証明できる<ref name=":0">{{citation
 | last = Josefsson
 | first = Martin
 | journal = [[Forum Geometricorum]]
 | pages = 13–25
 | title = Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
 | volume = 12
 | year = 2012}}</ref>。

別の特徴付けによると、凸四角形''ABCD''の対角線が直交することは、次の式が成り立つことに同値である。ただし''P''は対角線の交点である。

: <math>\angle PAB + \angle PBA + \angle PCD + \angle PDC = \pi</math>
この等式は、''P''の四角形の各辺への[[射影]]が[[共円四角形]]の頂点となることとも同値である<ref name=":0" />。

また、凸四角形の対角線が直交することは、その[[ヴァリニョンの定理|ヴァリニョンの平行四辺形]]（四角形の辺の中点を結んでできる平行四辺形）が[[長方形]]であることに同値である<ref name=":0" />。

== 面積 ==
直交対角線四角形の面積''K''は、対角線''p''と''q''の長さの積の半分で求められる<ref>{{citation|last=Harries|first=J.|journal=[[The Mathematical Gazette]]|pages=310–311|title=Area of a quadrilateral|volume=86|year=2002|issue=July}}</ref>。

<math>K=\frac{p\times q}{2}</math>

逆に、この式で面積を計算できる凸四角形は、対角線が直交している<ref name=":0" />。

== 画像 ==
<gallery>
ファイル:A set of inscribed rectangles whose sides are parallel to the diagonals of the quadrilateral.png|四角形<math>ABCD</math>は直交対角線四角形である。また、<math>P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}</math>及び<math>P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}</math>は、四角形<math>ABCD</math>の対角線に平行な[[長方形]]である。
ファイル:A set of inscribed rectangles defined by Pascal-points circles.png|四角形<math>ABCD</math>は直交対角線四角形である。<math>P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}</math>及び<math>P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}</math>は四角形<math>ABCD</math>に内接する長方形である。
ファイル:Orthodiagonal tetragon 8 concyclic points.svg|4つの中点は同一円周上にある。さらに、中点から対辺に下ろした垂線の足もこの円周上にある。
ファイル:Orthodiagonal tetragon 8 concyclic points diag crossing L.svg|対角線の交点から各辺に下ろした垂線の足は、同一円周上にある。さらに、各垂線が対辺と交わる点もこの円周上にある。
ファイル:Midsquare quadrilateral.svg
ファイル:Midsquare trapezoid.svg|[[台形]]かつ直交対角線四角形
ファイル:Midsquare dart.svg|[[凹四角形]]かつ直交対角線四角形
ファイル:Midsquare kite.svg|凧形は直交対角線四角形の特殊な場合である。
ファイル:Quadrilateres a diagonales perpendiculaires.png
</gallery>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 関連項目 ==

* [[ブラーマグプタの定理]]
{{多角形}}
[[Category:四角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{DEFAULTSORT:ちよつこうたいかくせんしかつけい}}