直和 (位相空間論)のソースを表示

{{Unreferenced|date=October 2009}}

[[位相空間論]]および関連した[[数学]]の分野において、[[位相空間]]の族の'''非交和'''（ひこうわ、{{lang-en-short|''disjoint union''}}）または'''直和'''（ちょくわ、{{lang-en-short|''direct sum''}}）とは、台集合の[[非交和]]（集合の直和）に'''非交和位相''' (disjoint union topology) と呼ばれる{{仮リンク|自然な位相|en|natural topology}}を入れることによって形成される位相空間を言う。乱暴な言い方をすれば、2つ以上の空間をそれぞれ個々の空間と見なすと同時に、すべて一緒にした一つの空間としても考えるということである。

非交和空間は[[積空間 (位相空間論)|積空間]]の構成の[[圏論的双対]]となるため、'''余積''' (coproduct) とも呼ばれる。そのほかにも、'''自由合併''' (free union)、'''自由和''' (free sum)、'''位相和''' (topological sum) などの呼び名もある。

== 定義 ==
{{mvar|I}} で添字付けられた位相空間の[[族 (数学)|族]] {{math|{{mset|''X{{sub|i}}'' : ''i'' ∈ ''I''}}}} が与えられたとき、それらの台集合たちの[[非交和]] <math display="inline">X := \coprod_i X_i = \{(x_i,i)\mid x_i\in X_i ,\, i\in I\}</math> において'''自然な入射''' (canonical injection) <math display="inline">\varphi_i \colon X_i \hookrightarrow X;\; \varphi_i(x) := (x,i)</math> がどの {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対しても定まることに注意する。
; 定義 (非交和位相)
: {{mvar|X}} 上の'''非交和位相''' (disjoint union topology) を、上記の自然な入射がすべて[[連続関数|連続]]となる {{mvar|X}} 上の{{仮リンク|最大の位相|en|Finest topology}}（すなわち関数の族 {{math|{{mset|''φ{{sub|i}}''}}}} に対する{{仮リンク|終位相|en|final topology}}）として定義する。
この非交和位相を位相空間の開集合の言葉で陽に書けば、
* {{mvar|X}} の部分集合 {{mvar|U}} が非交和位相に関して[[開集合|開]]であるための必要十分条件は、任意の {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して[[逆像|原像]] <math>\varphi_i^{-1}(U)</math> が {{mvar|X{{sub|i}}}} の開集合となることである。
* {{mvar|X}} の部分集合 {{mvar|V}} が非交和位相に関して {{mvar|X}} に相対開であるための必要十分条件は、任意の {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して {{mvar|X{{sub|i}}}} との交わり {{math|''V'' ∩ ''X{{sub|i}}''}} が {{mvar|X{{sub|i}}}} に[[部分位相空間|相対開]]となることである。
などと表せる。

== 性質 ==
非交和空間 {{mvar|X}} は自然な入射とともに次の[[普遍性]]によって特徴づけることができる:
; 非交和空間の普遍性: 任意の位相空間 {{mvar|Y}} と任意の連続写像の族 {{math|''f{{sub|i}}'': ''X{{sub|i}}'' → ''Y''}} が与えられれば、図式[[Image:Coproduct-02.png|center|alt=Characteristic property of disjoint unions|非交和の普遍性]]を[[可換図式|可換]]にする連続写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が'''ただ一つ存在'''する。
これは非交和が[[位相空間の圏]]における[[余積]]であることを示している。上の普遍性質から、写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が連続であるためには、任意の {{math|''i'' &isin; ''I''}} に対して {{math|1=''f{{sub|i}}'' = ''f'' ∘ ''φ{{sub|i}}''}} が連続であることが必要十分であることが従う。

連続であるだけでなく自然な入射 {{math|''φ{{sub|i}}'': ''X{{sub|i}}'' → ''X''}} は[[開写像と閉写像|開写像かつ閉写像]]である。ゆえに、入射が[[位相的埋め込み]]となることから、各 {{mvar|X{{sub|i}}}} は自然に {{mvar|X}} の[[部分位相空間|部分空間]]と見なすことができる。

== 例 ==
各 ''X''<sub>''i''</sub> が固定された空間 ''A'' に[[同相]]であれば、非交和 ''X'' は ''I'' に[[離散位相]]を与えて ''A'' &times; ''I'' と同相になる。

== 位相的性質の保存 ==
* [[離散空間]]からなる任意の族に対し、それらを項とする非交和は離散である
*''分離性''
** [[T0空間|T<sub>0</sub> 空間]]からなるすべての非交和は T<sub>0</sub> である
** [[T1空間|T<sub>1</sub> 空間]]からなるすべての非交和は T<sub>1</sub> である
** [[ハウスドルフ空間]]からなるすべての非交和はハウスドルフである
*''連結性''
** 2つ以上の空でない位相空間の非交和は[[連結空間|不連結]]である

== 関連項目 ==
* [[積位相]]: 双対の構成
* [[相対位相|部分空間位相]]とその双対[[商位相]]
* {{仮リンク|位相的和集合|en|topological union}}: 交わりのある和の場合に対する一般化

== 外部リンク ==
* {{nlab|urlname=disjoint+union+topological+space|title=disjoint union topological space}}
* {{PlanetMath|urlname=DisjointUnionSpace#Sx3.p2|title=disjoint union, §3 Explanation, ¶2}}
<!--* {{ProofWiki|urlname=Definition:Disjoint_Union_(Topology)|title=Definition:Disjoint Union (Topology)}}-->

{{DEFAULTSORT:ひこうわ (いそうくうかんろん)}}
[[Category:位相空間論]]
[[Category:数学に関する記事]]