直既約加群のソースを表示

[[抽象代数学]]において、[[環上の加群|加群]]が'''直既約'''（ちょくきやく、{{lang-en-short|indecomposable}}）であるとは、その加群が0でなく、2つの0でない[[部分加群]]の[[直和]]として書けないということである{{sfn|Jacobson|2009|p=111}}。直既約でない加群は'''直可約'''（ちょくかやく、{{lang-en-short|decomposable}}）と言う。

直既約は[[単純加群|単純]]（既約）よりも弱い概念である。加群 ''M'' が単純であるとは「真の部分加群 {{math|0 < ''N'' < ''M''}} がない」ことを意味するが、直既約であるとは「{{math|1=''N'' &oplus; ''P'' = ''M''}} と非自明な方法で書けない」ことを意味する。

直既約加群の直和は'''完全直可約'''（かんぜんちょくかやく、{{lang-en-short|completely decomposable}}）と呼ばれる。これは[[単純加群]]の直和である[[半単純加群]]（完全可約加群）よりも弱い概念である。

== 動機付け ==
多くの状況において、興味の対象である加群は完全直可約である。したがってこのとき直既約加群は「構造の基本単位」であり研究する必要のある唯一の対象と考えられる（[[クルル・シュミットの定理]]）。[[可換体|体]]上の加群（[[ベクトル空間]]）や[[単項イデアル整域]] (PID) 上の有限生成加群はこの場合であり、[[線型写像|線型作用素]]の[[ジョルダン標準形]]の基礎となっている。

== 例 ==
=== 体 ===
[[可換体|体]]上の加群は[[ベクトル空間]]である。ベクトル空間が直既約であることと[[次元]]が {{math|1}} であることは同値である。なのですべてのベクトル空間は完全直可約（実際半単純）であり、無限次元なら無限に多くの直和成分をもつ{{sfn|Jacobson|2009|p=111|loc= in comments after Prop. 3.1}}。

=== PID ===
[[PID]]上の有限生成加群は [[PID上の有限生成加群の構造定理]]によって分類される。準素分解は直既約加群への分解であるので、PID上のすべての有限生成加群は完全直可約である。

明示的に書けば、[[素イデアル]] {{mvar|P}} に対して {{math|''R''/''P<sup>n</sup>''}} の形の加群（{{math|1=''P'' = 0}} を含む、このとき {{mvar|R}} になる）は直既約である。すべての有限生成 {{mvar|R}}-加群はこれらの直和である。これが単純であることは {{math|1=''n'' = 1}}（または {{math|1=''P'' = 0}}）であることと同値であることに注意せよ。例えば、位数4の巡回群 {{math|'''Z'''/4'''Z'''}} は直既約であるが単純でない。この群は位数 {{math|2}} の部分群 {{math|2'''Z'''/4'''Z'''}} しか非自明な部分群を持たないが、これは直和因子でない。

[[整数環]] {{math|'''Z'''}} 上の加群は[[アーベル群]]である。[[有限生成アーベル群]]が直既約であることとそれが {{math|'''Z'''}} か[[素数]] {{mvar|p}} と正整数 {{mvar|n}} について {{math|'''Z'''/''p''{{sup|''n''}}'''Z'''}} の形の[[商群]]と[[同型]]であることは同値である。すべての有限生成アーベル群は（有限個の）直既約アーベル群の直和である。

しかしながら、有限生成でない直既約アーベル群が存在する。[[有理数]] {{math|'''Q'''}} はその最も単純な例である。

また[[代数的閉体]]上の一変数多項式環 {{math|''K''[''x'']}} 上の有限生成直既約加群は[[ジョルダン標準形]]の理論により {{math|''K''[''x'']/(''x'' &minus; ''&lambda;'')<sup>''n''</sup> (''&lambda;'' &isin; ''K'', ''n'' &isin; '''N''')}} に限る。

固定した正整数 {{mvar|n}} に対し、[[実数]]体（または任意の体 {{mvar|K}}）上の {{mvar|n}} 次[[全行列環]] {{mvar|R}} を考える。このとき {{mvar|K{{sup|n}}}} は（行列の積によるスカラー倍によって）左 {{mvar|R}}-加群である。これは同型の違いを除いて唯一の直既約 {{mvar|R}}-加群である。すべての左 {{mvar|R}}-加群はこの加群 {{mvar|K{{sup|n}}}} のコピーの（有限か無限の）直和である。

=== 群環 ===
[[標数]] {{math|0}} の体上の[[群環]]は[[マシュケの定理]]により[[半単純環|半単純]]なので、直既約加群と[[単純加群]]の概念は一致する。

一方、正標数の体上の群環に関しては両者が一致するとは限らない。たとえば {{mvar|F}} を標数 {{math|''p'' > 0}} の体とし、{{mvar|P}} を[[位数 (群論)|位数]] {{mvar|q}} の [[巡回群|巡回]] [[p-群|{{mvar|p}}-群]]とする。群 {{mvar|P}} の生成元を {{mvar|x}} とし、
:<math>M_i = \bigoplus_{1 \le j \le i} F(x - 1)^{q - j} \quad (1 \le i \le q)</math>
とおく。このとき {{math|{{mset|''M<sub>i</sub>'' | 1 &le; ''i'' &le; ''q''}}}} は有限次元直既約 {{mvar|FP}}-加群の[[完全代表系|同型類]]である{{Sfn|永尾|津島|2009|loc=問題 IV 1}}。しかしながら、有限次元単純 {{mvar|FP}}-加群の同型類は自明な加群 {{math|''M''<sub>1</sub>}} のみである。

==事実==
* すべての[[単純加群]]は直既約である。上の2つ目の例で示されているように逆は一般には成り立たない。
* 加群の[[自己準同型環]]を見ることで、加群が直既約かどうかわかる。自己準同型環が0でも1でもない[[冪等元]]をもたないことと同値である{{sfn|Jacobson|2009|p=111}}。（{{mvar|f}} が {{mvar|M}} のそのような冪等自己準同型であれば、{{mvar|M}} は {{math|ker(''f'')}} と {{math|im(''f'')}} の直和である。）
* [[組成列|長さ]]有限の加群が直既約であることとその自己準同型環が[[局所環]]であることは同値である。長さ有限の直既約加群の自己準同型についてのより多くの情報は[[フィッティングの補題]]によって提供される。
* 長さ有限の状況において、直既約加群への分解は[[クルル・シュミットの定理]]によって特に役立つ。すべての長さ有限の加群は有限個の直既約加群の直和として書け、この分解は本質的に一意（直和成分が順番と同型を除いて一意という意味）である{{sfn|Jacobson|2009|p=115}}。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| date=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 2 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47187-7}}
* {{Cite book
|和書
|last1      = 永尾
|first1     = 汎
|author     = 永尾汎
|last2      = 津島
|first2     = 行男
|coauthors  = 津島行男
|year       = 2009
|edition    = 第2版
|title      = [http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1310-4.htm 有限群の表現]
|publisher  = [[裳華房]]
|isbn       = 978-4-7853-1310-4
|ref        = harv
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|author=Barile, Margherita|urlname=IndecomposableModule|title=Indecomposable Module}}

{{DEFAULTSORT:ちよくきやくかくん}}
[[Category:加群]]
[[Category:加群論]]
[[Category:数学に関する記事]]