直線束 (射影幾何学)のソースを表示

{{複数の問題}}
[[射影幾何学]]における'''直線束'''<ref group="*">[[微分幾何学]]あるいは[[代数幾何学]]における[[直線束]]は、本項に言う意味とは異なり、一次の[[束 (位相幾何学)| bundle ]]をいう。</ref>（ちょくせんそく、{{lang-en-short|''pencil of lines''}}）は一点を通る直線全体の成す族を言う。[[アフィン幾何学]]（[[ユークリッド幾何学]]）においては、通る点が「[[無限遠点]]」となる場合の直線束は[[平行線]]の族となり、通常の直線束と区別して広義の直線束とも呼ばれる。

== 定義 ==
=== 通常の直線束 ===
<!--[[Image:Fascio proprio.GIF|thumb|300px|Un fascio proprio con centro nell'origine]]-->
通常 (proper) の直線束は'''中心'''あるいは'''台'''と呼ばれる点を通る直線全体の成す族である。即ち、中心はこの族に属する任意の二直線の交点になる。

直線束を表す式は、一本の直線を表す式と同様の形に書けるが、それは定数として一つの[[媒介変数]] {{math|''k''}} を含み、{{math|''k''}} の各値に対して族の各直線が対応する。

垂直線 {{math|''x'' {{=}} ''x''<sub>0</sub>}} を除く各直線を、傾き {{math|''m''}}, {{math|''y''}}-切片 {{math|''q''}} を {{math|''k''}} を媒介変数として
: <math>y = m(k) x + q(k)</math>
と書けば、直線束の中心が {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} であるとき、{{math|''q''(''k'') {{=}} ''y''<sub>0</sub> &minus; ''m''(''k'')''x''<sub>0</sub>}} であるから、直線は
: <math>y-y_0 = m(k)(x-x_0)</math>
の形に書ける。他にも {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} を中心とする直線束を
: <math>(X-x_0) \sin \alpha = (y-y_0) \cos \alpha</math>
と媒介変数表示することもできる。ここで媒介変数 {{math|&alpha;}} は {{math|0 &le; &alpha; &le; &pi;}} の範囲を取る。

=== 広義直線束 ===
<!--[[Image:Fascio improprio.GIF|thumb|300px|Un fascio improprio di rette.]]-->
広義 (improper) な直線束とは、互いに平行な直線全体からなる族を言う。

通常の場合と同様に、広義の直線束も一つの媒介変数 {{math|''k''}} を用いて媒介変数表示ができるが、この場合傾きを表す係数が一定である。すなわち、直線束は
: <math>y = mx + q (k)</math>
の形に書くことができる。ただし、垂直線の場合は
: <math>x = q (k)</math>
である。これらはまた
: <math>a(x-x_0)+b(y-y_0)=k</math>
なる形に書くこともできる。

== 直線束の極点 ==
<!--[[File:Trilinear poles of a pencil of lines.gif|thumb|400px|Animation illustrating the fact that the locus of the trilinear poles of a pencil of lines passing through a fixed point K is a circumconic of the reference triangle.]]-->

[[三線座標]] {{math|( ''X'' : ''Y'' : ''Z'' )}} を持つ点 {{math|''P''}} が三線座標 {{math|( ''x''<sub>0</sub> : ''y''<sub>0</sub> : ''z''<sub>0</sub> )}} を持つ点 {{math|''K''}} を通る直線族の極ならば、極線の方程式は 
: {{math|''x'' / ''X'' + ''y'' / ''Y'' + ''z'' / ''Z'' {{=}} 0}}
であり、これが {{math|''K''}} を通ることから
: {{math|''x''<sub>0</sub> / ''X'' + ''y''<sub>0</sub> / ''Y'' + ''z''<sub>0</sub> / ''Z'' {{=}} 0}}
となり、{{math|''P''}} の軌跡は 
: {{math|''x''<sub>0</sub> / ''x'' + ''y''<sub>0</sub> / ''y'' + ''z''<sub>0</sub> / ''z'' {{=}} 0}}
を満たす。これは座標三角形の頂点を通る円錐曲線である。従って、一点を通る直線の成す束の極点の軌跡は、座標三角形の円錐曲線である。

== 一般化 ==
=== 空間直線の束 ===
三次元ユークリッド空間において一点を通る（あるいは互いに平行な）直線全体の成す族を空間直線束または'''線叢'''<ref>[[岩波数学辞典]] (第二版), 『射影幾何学』</ref> (sheaf of lines, bundle of lines) と呼ぶ。空間直線束の、同一平面上に載っている直線の成す部分族として、平面上の直線束を見ることができる。

=== 非ユークリッド幾何における直線束 ===
非ユークリッド幾何においても、直線束の類似対応するものとして、[[測地線]]束を定義することができる。例えば、[[双曲幾何学]]において二点間の最短経路は双曲線によって与えられ、双曲線の束を考えることができる。この場合、広義の双曲線束の定義にはより注意を要する。

=== 超平面束 ===
付随する[[ベクトル空間]] {{math|''E''}} を持つ[[アフィン空間]]においても、二次の超平面族として超平面束を定義することができる。超平面 {{math|''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>}} がそれぞれ方程式 {{math|''f''<sub>1</sub>(''M'') {{=}} 0, ''f''<sub>2</sub>(''M'') {{=}} 0}} で定義されるとき、
: <math> (\lambda f_ {1} + \mu f_ {2})(M) = 0</math>
なる形の方程式は、二つの超平面 {{math|''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>}} を基として定まると言う。

<!--[[image:Fascio_improprio.GIF|thumb|300px|Improper right beam.]]-->
広義の直線束（すなわち互いに平行な直線族）の場合は、傾きを表す係数が等しいことを以って一般化することができる。すなわち、{{math|''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>}} が同じ方向ベクトル {{math|Ker(&phi;)}} ({{math|&phi;}} は付随するベクトル空間 {{math|''E''}} 上の線型形式) を持つならば、それらの定める {{math|''H''}} も同じ向きを持つ。逆に、方向ベクトル {{math|Ker(&phi;)}} を持つ任意の超平面は {{math|(&lambda;''f''<sub>1</sub> + &mu;''f''<sub>2</sub>)(''M'') {{=}} 0}} の形の方程式を満足する。実際、{{math|''a'', ''b'', ''c'' &isin; '''R'''}} に対して
: <math>\begin{align}
  f_{1}(M) &= \phi(\overrightarrow{OM}) + a, \quad f_{2}(M) = \phi(\overrightarrow{OM}) + b, \\
  f(M) &= \phi(\overrightarrow{OM}) + c
\end{align}</math>
と置くとき、{{math|&lambda; &isin; '''R'''}} を {{math|c {{=}} &lambda;''a'' + (1 &minus; &lambda;)''b''}} なるように取れば {{math|''f'' {{=}} &lambda;''f''<sub>1</sub> + (1 &minus; &lambda;)''f''<sub>2</sub>}} を満たす。

<!--[[image:Fascio_proprio.GIF|thumb | 300px | A clean beam with center O.]]-->
通常の直線束（一点で交わる直線族）の場合は、{{math|''f''<sub>1</sub>}} と {{math|''f''<sub>2</sub>}} の線型成分が比例しておらず、{{math|''H''<sub>1</sub> &cap; ''H''<sub>2</sub>}} の[[余次元]]が {{math|2}} のときに一般化できる。このとき {{math|''H''<sub>1</sub> &cap; ''H''<sub>2</sub>}} に含まれる任意の超平面が、{{math|''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>}} を基として定まる。実際、{{math|Ker(&phi;<sub>1</sub>), Ker(&phi;<sub>2</sub>), Ker(&phi;)}} をそれぞれ超平面 {{math|''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>, ''H''}} の方向ベクトルとするとき、{{math|Ker(&phi;<sub>1</sub>) &cap; Ker(&phi;<sub>2</sub>) &sub; Ker(&phi;)}} ならば {{math|&phi; {{=}} &lambda;&phi;<sub>1</sub> + &mu;&phi;<sub>2</sub>}} と書けることは線型代数学の結果からわかる。すなわち、{{math|''u'' &isin; ''E''}} に三つ組 {{math|(&phi;<sub>1</sub>(''u''), &phi;<sub>2</sub>(''u''), &phi;(''u'')) &isin; '''R'''<sup>3</sup>}} を対応させる線型写像を考えれば、その核は余次元 {{math|2}} ゆえ階数退化次数定理により階数も {{math|2}} であって、{{math|&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>2</sub>, &phi;}} が線型従属、かつ {{math|&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>2</sub>}} は線型独立ゆえ所期の結果を得る。

これは、平面上の直線束の場合および、空間上の（直線を軸とする）平面束の場合を特別な場合として含む。

== 脚注==
=== 注釈 ===
<references group="*" />
=== 出典 ===
<references />

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|直線に対する平面束|it|Fascio di piani}} 
* {{仮リンク|点に対する二次の平面束|it|Stella di piani}}
* [[円束 (射影幾何学)|円束]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Pencil|title=Pencil}}
* {{PlanetMath|urlname=PencilOfLines|title=pencil of lines}}

{{DEFAULTSORT:ちよくせんそく}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:射影幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]