直角凧形のソースを表示

[[ファイル:Bicentric kite 001.svg|サムネイル|直角凧形の円周と内周。左端と右端の頂点は直角を持つ。]]
'''直角凧形'''とは、[[ユークリッド幾何学]]において、[[円 (数学)|円]]に[[円に内接する四角形|内接]]することができる[[凧形]]（4辺が互いに隣接する2組の等しい長さの辺にまとめることができる[[四角形]]）である。つまり、円周を持つ凧形（すなわち[[共円]]の凧形）である。<ref>Michael de Villiers, ''Some Adventures in Euclidean Geometry'', ISBN, 2009, pp. 154, 206.</ref>したがって、直角凧形は凸の四辺形であり、2つの反対側の直角を持つ。<ref>De Villiers, Michael (1994), "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals", ''For the Learning of Mathematics'', '''14''' (1): 11–18,</ref>正確に2つの直角がある場合、それぞれは異なる長さの辺の間でなければならない。すべての凧は内接円を持つので、すべての直角凧形は[[双心四角形]]である。対角線の1つ（対称線となるもの）は、直角凧形を2つの直角三角形に分割し、外接円の直径でもある。

内接円を持つ接線四辺形では、内接円の中心から四辺形の接線となる点までの4本の線分が、四辺形を4つの直角凧形に分割する。

== 特殊例 ==
直角凧形の[[特殊]]な例として、[[対角線]]の長さが等しく、内接円と外接円が同心である[[正方形]]がある。

== 性質 ==
直角凧形は、外接円を持つ場合に限り、直角凧形である（定義による）。これは、2つの対向する[[直角]]を持つ凧であることと同じである。

== 計量の公式 ==
直角凧形は2つの直角三角形に分けることができるので、直角三角形のよく知られた性質から、次のような計量式が容易に成り立つ。対角BとDが直角である直角凧形ABCDにおいて、他の2つの角度は次の式から計算できる。

<math>
\tan{\frac{A}{2}}=\frac{b}{a},\qquad \tan{\frac{C}{2}}=\frac{a}{b}
</math>

ここで、a＝AB＝AD、b＝BC＝CDとする。右の凧の面積は

<math>\displaystyle K=ab. 
</math>

対称線である対角線ACは、長さが

<math>p=\sqrt{a^2+b^2}
</math>

となり、対角線は垂直なので（つまり、直角凧形は直角四辺形であり、面積は<math>K=\frac{pq}{2}</math>)、もう一方の対角線上のBDの長さは

<math>q=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>となる。

外接円の半径は、ピタゴラスの定理により

<math>
R=\tfrac12\sqrt{a^2+b^2}
</math>

であり、すべての凧形が接線四辺形であることから、内接円の半径は次式で与えられる。

<math>
r=\frac{K}{s}=\frac{ab}{a+b}
</math>

ここで、sは[[半周長]]である。

面積は、外接円の半径Rと内接円の半径rで次のように与えられる。

<math>
K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2}).
</math>

対角線の交点から時計回りに頂点まで伸びる線分を、次のようにすると<math>d_1 d_2 d_3 d_4</math>は、

<math>d_1 d_3=d_2 d_4</math>となる。

これは幾何平均の定理の直接的な結果である。

== 補足 ==
直角凧形の双対多角形は、等脚接線台形である。<ref>Michael de Villiers, ''Some Adventures in Euclidean Geometry'', ISBN, 2009, pp. 154, 206.</ref>

== 他の定義 ==
直角が1つしかない場合は、長さの等しい2つの辺の間にある必要があり、この場合、上記の公式は適用されない。<ref>1728 Software Systems, ''Kite Calculator'', accessed 8 October 2012</ref>

== 参考文献 ==
<references group="" responsive="1"></references>
{{多角形}}
{{DEFAULTSORT:ちよつかくたこかた}}
[[Category:四角形]]
[[Category:数学に関する記事]]