相互相関関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2016-8-13}}

'''相互相関関数'''（そうごそうかんかんすう、{{Lang-en-short|cross-correlation function}}）は、ふたつの信号、[[配列]]（[[ベクトル空間|ベクトル]]）の類似性を確認するために使われる。関数の配列の結果がすべて1であれば相関があり、すべてゼロであれば無相関であり、すべて {{math|&minus;1}} であれば負の相関がある。しばしば、''相関''と略されることがあり、[[相関係数]]と似ているために混同することがある。

== 定義 ==
=== 連続 ===
連続関数 <math>f</math> と <math>g</math> において相互相関関数は以下のように定義される。<ref>Bracewell, R. "Pentagram Notation for Cross Correlation." The Fourier Transform and Its Applications. New York: McGraw-Hill, pp. 46 and 243, 1965.</ref><ref>Papoulis, A. The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, pp.&nbsp;244–245 and 252-253, 1962.</ref><ref>Weisstein, Eric W. "Cross-Correlation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html</ref>
:<math>(f \star g)(\tau)\ \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} g(t+\tau)\,dt</math>
これは以下と同値である。
:<math>(f \star g)(\tau)\ \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t-\tau)} g(t)\,dt</math>
<math>\overline{f(t)}</math> は <math>f(t)</math> の[[複素共役]]で、<math>\tau</math> はラグ（lag）と呼ばれる。

=== 離散 ===
離散関数の場合は以下のように定義される。<ref>{{cite book | last1 =Rabiner | first1 =L.R. | last2 =Schafer | first2 =R.W. | title =Digital Processing of Speech Signals | publisher =Prentice Hall | series =Signal Processing Series | date =1978 | location =Upper Saddle River, NJ | pages =[https://archive.org/details/digitalprocessin00rabi_0/page/147 147–148] | isbn =0132136031 | url-access =registration | url =https://archive.org/details/digitalprocessin00rabi_0/page/147 }}</ref><ref>{{cite book | last1 =Rabiner | first1 =Lawrence R. | last2 =Gold | first2 =Bernard | title =Theory and Application of Digital Signal Processing | publisher =Prentice-Hall | date =1975 | location =Englewood Cliffs, NJ | pages =[https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/401 401] | isbn =0139141014 | url-access =registration | url =https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/401 }}</ref>
:<math>(f \star g)[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} \overline{f[m]} g[m+n]</math>
これは以下と同値である。
:<math>(f \star g)[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} \overline{f[m - n]} g[m]</math>

== 畳み込みとの関係性 ==
二つの信号を畳み込む[[畳み込み]]の式
:<math>(f * g)(m) = \sum_n {f(n)\,g(m - n)}</math>
のうち片方の関数の信号配列の順序を[[フリップ]](逆順に)して畳み込むと、相互相関関数を求めることができる。

== 自己相関関数 ==
二つの信号が、全く同じ場合、[[自己相関関数]]と呼び、関数の周期性を調べるのに用いられる。自己相関関数の値がすべて1のときには、その離散関数の波形の周期性はその関数を表す配列と同じであることがわかる。

== 参照 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[畳み込み]] (convolution)
* [[インパルス応答]] - [[伝達関数法|伝達関数]]
* [[フーリエ変換]] - [[ラプラス変換]]
* [[基本解]]
* [[超関数]]
* [[相関係数]]
* [[自己共分散]]
* {{仮リンク|相互相関関数 (場の量子論)|en|Correlation function (quantum field theory)}}

== 外部リンク ==
* {{脳科学辞典|記事名=相互相関解析}}

{{統計学}}
{{Math-stub}}

{{デフォルトソート:そうこそうかんかんすう}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:制御工学]]
[[Category:信号処理]]
[[Category:数学に関する記事]]