相対位相のソースを表示

'''部分位相空間'''（ぶぶんいそうくうかん、{{lang-en-short|[topological] ''subspace''}}）とは、[[数学]]の[[位相空間論]]周辺分野における概念の1つで、[[位相空間]]の[[部分集合]]でもとの空間から由来する自然な位相を備えたものをいう。そのような位相は、'''部分空間位相''' {{lang|en|(''subspace topology'')}}, '''相対位相''' {{lang|en|(''relative topology'')}} あるいはトレース位相 {{lang|en|(''trace topology'')}} などと呼ばれる。

== 定義 ==
与えられた位相空間 (''X'', &tau;) と ''X'' の部分集合 ''S'' に対し、''S'' 上の'''相対位相'''は
:<math>\tau_S = \{ S \cap U \mid U \in \tau \}</math>
で定義される。つまり、''S'' の部分集合が相対位相に関して ''S'' の開集合であるための[[必要十分条件]]は、それが ''X'' の開集合（&tau; に属する元）との[[共通部分 (数学)|交わり]]に書けることである。''S'' が相対位相 &tau;<sub>''S''</sub> を備えているならば、''S'' はそれ自身位相空間 (''S'', &tau;<sub>''S''</sub>) を成し、(''X'', &tau;) の部分空間と呼ばれる。特に断らない限り、位相空間の部分集合には、相対位相が入っているものと仮定するのが普通である。

あるいは、位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' の相対位相を、[[包含写像]]
:<math>\iota\colon S \hookrightarrow X</math>
を[[連続写像|連続]]にする[[最も粗い位相]]として定義することもできる。

より一般に、集合 ''S'' から位相空間 ''X'' への[[単射]] ''i'' が存在するとき、''S'' 上の'''誘導位相'''は ''i'' を連続にする最も粗い位相として定義される。この位相に関する開集合系は、ちょうど ''X'' の開集合 ''U'' に対する引き戻し ''i''<sup>&minus;1</sup>(''U'') の形になっている部分集合の全体によって与えられる。このとき、''S'' は ''X'' における自身の像（像には ''X'' からの相対位相を入れる）と[[同相]]であり、''i'' は[[位相埋め込み]]と呼ばれる。

== 例 ==
以下、'''R''' は[[実数]]全体の集合に通常の位相をいれたものとする。
* '''R''' の部分空間としての[[自然数]]全体の成す集合の位相は[[離散位相]]である。
* '''R''' の部分空間としての[[有理数]]全体の成す集合の位相は離散位相ではない（例えば、点 0 のみから成る部分集合は '''Q''' の開集合ではない）。''a'', ''b'' が有理数ならば、開区間 (''a'', ''b'') および閉区間 &#x5b;''a'', ''b''&#x5d; はそれぞれ '''Q''' の開および閉集合であるが、''a'', ''b'' がともに無理数のとき、''a'' &lt; ''x'' &lt; ''b'' を満たす有理数 ''x'' の全体の成す部分集合は '''Q''' の[[開かつ閉集合]]となる。
* '''R''' の部分空間としての閉区間 &#x5b;0, 1&#x5d; は開かつ閉である（'''R''' の部分集合としては閉でしかないが）。
* '''R''' の部分空間としての互いに素な区間和 &#x5b;0, 1&#x5d; &cup; &#x5b;2, 3&#x5d; は二つの互いに素な'''開'''集合（もちろん閉集合でもある）の和であり、従ってこれは[[非連結空間]]となっている。
* '''R''' の部分空間としての ''S'' = &#x5b;0, 1) について、&#x5b;0, &frac12;) は ''S'' の開集合だが '''R''' では開でない。同様に &#x5b;&frac12;, 1) は ''S'' において閉だが、'''R''' の閉集合でない。''S'' は自身の部分集合として開かつ閉だが、'''R''' の部分集合としては開でも閉でもない。

== 部分空間の性質 ==
相対位相に関して、以下のような[[普遍性]]による特徴づけができる。''Y'' が ''X'' の部分空間で ''i'': ''Y'' &rarr; ''X'' を包含写像とするとき、任意の位相空間 ''Z'' に対して写像 ''f'': ''Z'' &rarr; ''Y'' が連続となることと、合成写像 ''i'' ∘ ''f'' が連続となることは同値である。
[[file:Subspace-01.png|center|誘導位相の普遍性]]
この性質は、''Y'' 上の部分位相の定義として用いることができるという意味で、相対位相を特徴付ける性質である。

以下、相対位相に関する性質を挙げる。以下では ''S'' は位相空間 ''X'' の部分空間とする。
* ''f'': ''X'' &rarr; ''Y'' が連続ならば、その ''S'' への制限もやはり連続である。
* ''f'': ''X'' &rarr; ''Y'' が連続ならば、''f'': ''X'' &rarr; ''f''(''X'') もやはり連続である。
* ''S'' の閉集合はちょうど ''X'' の閉集合と ''S'' との交わりとして得られる。
* ''A'' が ''S'' の部分空間ならば ''A'' は同じ位相で ''X'' の部分空間にもなる。すなわち、''S'' から誘導される ''A'' の位相は ''X'' から誘導される ''A'' の位相と一致する。
* ''S'' が ''X'' の開部分空間ならば、''S'' の部分空間が ''S'' において開となることと、それが ''X'' において開となることとは同値である。
* ''S'' が ''X'' の閉部分空間ならば、''S'' の部分空間が ''S'' において閉となることと、それが ''X'' において閉となることとは同値である。
* ''B'' を ''X'' の[[開基 (位相空間論)|開基]]とすると、''B''<sub>''S''</sub> = {''U'' &cap; ''S'' : ''U'' &isin; ''B''} は ''S'' の開基である。
* [[距離空間]]の部分集合上に[[距離函数]]を制限することによって誘導される位相は、その部分集合における部分位相空間としての位相に一致する。

== 部分空間へ遺伝する位相的性質 ==
位相空間がある[[位相的性質]]を持つとき、その任意の部分空間がやはり同じ性質を持つならば、その位相的性質は'''遺伝的''' {{lang|en|(''hereditary'')}} であるという。それより弱く、その任意の閉部分空間だけがその性質を保つならば、そのような性質を'''弱遺伝的''' {{lang|en|(''weakly hereditary'')}} という。

* [[位相的完備]]な位相空間の、任意の開および閉部分空間はやはり位相的完備である。
* [[ベール空間]]の任意の開部分空間はやはりベール空間である。
* [[コンパクト空間]]の任意の閉部分空間はやはりコンパクトである。
* [[ハウスドルフ空間]]であることは遺伝的である。
* [[正規空間]]であることは弱遺伝的である。
* [[全有界]]性は遺伝的である。
* [[完全不連結]]性は遺伝的である。
* [[第一可算空間|第一可算]]および[[第二可算空間|第二可算]]であることはともに遺伝的である。

== 参考文献 ==
<div class="references-small">
* [[ニコラ・ブルバキ|Bourbaki, Nicolas]], ''Elements of Mathematics: General Topology'', Addison-Wesley (1966)
* {{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=リン・アーサー・スティーン| last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク|Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[ドーバー出版|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | id={{MathSciNet|id=507446}} | year=1995}}
* Willard, Stephen. ''General Topology'', Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6
</div>

== 関連項目 ==
* [[商位相空間]]: 部分位相空間の双対概念 
* [[直積位相]]
* [[直和位相]]

{{DEFAULTSORT:そうたいいそう}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:位相空間論]]
[[Category:数学に関する記事]]