真凸函数のソースを表示

[[数学]]の[[解析学]]（特に、[[凸解析]]）と[[数理最適化]]の分野において、'''真凸函数'''（しんとつかんすう、{{Lang-en-short|proper convex function}}）とは、[[拡大実数]]に値を取る[[凸函数]] ''f'' で、少なくとも一つの ''x'' に対して

:<math>f(x) < +\infty</math>

が成立し、すべての ''x'' に対して

:<math>f(x) > -\infty</math>

が成立するもののことを言う。すなわち凸函数が真であるとは、その[[有効領域]]が空でなく、値として <math>-\infty</math> を取ることがないことを言う<ref name="AB">{{cite book|last1=Aliprantis|first1=C.D.|last2=Border|first2=K.C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=254}}</ref>。真でない凸函数は広義凸函数（improper convex function）と呼ばれる<ref>{{cite book|author=[[:en:Rockafellar, R. Tyrrell|Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=978-0-691-01586-6|page=24}}</ref>。

真凹函数とは、<math>f = -g</math> が真凸函数であるような任意の函数 ''g'' のことを言う。

== 性質 ==

'''R'''<sup>n</sup> 上のすべての真凸函数 ''f'' に対し、ある '''R'''<sup>n</sup> 内の ''b'' と '''R''' 内の β が存在して

:<math>f(x) \ge x \cdot b - \beta</math>

がすべての ''x'' について成立する。

二つの真凸函数の和は必ずしも真あるいは凸ではない。例えば、集合 <math>A \subset X</math> と <math>B \subset X</math> が[[ベクトル空間]] ''X'' 内の空でない[[凸集合]]であるなら、{{仮リンク|特性函数 (凸解析)|label=指示函数|en|Characteristic function (convex analysis)}} <math>I_A</math> と <math>I_B</math> は真凸函数であるが、<math>A \cap B = \emptyset</math> であるなら <math>I_A + I_B</math> は恒等的に <math>+\infty</math> に等しい。

二つの真凸函数の[[凸共役性|最小畳み込み]]は凸であるが、必ずしも真凸ではない<ref>{{citation|title=Theory of extremal problems|volume=6|series=Studies in Mathematics and its Applications|first1=Aleksandr Davidovich|last1=Ioffe|first2=Vladimir Mikhaĭlovich|last2=Tikhomirov|publisher=North-Holland|year=2009|isbn=9780080875279|page=168|url=https://books.google.co.jp/books?id=iDRVxznSxUsC&pg=PA168&redir_esc=y&hl=ja}}.</ref>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:しんとつかんすう}}
[[Category:凸解析]]
[[Category:関数]]
[[Category:数学に関する記事]]