真性半導体のソースを表示

'''真性半導体'''（しんせいはんどうたい、{{lang-en-short|intrinsic semiconductor}}）とは、添加物を混ぜていない純粋な[[半導体]]のことを指す。しかし、実際には[[不純物]]などの[[格子欠陥|欠陥]]は固体中に必ず存在するため、欠陥の影響を無視できるような半導体を真性半導体と見なすことになる<ref>{{Cite book|和書 |title=半導体工学シリーズ２ 半導体の物理 改訂版 |date=1991年 |publisher=培風館 |page=105 |author=御子柴宣夫}}</ref>。[[価電子帯]]の電子が熱や光によって[[伝導帯]]に励起することで、伝導帯には[[伝導電子]]が、価電子帯には[[正孔]]が生じ、この２種類が真性半導体のキャリアを担う。[[File:Semiconductor Bands Hot.svg|thumb|300px|価電子帯の電子が熱や光によって励起し、伝導帯に電子(黒丸)、価電子帯に正孔(白丸)が生じる。]]
== バンド間遷移 ==
価電子帯にある電子がエネルギーを得て伝導帯へ遷移すること、あるいは伝導帯にある電子がエネルギーを放出して価電子帯に遷移することを'''バンド間遷移'''（inter-band transition）という。価電子帯の頂上と伝導帯の底の波数ベクトルが（ほぼ）一致するバンド間遷移を'''直接遷移'''、異なるバンド間遷移を'''間接遷移'''という。

=== 直接遷移 ===
光吸収によってバンド間遷移が起こるとき、価電子帯にある電子の波数ベクトルを '''{{Mvar|k<sub>v</sub>}}'''、伝導帯に遷移した電子の波数ベクトルを '''{{Mvar|k<sub>c</sub>}}'''、光の波数ベクトルを '''{{Mvar|k}}''' とすると、

<math display="block">\boldsymbol{k}_v - \boldsymbol{k}_c + \boldsymbol{k} = \boldsymbol{G}_m</math>

が成立しなければならない。'''{{Mvar|G<sub>m</sub>}}''' は[[逆格子ベクトル]]である。'''{{Mvar|k<sub>c</sub>}}''' と '''{{Mvar|k<sub>v</sub>}}''' が[[ブリュアンゾーン]]内にあり、光の波数ベクトルの大きさ '''{{Mvar|{{!}}k{{!}}}}''' が '''{{Mvar|{{!}}G<sub>m</sub>{{!}}}}''' に比べて十分小さければ、<math>\boldsymbol{k}_v - \boldsymbol{k}_c + \boldsymbol{k}</math> がブリュアンゾーンの外に位置することはないため、<math>\boldsymbol{G}_m = 0</math> としてもかまわない。よって、

<math display="block">\boldsymbol{k}_v + \boldsymbol{k} = \boldsymbol{k}_c</math>

となる。この式は電子と光（[[光子]]）の[[運動量保存則]]に相当する。光の波長 {{Mvar|λ}} が単位胞の辺の長さ {{Mvar|a}} に対して十分に長いとき、光の波数ベクトルの大きさ <math>|\boldsymbol{k}| =2\pi/\lambda</math> はブリュアンゾーンの大きさ（<math>2\pi/a</math>）に比べて十分小さく無視できる。したがって、

<math display="block">\boldsymbol{k}_v \simeq \boldsymbol{k}_c</math>

と近似できる。このように遷移前後で電子の波数ベクトルがほとんど変わらないバンド間遷移を直接遷移という<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=入門 固体物性 基礎からデバイスまで |date=1997年 |publisher=共立出版 |pages=168-170 |author=斉藤博、今井和明、大石正和、澤田孝幸、鈴木和彦}}</ref>。

=== 間接遷移 ===
間接遷移の場合、価電子帯の頂上と伝導帯の底の波数ベクトルが異なるため、光だけでは運動量保存則が成り立たず、バンド間遷移に[[フォノン]]の吸収・放出も関わることになる。光の角振動数を {{Mvar|ω}}、フォノンの角振動数と波数ベクトルを {{Mvar|ω<sub>p</sub>}} と '''{{Mvar|k<sub>p</sub>}}'''とし、価電子帯および伝導帯の電子のエネルギーを {{Mvar|E<sub>v</sub>}} および {{Mvar|E<sub>c</sub>}} とすると、間接遷移の[[エネルギー保存の法則|エネルギー保存則]]と運動量保存則は、フォノン吸収を伴う場合、

<math display="block">E_v +\hbar\omega + \hbar\omega_p = E_c</math>

<math display="block">\boldsymbol{k}_v + \boldsymbol{k} + \boldsymbol{k}_p = \boldsymbol{k}_c</math>

フォノン放出を伴う場合、

<math display="block">E_v +\hbar\omega - \hbar\omega_p = E_c</math>

<math display="block">\boldsymbol{k}_v + \boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}_p = \boldsymbol{k}_c</math>

を満たす<ref name=":0" />。フォノンのエネルギーは {{Val|30|u=meV}} 程度であるのに対し、バンドギャップ {{Mvar|E<sub>g</sub>}} は {{Val|1|u=eV}} 程度である<ref>{{Cite book|和書 |title=裳華房テキストシリーズ 物理学 固体物理学 |date=2002年 |publisher=裳華房 |page=72 |author=鹿児島誠一}}</ref>ため、エネルギー保存則は光子のエネルギーが主に関わっている。フォノンの波数ベクトルはブリュアンゾーン全域に渡るため、価電子帯と伝導帯の電子の波数ベクトルが一致する必要はない。

== 真性キャリア密度 ==
[[ファイル:Fermi-Dirac product with Density of States.svg|サムネイル|323x323ピクセル|オレンジ：半導体の状態密度（上は伝導帯、下は価電子帯）、青：電子のフェルミ分布、緑：キャリア密度（上は電子、下は正孔）]]
本節では、真性半導体のキャリア密度を導出する<ref>{{Cite book|和書 |title=初歩から学ぶ固体物理学 |date=2017年 |publisher=講談社 |pages=243-248 |author=矢口裕之 |isbn=9784061532946}}</ref>。

=== エネルギー分散 ===
真性半導体におけるキャリア密度を導出するために、価電子帯と伝導帯のエネルギー分散を単純化する。価電子帯も伝導帯も１つのバンドから成り、それぞれの[[有効質量]]に異方性がないものとする。つまり、放物線近似を適用したエネルギー分散を考える。

伝導帯：
<math display="block">E(k) = E_c +\frac{\hbar^2}{2m_e^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )</math>

価電子帯：
<math display="block">E(k) = E_v -\frac{\hbar^2}{2m_h^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )</math>

ここで {{mvar|E<sub>c</sub>}} は伝導帯の底のエネルギー、{{mvar|E<sub>v</sub>}} は価電子帯の頂上のエネルギー、{{Mvar|m<sub>e</sub><sup>*</sup>}} は伝導帯における電子の有効質量、{{Mvar|m<sub>h</sub><sup>*</sup>}} は価電子帯における正孔の有効質量である。

=== 状態密度 ===
それぞれのバンドの状態密度は、[[状態密度|自由電子モデルの状態密度]]における電子の質量をそれぞれの有効質量に置き換え、エネルギーの原点を {{mvar|E<sub>c</sub>}} と {{mvar|E<sub>v</sub>}} にシフトさせたものになる。

伝導帯：
<math display="block">D_c(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_e^*}{\hbar^2} \right )^{3/2} \left ( E - E_c \right)^{1/2}</math>

価電子帯：
<math display="block">D_v(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_h^*}{\hbar^2} \right )^{3/2}\left ( E_v - E \right)^{1/2}</math>

=== 分布関数 ===
温度 {{Mvar|T}} のとき、電子がエネルギー {{Mvar|E}} の状態を占有する確率は[[フェルミ分布関数]] {{Mvar|f<sub>F</sub>(E, T)}} で与えられる。それに対して、正孔がエネルギー {{Mvar|E}} の状態を占有する確率は、電子がその状態を占有しない確率に等しい。よって、伝導帯の電子の分布関数 {{Mvar|f<sub>e</sub>(E, T)}} と価電子帯の正孔の分布関数 {{Mvar|f<sub>h</sub>(E, T)}} はそれぞれ

<math display="block">f_e(E, T) = f_F(E, T) = \frac{1}{\mathrm{e}^{E-E_f/k_BT}+1}\approx \mathrm{e}^{-(E-E_f)/k_BT}</math>

<math display="block">f_h(E, T) = 1 - f_e(E, T) = \frac{1}{\mathrm{e}^{E_f-E/k_BT}+1}\approx \mathrm{e}^ {-(E_f-E)/k_BT}</math>

となる。{{Mvar|E<sub>f</sub>}} は[[フェルミエネルギー|フェルミ準位]]である。電子の分布関数において、<math>E - E_f \gg k_BT</math> であれば、フェルミ分布関数は[[ボルツマン分布]]に近似できる。正孔の分布関数においても同様であり、その近似条件は <math>E_f - E \gg k_BT</math> である。

=== 電子密度・正孔密度 ===
半導体の電気伝導を担うキャリアは、伝導帯にある伝導電子と価電子帯に生じた正孔である。電子密度 {{Mvar|n<sub>e</sub>}} と正孔密度 {{Mvar|n<sub>h</sub>}} は、それぞれの状態密度と分布関数の積を適切な積分範囲で積分し、占有体積で割ることで得られる<ref group="注釈">文献によっては、価電子帯・伝導帯の状態密度の表式に含まれる分子の体積と電子密度・正孔密度の表式に含まれる分母の体積を予め省略（または省略して定義）するものもある。例えば、イバッハ-リュートなど。</ref>。

<math display="block">n_e=\frac{1}{V}\int_{E_c}^{\infty} D_c(E)f_e(E, T)\mathrm{d}E</math>

<math display="block">n_h=\frac{1}{V}\int_{-\infty}^{E_v} D_v(E)f_h(E, T)\mathrm{d}E</math>

これらを実際に計算すると、

<math display="block">n_e\approx\frac{1}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_e^*}{\hbar^2} \right )^{3/2}
\int_{E_c}^{\infty} (E-E_c)^{1/2} \mathrm{e}^{-(E-E_f)/k_BT}\mathrm{d}E
=2\left ( \frac{m_e^*k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^{3/2} \mathrm{e}^{-(E_c-E_f)/k_BT}
=N_c \mathrm{e}^{-(E_c-E_f)/k_BT}</math>

<math display="block">n_h\approx\frac{1}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_h^*}{\hbar^2} \right )^{3/2}
\int_{-\infty}^{E_v} (E_v-E)^{1/2} \mathrm{e}^{-(E_f-E)/k_BT}\mathrm{d}E
=2\left ( \frac{m_h^*k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^{3/2} \mathrm{e}^{-(E_f-E_v)/k_BT}
=N_v \mathrm{e}^{-(E_f-E_v)/k_BT}</math>

となる。{{mvar|N<sub>c</sub>}} は伝導帯の[[有効状態密度]]、{{mvar|N<sub>v</sub>}} は価電子帯の有効状態密度である。

=== 真性キャリア密度 ===
半導体のキャリア密度の2乗は電子密度 {{Mvar|n<sub>e</sub>}} と正孔密度 {{Mvar|n<sub>h</sub>}} の積に等しいことから

<math display="block">n_en_h
=4\left ( \frac{k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^3
\left ( m_e^*m_h^*\right )^{3/2}
\mathrm{e}^{-(E_c-E_v)/k_BT}
=N_cN_v \mathrm{e}^{-E_g/k_BT}
=n_i^2</math>

となる。ここで {{Mvar|1=E<sub>g</sub>=E<sub>c</sub> - E<sub>v</sub>}} は[[バンドギャップエネルギー]]である。真性半導体では、電荷を持つのは電子と正孔だけなので、電気的中性条件より {{Mvar|1=n<sub>e</sub> = n<sub>h</sub>}} が成り立つ。よって、真性半導体のキャリア密度は

<math display="block">n_i=n_e=n_h
=2\left ( \frac{k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^\frac{3}{2}
\left ( m_e^*m_h^*\right )^\frac{3}{4}
e^{-\frac{E_g}{2k_BT}}
=\left(N_cN_v \right)^\frac{1}{2} e^{-\frac{E_g}{2k_BT}}</math>

となり、{{Mvar|n<sub>i</sub>}} を'''真性キャリア密度'''（intrinsic carrier concentration または intrinsic carrier density）という。

== その他の特徴 ==

=== フェルミ準位 ===
真性半導体のフェルミ準位は、{{Mvar|1=n<sub>e</sub> = n<sub>h</sub>}} であることから以下の形で表記される。

<math display="block">E_f= {{E_c+E_v} \over 2}+ {1 \over 2}k_BT \ln \left({N_v \over N_c}\right)={{E_c+E_v} \over 2}+ {3 \over 4}k_BT \ln \left({m_h^* \over m_e^*}\right)</math>

この第2項は第１項に比べて小さいため、真性半導体のフェルミ準位は[[バンドギャップ]]のほぼ中央に位置する。

=== 温度依存性 ===
価電子帯・伝導帯の有効状態密度は温度に依存する量であるが、近似的に無視できるため、真性キャリア密度は

<math display="block">n_i\propto \mathrm{e}^{-E_g/2k_BT}</math>

のように、バンドギャップ {{Mvar|E<sub>g</sub>}} の半分を活性化エネルギーとするような温度依存性を示す。よって、温度の逆数に対して真性キャリア密度の自然対数をプロットすると、直線が得られる（[[アレニウスの式|アレニウスプロット]]）。そのグラフの傾きからバンドギャップエネルギーを実験的に見積もることができる。

===ドーピング===
真性半導体ではキャリア密度が {{val|e=10|u=cm<sup>-3</sup>}} 以下と非常に低く、真性半導体に[[ドーパント|不純物]]を[[ドープ|ドーピング]]した[[不純物半導体]]（外因性半導体）のキャリア密度より約10桁近く低い。また、キャリア密度はドープされた不純物の種類と濃度に依存して選択的に調整することができる。つまり、半導体の電気伝導を人為的に制御できる。これが不純物半導体が[[電子機器]]、ひいては[[社会]]で重宝される理由である。

先述の通り、完全に純粋な半導体は存在しない。[[ヒ化ガリウム|GaAs]] の真性キャリア密度は {{Val|5|e=7|u=cm<sup>-3</sup>}} であるが、市場で手に入る最も純粋な単結晶でも、意図しないドーピングにより約 {{Val|e=16|u=cm<sup>-3</sup>}}（{{Val|300|u=K}} において）のキャリア密度が生じる<ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=固体物理学 改訂新版 21世紀物質科学の基礎 |date=2012年 |publisher=シュプリンガー・ジャパン、丸善出版 |pages=139,395-398 |translator=石井力、木村忠正 |author=H. イバッハ、H. リュート |isbn=9784621061404}}</ref>。

===キャリア移動度===
真性半導体では、不純物がドーピングされていないため、キャリアはイオン化[[不純物散乱]]の影響を受けない。その結果、ドーピングされている際と比較して、非常に高い[[移動度]]を示す。しかし、前述のように真性半導体ではキャリア密度が非常に低いため、これを利用した用途は限定される。[[ヘテロ構造]]による[[二次元電子ガス]]を利用した半導体素子(例えば、[[高電子移動度トランジスタ|HEMT]])の様な用途がある。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
<references group="注釈" />

=== 出典 ===
{{Reflist}}

{{半導体}}
{{DEFAULTSORT:しんせいはんとうたい}}
[[Category:半導体]]
[[Category:電磁気学]]
[[Category:固体物理学]]

[[it:Semiconduttore#Semiconduttori intrinseci]]