真理関数のソースを表示

{{Expand English|Truth function|date=2024-04}}
'''真理関数'''（しんりかんすう、[[英語|英]]：Truth function） とは、[[数理論理学]]において、[[真理値]]の各[[変数 (数学)|変数]]の変域と終集合とがそれぞれ『「真な命題」と「偽な命題」のみから成る[[集合]]』に等しいような[[写像]]である。真理関数は[[命題関数]]でもある。

== 定義 ==
真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。
#'''真な命題'''を表す記号 ： <math>\curlyvee</math>
#'''偽な命題'''を表す記号 ： <math>\curlywedge</math>
''L'' を <math>\curlyvee</math> と <math>\curlywedge</math> とだけから成る集合とし、''n'' を自然数とする。そのとき、''n'' 個の ''L'' の直積 <math>\prod_{i=1}^n L</math> から ''L'' への写像を ''n'' 変数の'''真理関数'''という。

== 主な真理関数 ==
1 変数の真理関数 ￢ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、''A'' 、''B'' は ''L'' の元の変数である。

{{Indent2|<math>
\lnot A=
\begin{cases}
\ \curlywedge & \mbox{if }A=\curlyvee\\
\ \curlyvee & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}

{{Indent2|<math>
A\lor B=
\begin{cases}
\ \curlywedge & \mbox{if }A=B=\curlywedge\\
\ \curlyvee & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}

{{Indent2|<math>
A\land B=
\begin{cases}
\ \curlyvee & \mbox{if }A=B=\curlyvee\\
\ \curlywedge & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>}}

￢''A'' 、''A∨B'' 、''A∧B'' をそれぞれ、''A'' の'''[[否定]]'''、''A'' と ''B'' との'''[[論理和]]'''、''A'' と ''B'' との'''[[論理積]]'''という。''n'' 変数の真理関数は全部で <math>2^{2^{n}}</math> 個ある。

== 真理値表 ==
真理関数の定義を'''[[真理値表]]'''という表を用いて示すことがある。

{| class="wikitable" style="width:40%; text-align:center"
|+ ￢ の真理値表
! ''A'' !! ￢''A''
|-
| <math>\curlyvee</math> || <math>\curlywedge</math>
|-
| <math>\curlywedge</math> || <math>\curlyvee</math>
|}

{| class="wikitable" style="width:40%; text-align:center"
|+ ∨ の真理値表
! ''A'' !! ''B'' !! ''A∨B''
|-
| <math>\curlyvee</math> || <math>\curlyvee</math> || <math>\curlyvee</math>
|-
| <math>\curlyvee</math> || <math>\curlywedge</math> || <math>\curlyvee</math>
|-
| <math>\curlywedge</math> || <math>\curlyvee</math> || <math>\curlyvee</math>
|-
| <math>\curlywedge</math> || <math>\curlywedge</math> || <math>\curlywedge</math>
|}

{| class="wikitable" style="width:40%; text-align:center"
|+ ∧ の真理値表
! ''A'' !! ''B'' !! ''A∧B''
|-
| <math>\curlyvee</math> || <math>\curlyvee</math> || <math>\curlyvee</math>
|-
| <math>\curlyvee</math> || <math>\curlywedge</math> || <math>\curlywedge</math>
|-
| <math>\curlywedge</math> || <math>\curlyvee</math> || <math>\curlywedge</math>
|-
| <math>\curlywedge</math> || <math>\curlywedge</math> || <math>\curlywedge</math>
|}

真理値表は次のように見る。￢ の真理値表の第 1 行は 「 ''A'' = <math>\curlyvee</math> であるとき、￢''A'' = <math>\curlywedge</math> である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 ''A'' = <math>\curlyvee</math> 、''B'' = <math>\curlywedge</math> であるとき、''A∨B'' = <math>\curlyvee</math> である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 ''A'' = <math>\curlywedge</math> 、''B'' = <math>\curlyvee</math> であるとき、''A∧B'' = <math>\curlywedge</math> である 」 を意味する。

== 真理集合 ==
''F'' を ''n'' 変数の真理関数とするとき、''F(X)'' = <math>\curlyvee</math> を満たす <math>\prod_{i=1}^n L</math> の元 ''X'' 全体から成る集合を ''F'' の'''真理集合'''といい、''[F]'' で表わす。

'''例'''
{{Indent2|<math>
[\ \lnot\ ] = \{\ X\ |\ X\in L,\ \lnot X=\curlyvee\ \} = \{\ \curlywedge\ \}
</math>}}

{{Indent2|<math>
[\ \lor\ ] = \{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\lor X_{2}=\curlyvee\ \} = \{\ (\curlyvee,\curlyvee),(\curlyvee,\curlywedge),(\curlywedge,\curlyvee)\ \}
</math>}}

{{Indent2|<math>
[\ \land\ ] = \{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\land X_{2}=\curlyvee\ \} = \{\ (\curlyvee,\curlyvee)\ \}
</math>}}


2 つの真理関数 ''F'' と ''G'' とが等しいことは、''F'' の真理集合と ''G'' の真理集合とが等しい為の必要十分条件である。

== 関連項目 ==
*[[数学基礎論]]、[[数理論理学]]、[[命題論理]]、[[ブール代数]]
*[[否定]]、[[論理和]]、[[論理積]]、[[同値]]、[[否定論理積]]、[[真理値表]]
*[[無矛盾律]]、[[排中律]]、[[交換法則]]、[[結合法則]]、[[分配法則]]、[[吸収法則]]、[[ド・モルガンの法則]]
*[[命題関数]]、[[選言標準形]]、[[連言標準形]]
== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年12月|section=1}}
*前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。
[[Category:数理論理学|しんりかんすう]]
[[Category:数学に関する記事|しんりかんすう]]