真近点角のソースを表示

[[画像:Diagram Anomalies Kepler orbit.svg|lang=ja|right|250px]]
{{Astrodynamics}}
'''真近点角'''（しんきんてんかく、true anomaly）とは、[[天文学]]・[[天体力学]]において、[[ケプラーの法則]]に従う[[軌道 (力学)|軌道]]運動を行う質点 (天体) の、ある時刻における軌道上の位置を表すパラメータの1つである。真近点離角と呼ぶこともある。

真近点離角 ''f'' は、主星と軌道の[[近点・遠点|近点]]がなす半直線 (つまり[[ルンゲ＝レンツベクトル|ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル]]) と主星と天体を結ぶ半直線 (つまり[[位置|位置ベクトル]]) がなす角として定義される。つまり、右図において''p'' を天体の位置、''z'' を近点、''s'' を焦点 (主星の位置) としたときの角 <math>\nu = \angle zsp</math> のことを言う。従って、主星と天体の距離 ''r'' は、真近点角 <math>\nu</math> の関数として
:<math>r = \frac{ a ( 1 - e^2 ) }{ 1 + e \cos \nu }</math>
という形に表示することができる<ref>{{天文学辞典 |url-name=eccentric-anomaly |title=離心近点角}}</ref>。ここに ''a'' は[[長半径|軌道長半径]]、''e'' は[[離心率]]である。

離心率が1で2体衝突の起こる直線軌道の時には真近点角が定義できなくなるがその場合には[[射影近点角]]を使って表現できる。

== 他の離角との関係 ==
真近点角はその時間依存性および動径 ''r'' との関係がともに複雑であるため、種々の計算の際には[[離心近点角]] ''E'' を用いる方が便利である。これは真近点角 <math>\nu</math> と
:<math>\tan \frac{ \nu }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ 1 + e }{ 1 - e } } \tan \frac{ E }{ 2 }</math>
という関係にあるが、この等式は <math>\beta = \frac{ 1 }{ e } \left( 1 - \sqrt{ 1 - e^2 } \right)</math> を用いて
:<math>\begin{align}\nu &= E + \sum_{s = 1}^\infty \frac{ 2 }{ s } \beta^s \sin s E \\
&= E + 2 \left( \beta \sin E + \frac{ \beta^2 }{ 2 } \sin 2 E + \frac{ \beta^3 }{ 3 } \sin 3 E + \frac{ \beta^4 }{ 4 } \sin 4 E + \cdots \right)\end{align}</math>
という級数の形に書き直すことができる<ref>Brouwer & Clemence, ''Methods of Celestial Mechanics'', Academic Press, New York and London, 1961, {{ISBN2|978-1483212357}}. pp. 62-63.</ref>。この級数により、天体の離心近点角 ''E'' が求まっているならば真近点角 <math>\nu</math> を計算することができる。

あるいは、離心近点角 ''E'' と[[平均近点角]] ''M'' の関係は[[ケプラーの方程式|ケプラー方程式]]を解くことにより求まるが、それを真近点角 <math>\nu</math> と平均近点角 ''M'' による[[フーリエ級数]]表示に書き直すと
:<math>\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\
    &+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\
    &+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\
    &+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots
    \end{align}</math>
となる<ref>Brouwer & Clemence, ''Methods of Celestial Mechanics'', Academic Press, New York and London, 1961, {{ISBN2|978-1483212357}}. pp. 77.</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[人工衛星の軌道要素]]
{{軌道}}
{{DEFAULTSORT:しんきんてんかく}}
[[Category:位置天文学]]
[[Category:天体力学]]

{{astro-stub}}