矢 (幾何学)のソースを表示

{{refimprove|date=September 2012}}
[[File:Sagitta.svg|right|thumb|矢 {{math|s}}; 円の半径 {{math|r}}; 半弦 {{math|ℓ}}]]
[[初等幾何学]]における[[円弧]]に対する'''矢'''（し、や、{{lang-en-short|''sagitta''}}, 短く {{lang|en|''sag''}}<ref name="Shaneyfelt">{{cite web | title=德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? | first=Ted V. | last=Shaneyfelt | publisher=[[University of Hawaii]] | location=Hilo, Hawaii | url=http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html | access-date=2015-11-08 |dead-url=no | archive-url=https://web.archive.org/web/20150919053929/http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html | archive-date=2015-09-19}}</ref>; サジッタ、サグ）は、円弧の中点から両端点の中点までの線分あるいは距離を言う<ref name="Woodward_1978"/>。矢の概念は、建築において決まった距離と高さを張るために必要なアーチ型を計算するときや、光学において球面鏡や球面レンズの深さを求めるときなどで広く用いられる。名称は、「矢」を意味する{{lang-la|''sagitta''}}に由来する。

== 矢を含む関係式 ==
以下の等式において、{{mvar|s}} は矢の長さ（円弧の深さ）、{{mvar|r}} は円の半径、{{mvar|ℓ}} は円弧の両端点を結ぶ弦の長さの半分とする。{{mvar|ℓ}} と {{math|''r''&minus;''s''}} は {{mvar|r}} を[[斜辺]]とする[[直角三角形]]の直角を挟む二辺の長さであるから、[[ピタゴラスの定理|三平方の定理]]により <math display="block">r^2 = \ell^2 + (r-s)^2</math> を得る。これを各変数について解けば <math display="block">\begin{cases}
 s = r - \sqrt{r^2 - {\ell^2}},\\
\ell = \sqrt{2rs - s^2},\\
 r = \frac{s^2 + \ell^2}{2s} = \frac{s}{2}+\frac{\ell^2}{2s}
\end{cases}</math> を得る。

矢の長さは{{ill2|正矢|en|versine}}函数 {{math|versin}} を用いても計算できる。中心角 {{math|1=''Δ'' = 2''θ''}} の見込む弧について、単位円上では矢の長さが正矢の値に一致するから、<math display="block">s = r \operatorname{versin}\theta = r(1-\cos\theta) = 2r\sin^2\frac\theta 2</math> を得る。

== 近似法 ==
矢が半径に比較して十分小さいとき、近似公式 <math display="block">s\approx \frac{\ell^2}{2r}</math> が成り立つ<ref name="Woodward_1978">{{cite book | title=Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver | author-first=Ernest | author-last=Woodward<!-- professor of mathematics at Austin Peay State University, Clarkesville, Tennessee, USA, not to be confused with (Ernest) [[Llewellyn Woodward]] --> | series=Problem Solvers Solution Guides | publisher=[[Research & Education Association]] (REA) | year=December 1978 | isbn=978-0-87891-510-1 | page=359 | url=https://books.google.com/books?id=4iNvcGB3M9sC&pg=PA359}}</ref>。

あるいは、矢が小さく、矢・半径・半弦の長さが既知のとき、円弧の長さは半[[弧長]] {{mvar|a}} が近似式 <math display="block">a\approx\ell+\frac{s^2}{2r}</math> に従う（この公式は、中国の数学者[[沈括]]の手になるものと知られる。同様の、矢を含むより精密な評価式{{clarify |date=December 2015 |reason=What is this more accurate formula?}}を、それより2世紀のちに[[郭守敬]]が与えている<ref name="Needham_1959">{{cite book |title=Science and Civilisation in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth | first=Noel Joseph Terence Montgomery |last=Needham |author-link=Noel Joseph Terence Montgomery Needham |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1959 |volume=3 |isbn=9780521058018 |page=39 |url=https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA39}}</ref>）。

== 応用 ==
建築家やエンジニアは設計や工事において、湾曲した壁、アーチ型の天井、橋梁などさまざまな用途で「平らな」円弧を作るためにこれらの近似式を利用する。

物理学でも、加速粒子の曲率半径を計算するために、矢（と弦）の長さが用いられる。これは特に[[泡箱]]実験で用いられ、崩壊粒子の運動量の決定に用いられる。

== 関連項目 ==
{{wikt|sagitta}}
* [[弓形]]
* {{ill2|正矢|en|Versine}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://liutaiomottola.com/formulae/sag.htm Calculating the Sagitta of an Arc]
* {{MathWorld|urlname=Sagitta|title=Sagitta}}

{{DEFAULTSORT:や}}
[[Category:建築用語]]
[[Category:長さ]]
[[Category:数学に関する記事]]