矩形関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2013年4月4日 (木) 04:18 (UTC)}}
[[画像:Rectangular function.svg|class=skin-invert-image|thumb|right|矩形関数]]
'''矩形関数'''（くけいかんすう、{{lang-en-short|rectangular function}}）は、[[単関数]]の一種で、以下のように定義される[[関数 (数学)|関数]]である<ref>{{cite| 和書 |author=Earl G. Williams |translator=吉川茂、西條献児 |title=フーリエ音響学 |publisher=シュプリンガーフェアラーク東京 |year=2005 |page=8 |isbn=4-431-71174-0}}</ref>。

:<math>\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0   & \mbox{if } |t| > 1/2 \\
1/2 & \mbox{if } |t| = 1/2 \\
1   & \mbox{if } |t| < 1/2
\end{cases} </math>

別の定義では、<math>\operatorname{rect}(\pm 1/2)</math> を 0 か 1 にするか、未定義とする。

== 別表現 ==
* [[ヘヴィサイドの階段関数]] <math>u(t)</math> を使って次のように矩形関数を表現することもできる。
::<math>\operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)</math>
:または、
::<math>\operatorname{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)</math>
:とも表せる。

*[[極限]]を用いれば、
:: <math> \operatorname{rect} (t) = \lim _{n \to \infty} \frac{1}{1 + |2 t| ^n} </math>
:とも表せる。

== 性質 ==
*矩形関数の[[フーリエ変換]]は次のようになる。
::<math>\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \operatorname{sinc}(f)</math>
:および、
::<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)</math>
:ここで sinc は正規化された[[Sinc関数]]である。

*[[三角形関数]]は2つの矩形関数の[[畳み込み]]で定義できる。
::<math>\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)</math>

*矩形関数の[[確率分布]]関数として見た場合、その[[特性関数 (確率論)|特性関数]]は次のようになる。
::<math>\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}</math>
:また、その[[積率母関数]]は次のようになる。
::<math>M(k)=\frac{\sinh(k/2)}{k/2}</math>
:ここで、<math>\sinh(t)</math> は[[双曲線関数|双曲線正弦関数]]である。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[フーリエ変換]]
*[[ボックスカー関数]]
*[[矩形波]]
*[[三角形関数]]

{{DEFAULTSORT:くけいかんすう}}

[[Category:初等関数]]
[[Category:数学に関する記事]]