砂粒を数えるもののソースを表示

『'''砂粒を数えるもの'''』（すなつぶをかぞえるもの）は、[[アルキメデス]]の著作のひとつ。『'''砂の計算者'''』などとも呼ばれる。アルキメデスの著作の中では内容が最も易しく、[[宇宙]]に関する当時の知識を仮定して、宇宙を埋め尽くすのに必要な[[砂]]粒の個数を概算したものである。[[シラクサ]]の王、ゲロン（[[ヒエロン2世]]の息子）に宛てた形式を取っている。

== 大数の体系化 ==
宇宙の大きさは（当時信じられていたよりも）大きめに、砂粒の大きさは小さめに見積もって議論し<ref>上垣 p. 59</ref>、それでも宇宙を埋め尽くすのに必要な砂粒の個数は、言葉で表現できることを示すのが本書の主題であった<ref>ヒース p. 15</ref>。

アルキメデス以前には、万までの数に固有の呼び名があり、万を数えることによって万の万（億、10<sup>8</sup>）までは数えることができた。そこで、10<sup>8</sup> までの数は「第1級の数」、10<sup>8</sup> を「第2級の数の単位」と呼び、これを億まで数えることにより、10<sup>8</sup> から 10<sup>16</sup> までを「第2級の数」と呼んだ。以下同様に、第3級の数、第4級の数と進み、第億級の数まで考えた。この最後の数は
:<math>P:=10^{8 \cdot 10^8}</math>
である。さらには、ここまでの数を総称して「第1期の数」と呼び、''P'' を「第2期第1級の数の単位」と呼んだ。これを億まで数えることにより、P から P &times; 10<sup>8</sup> までの数を「第2期第1級の数」と呼び、以下同様にして「第2期第億級の数」まで考えると、その最後の数は ''P''<sup>2</sup> である。''P'' から ''P''<sup>2</sup> までの数は総称して「第2期の数」と呼んだ。以下同様にして、「第億期の数」まで考えた。その最後の数は
:<math>P^{10^8}=10^{8 \cdot 10^{16}}</math>
である<ref>以上の議論は、原文（『ギリシアの科学』p. 495）、ヒース pp. 15-16、上垣 p.60 などを参照。ただし、訳語は種々ある。</ref>。これは、1 の後に 0 が8[[京 (数)|京]]個並んだ数であり、古代において[[テトレーション]]レベルに接近するほどの巨大な数を想定した数少ない例となっている。

以上のように、アルキメデスの数の体系は万を基本としており、[[英語]]などの千進法ではなく、現代の[[ギリシア語]]、[[中国語]]、[[日本語]]の万進法と共通点がある<ref>上垣 pp. 60-61</ref>。

アルキメデスはまた、後で行う 10 の[[冪乗]]の計算のために、指数法則
:<math>a^n \times a^m=a^{n+m}</math>
に相当する事実に言及している。

== 注目すべき記述 ==
宇宙の大きさを見積もるために、アルキメデスは複数の天文学者の説を紹介しており、それらの記述は当時を知る貴重な資料である。例えば、[[サモス島|サモス]]の[[アリスタルコス]]が、[[太陽]]を中心とした宇宙を想定したことが述べられている<ref>原文（『ギリシアの科学』p. 489）、ヒース p. 265</ref>。

アルキメデスの父祖についての資料はほとんどないが、アルキメデスは本書において、天文学者のひとりとして「私の父フェイディアス」と記している。古代科学の研究者リヴィエル・ネッツによれば、[[ペイディアス|フェイディアス]]は有名な彫刻家の名前であり、芸術が見下されていた当時、この名前を息子に付けるのは芸術家に限られるため、アルキメデスの祖父は芸術家だと推定される<ref>ネッツ pp. 60-62</ref>。

== 仮定および概算 ==
アルキメデスは、宇宙の大きさに関して、以下の仮定を立てた<ref>原文（『ギリシアの科学』pp. 489-490）、上垣 p. 57</ref>。ただし、ここでいう宇宙とは、[[天動説]]を背景として、[[地球]]を中心とし地球から太陽までの距離を半径とする球のことである。
# 地球の周囲は約300万[[スタディオン|スタディア]]で、それ以上ではない
# 地球の直径は[[月]]の直径よりも大きく、太陽の直径は地球の直径よりも大きい
# 太陽の直径は月の直径の約30倍で、それ以上ではない
# 太陽の直径は、宇宙球の[[大円]]に内接する正1000角形の一辺よりも大きい
1. 2. 3. は天文学者の説を元に、4. は自身の観測を元に、宇宙を大きめに見積もるように仮定したものである。なお、現代的な知識からすると、1. 2. 4. は正しく（ただし 1. は大きく見積もりすぎ）、3. は誤りである。これらの仮定を元に、
{{Indent|宇宙球の直径は100億 (10<sup>10</sup>) スタディアよりも小さい}}
と、誤った仮定からではあるが、正しい推論で結果的に正しい命題を導いた。

また、砂粒の大きさに関しては、以下の仮定を立てた<ref>原文（『ギリシアの科学』pp. 494-495）、ヒース p. 267、上垣 p. 59</ref>。
# 1個の[[ケシ]]粒の体積は、1万個の砂粒の体積よりも大きくはない
# 1個のケシ粒の直径は、{{分数|1|40}}[[ディジット]]よりも小さくはない
2. は自身の観測を元に、砂粒の大きさを小さめに見積もるように仮定したものである。これらの仮定から、
{{Indent|直径1ディジットの球を満たす砂粒の個数は、6億4千万より少なく、故に10億 (10<sup>9</sup>) より少ない}}
ことを導いた。また、
{{Indent|1スタディオン（スタディアの単数形）は1万ディジットよりも小さい}}
ことを用い、
{{Indent|直径1スタディオンの球を満たす砂粒の個数は、十万の第3級の数 (10<sup>21</sup>、10[[垓]]) よりも少ない}}
とした。上記の宇宙の大きさの見積もりと合わせ、
{{Indent|宇宙球を満たす砂粒の個数は、千の第7級の数 (10<sup>51</sup>、1000[[極 (数)|極]]) よりも少ない}}
と結論した<ref name="conclusion">原文（『ギリシアの科学』p. 500）、ヒース p. 267、上垣 p. 62</ref>。

ところで、アリスタルコスは、（太陽以外の）[[恒星]]までの距離は非常に大きいと考え、宇宙球の大きさでさえ、諸恒星までの距離と比較すると無視できるほど小さい、としたという<ref>ヒース p. 266</ref>。アルキメデスは、宇宙球のみならず、諸恒星までの距離を半径とする球（以下、恒星球と呼ぶ）を満たす砂粒の個数をも見積もった。そのために、
{{Indent|恒星球の直径の、宇宙球の直径に対する比は、宇宙球の直径の、地球の直径に対する比に等しい}}
という（現代的な知識からは誤った）仮定を設け、
{{Indent|恒星球を満たす砂粒の個数は、千万の第8級の数 (10<sup>63</sup>、1000[[那由他]]) よりも少ない}}
と結論した<ref name="conclusion" />。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* [[藤沢令夫]]訳『世界の名著 9 ギリシアの科学』[[中央公論新社]]、1980年 ISBN 978-4124006193
* T. L. ヒース著、平田寛、菊池俊彦訳、大沼正則訳『復刻版ギリシア数学史』[[共立出版]]、1998年（初版は1959年、原著は1931年出版）ISBN 978-4320015883
* 上垣渉『アルキメデスを読む』[[日本評論社]]、1999年 ISBN 978-4535782921
* リヴィエル・ネッツ、ウィリアム・ノエル著、吉田晋治監訳『解読! アルキメデス写本』[[光文社]]、2008年 ISBN 978-4334962036

== 関連項目 ==
* [[アルキメデスの牛の問題]] -- 最小解は第25819級の数
* [[数の比較]]
* [[巨大数]]

== 外部リンク ==
* ''[http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/reckoner.shtml The Sand Reckoner.]'' [[ウォータールー大学]]

{{デフォルトソート:すなつふをかそえるもの}}
[[Category:アルキメデス]]
[[Category:古代ギリシアの書籍]]
[[Category:紀元前1千年紀の書籍]]