確率の公理のソースを表示

{{Probability fundamentals}}
'''コルモゴロフの公理'''は、1933年に[[アンドレイ・コルモゴロフ]]が導入した、[[確率論]]の基礎となる公理である<ref name="Kolmogorov1933_Axioms">{{harvnb|Kolmogorov (1933)|pp=2-3,14-18|ref="Kolmogorov1933"}}</ref>。これらの公理は依然として確率論の基盤となっており、数学、物理科学、および現実世界の確率の事例の理解にとりわけ重要である<ref>{{Cite web |url=https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real_World/kolmogorov.html |title=What is the significance of the Kolmogorov axioms? |first=Aldous |last=David |date= |website=David Aldous |accessdate=2019-11-19}}</ref>。[[ベイズ確率]]を形式化する代替的アプローチは、{{仮リンク|コックスの定理|en|Cox's theorem|label=}}によって与えられる<ref>{{Cite journal |author=Terenin Alexander |author2=David Draper |year=2015 |title=Cox's Theorem and the Jaynesian Interpretation of Probability |url=https://archive.org/details/arxiv-1507.06597|arxiv=1507.06597|bibcode=2015arXiv150706597T}}</ref>。

== コルモゴロフによる公理系 ==
まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。

<math>\Omega</math> は、[[根元事象]]と呼ばれる要素の集合、<math>\mathfrak{F}</math> は <math>\Omega</math> の部分集合から構成される族であり、その要素は[[事象 (確率論)|事象]]と呼ばれる。<math>P</math> は <math>\mathfrak{F}</math> 上の[[集合関数]]とする。以下の5公理を満たす系<math>(\Omega, \mathfrak{F}, P)</math> を確率空間と呼ぶ<ref name="Kolmogorov1933_pp2-3">{{harvnb|Kolmogorov (1933)|pp=2-3|ref="Kolmogorov1933"}}</ref>。
:1. <math>\mathfrak{F}</math> は有限個の要素による[[和集合|集合和]]、[[差集合|集合差]]、[[共通部分]]について閉じている<ref group="注釈">コルモゴロフはこのような系を「集合体」と呼んでいるが、これだけの条件では[[補集合]]について閉じていることは言えないので、現代の意味での[[有限加法族|集合体]]とは異なる。</ref>。
:2. <math>\mathfrak{F}</math> は <math>\Omega</math> を含む。すなわち <math>\Omega \in \mathfrak{F}.</math><ref group="注釈">この条件を加えることにより、<math>\mathfrak{F}</math> は、現代の意味での[[有限加法族|集合体]]になる。</ref>
:3. <math>P</math> は非負の実数値をとる。すなわち、<math>P:\mathfrak{F} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math>
:4. <math>P(\Omega) = 1.</math>
:5. <math>A, B \in \mathfrak{F}</math> が[[素集合|互いに素な集合]] (Disjoint sets) ならば、<math>P(A \cup B) =P(A) + P(B).</math>（[[完全加法的集合関数|有限加法性]]）

さらに <math>\Omega</math> が無限集合の場合には次の連続牲の公理を導入する<ref name="Kolmogorov1933_p14">{{harvnb|Kolmogorov (1933)|p=14|ref="Kolmogorov1933"}}</ref>{{Refnest|group="注釈"|有限加法性は満たすが連続性を満たさない確率関数を構成することができる<ref>[https://home.hiroshima-u.ac.jp/~wakaki/lecture/probstatA19/extension-th.pdf extension-th.pdf] 若木宏文（広島大学大学院先進理工系科学研究科）</ref>。}}。
:6. <math>\mathfrak{F}</math> の減少列 <math>A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots</math> が、<math>\textstyle\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n =\emptyset</math> を満たすならば、<math>\lim_{n\to\infty} P(A_n) =0.</math>

公理5と6より、次の一般化加法定理（[[完全加法的集合関数|完全加法牲]]）が導かれる<ref name="Kolmogorov1933_p15">{{harvnb|Kolmogorov (1933)|p=15|ref="Kolmogorov1933"}}</ref>。

;一般化加法定理
:集合列 <math>\{ A_n \}_{n\in \mathbb{N}}</math> は、[[素集合|互いに素]]であり、<math>\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{F}</math> ならば、
:: <math>P\bigl( \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \bigr) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i).</math>

一般化加法定理を満たす <math>P</math> は、<math>\mathfrak{F}</math> が生成する[[完全加法族]]（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に[[ホップの拡張定理|一意的に拡張可能]]である<ref name="Kolmogorov1933_p17">{{harvnb|Kolmogorov (1933)|p=17|ref="Kolmogorov1933"}}</ref>。

== 公理 ==
以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する<ref group="注釈">以下は通常の確率論のテキストには大抵最初に書かれている内容であるが、参考文献の代表として、{{harv|伊藤 1953|p=1|ref="伊藤1953"}}を挙げておく。</ref>。

<math>\Omega</math> は任意の集合、<math>\mathfrak{F}</math> は <math>\Omega</math> 上の[[完全加法族]]（σ-集合体）（あるいは[[有限加法族]]）、<math>P</math> は <math>\mathfrak{F}</math> 上の[[集合関数]]とする。<math>P</math> が次の3条件を満たすとき、<math>P</math> は <math>(\Omega, \mathfrak{F})</math> 上の[[確率測度]]となり、<math>\Omega</math> は標本空間、<math>\mathfrak{F}</math> は事象空間と呼ばれる。

=== 第一の公理 ===
事象の確率は非負の実数を取る。
: <math>P: \mathfrak{F} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math>
ここで <math>\mathfrak{F}</math> は事象空間である。従って[[確率測度]] <math>P</math> は、[[測度論|測度]]の中でも特に、有限値しか取らない。[[負の確率]]を取る理論では、第一の公理は緩和される。

=== 第二の公理 ===
これは、{{仮リンク|単位測度|en|unit measure|label=}}の仮定である。すなわち、標本空間全体において、少なくとも1つの[[根元事象]]が起こる確率は1となる。
: <math>P(\Omega) = 1.</math>

=== 第三の公理 ===
これは、[[完全加法的集合関数|σ-加法性]]の仮定である。[[素集合|互いに素な集合]] (Disjoint sets) の任意の[[可算集合|可算]]個の列（{{仮リンク|排反事象|en|Mutual exclusivity}}と同義）<math>E_1, E_2, \cdots \in \mathfrak{F}</math> は、下記を満たす。
:: <math>P \Bigl( \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i \Big) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(E_i).</math>
単に[[完全加法的集合関数|有限加法]]的な確率空間を考えている研究者もおり、この場合、<math>\mathfrak{F}</math> は[[完全加法族]]ではなく[[有限加法族]]であることだけが要求される<ref>{{Cite web |url=https://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/#KolProCal |title=Interpretations of Probability |first=Hájek |last=Alan |date=2019-08-28 |website=Stanford Encyclopedia of Philosophy |accessdate=2019-11-17}}</ref>。一般に、{{仮リンク|偽確率分布|en|Quasiprobability distribution|label=}}は第三の公理を緩和する。

== 結果 ==
[[アンドレイ・コルモゴロフ|コルモゴロフの]]公理から、確率を研究する上でその他の有用な法則を演繹することができる。これらの法則の証明<ref name=":1">{{Cite book |title=A first course in probability |author=Ross, Sheldon M. |publisher= |year=2014 |isbn=978-0-321-79477-2 |edition=Ninth |location=Upper Saddle River, New Jersey |pages=27, 28 |oclc=827003384}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://dcgerard.github.io/stat234/11_proofs_from_axioms.pdf |title=Proofs from axioms |first=Gerard |last=David |date=2017-12-09 |accessdate=2019-11-20}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~bill/MTH4107/notesweek3_10.pdf|title=Probability (Lecture Notes - Week 3) |first=Jackson |last=Bill |year=2010 |website=School of Mathematics, Queen Mary University of London |accessdate=2019-11-20}}</ref>は、第三の公理の力と、残りの2つの公理との相互作用を深い洞察をもって描き出す手順となる。即座に導ける4つの系とその証明を以下に示そう。

=== 単調性 ===
: <math>A\subseteq B \Longrightarrow P(A)\leq P(B).</math>
AがBの部分集合の場合、Aの確率はBの確率以下となる。

==== ''単調性の証明''<ref name=":1"/> ====
単調性を作るため、<math>E_1=A, E_2=B\setminus A</math> とする。ただし、<math>A\subseteq B</math>とし、<math>i\geq 3</math> に対して <math>E_i=\varnothing</math> とする。集合列 <math> \{ E_i \}_{i \in \mathbb{N}}</math> は互いに素であり、<math>\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i=B</math> となることは自明である。したがって、第三の公理から次が得られる。
: <math>P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=P(B).</math>
第一の公理により、この左辺の各項は非負であり、有限値 <math>P(B)</math> に収束するため、<math>P(A)\leq P(B)</math> および <math>P(\varnothing)=0</math> が得られる。

=== 空集合の確率 ===
: <math>P(\varnothing)=0.</math>
事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が <math>\varnothing</math> とは限らない。

==== ''空集合の確率の証明'' ====
1つ前の証明で、<math>P(\varnothing)=0</math> は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。
:<math>P(B)=P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^\infty P(E_i)</math>
は収束するから、<math>P(\varnothing)=:a</math> とおくと、
:<math>\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=\sum_{i=3}^\infty P(\varnothing)=\sum_{i=3}^\infty a = \begin{cases}
 0      &(a=0) \\
 \infty &(a>0)
\end{cases}</math>
も収束する。<math>a>0</math> と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、<math>a= P(\varnothing) =0</math> となる。

=== 余事象の法則 ===
<math>P\left(A^{c}\right) = P(\Omega\setminus A) = 1 - P(A)</math>

==== ''余事象の法則の証明'' ====
<math>A, A^c</math> は排反であり、<math>A \cup A^c = \Omega
</math> である。よって、
:<math>P(A \cup A^c)=P(A)+P(A^c)</math> ''（公理3に従う）''
そして <math>P(A \cup A^c)=P(\Omega)=1</math>''（公理2に従う）''
:<math> \Rightarrow P(A)+P(A^c)=1</math>
:<math>\therefore P(A^c)=1-P(A)</math>

=== 確率の値域 ===
単調性から即座に次が従う。
: <math>0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.</math>

==== ''有界性の証明'' ====
<math>\varnothing \subset E \subset \Omega</math> に単調性の性質を使うと、<math>P(\varnothing)=0</math> より、
:<math>0\leq P(E)\leq 1</math>

== その他の性質 ==
もう一つの重要な性質は下記である。
: <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).</math>
これは、確率の加法定理と呼ばれる。つまり''、AまたはBが''起こる確率は''、Aが''起こる確率と''Bが''起こる確率の和から''AとB''の両方が起こる確率を引いたものである。この証明は次の通りである。

まず、
: <math>P(A\cup B) = P(A) + P(B\setminus A)</math>''（公理3による）''
であるから、
: <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B\setminus (A \cap B))</math> （<math>B \setminus A = B\setminus (A \cap B)</math> であるため）
また、
: <math>P(B) = P(B\setminus (A \cap B)) + P(A \cap B)</math>
<math>P(B\setminus (A \cap B))</math> を消去すれば、求める結果が得られる。

加法定理の任意の数の集合への拡張は、[[包除原理]]である。

また、加法定理においてBを''A''の余事象''A{{sup|c}}''とすると
: <math>P\left(A^{c}\right) = P(\Omega\setminus A) = 1 - P(A)</math>
つまり、事象が発生し''ない''確率（つまり余事象）は、1から発生する確率を引いたものである。

== 簡単な例：コイントス ==
一回の[[コイントス]]を考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。

この場合、下記のように定義できよう。
: <math>\Omega = \{H,T\}</math>
: <math>F = \{\varnothing, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}</math>
コルモゴロフの公理から次が分かる。
: <math>P(\varnothing) = 0</math>
表でも裏でもない確率は0となる。
: <math>P(\{H,T\}^c) = 0</math>
表か裏か''いずれか''の確率は、1となる。
: <math>P(\{H\}) + P(\{T\}) = 1</math>
また、上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

== 参照項目 ==
* [[ボレル集合]]
* [[完全加法族]]
* [[集合論]]
* [[条件付き確率]]
* {{仮リンク|偽確率|en|Quasiprobability|label=}}

== 注釈 ==
{{Reflist|group="注釈"}}
== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|title=Foundations of the theory of probability|url=https://archive.org/details/foundationsofthe00kolm|author=[[アンドレイ・コルモゴロフ|Andrey Kolmogorov]]|publisher=Chelsea Publishing Company|year=1950|origyear=1933|isbn=|location=New York, USA|pages=|ref="Kolmogorov1933"}}
* {{Cite book|author=[[:en:Morris H. DeGroot|Morris H. DeGroot]]|title=Probability and Statistics|location=Reading|publisher=Addison-Wesley|year=1975|pages=[https://archive.org/details/probabilitystati0000degr/page/12 12–16]|isbn=0-201-01503-X|url=https://archive.org/details/probabilitystati0000degr/page/12}}
* {{Cite book|first=James R.|last=McCord|first2=Richard M.|last2=Moroney|year=1964|title=Introduction to Probability Theory|chapterurl=https://archive.org/details/introductiontopr00mcco|chapter=Axiomatic Probability|location=New York|publisher=Macmillan|pages=[https://archive.org/details/introductiontopr00mcco/page/13 13–28]}}
* {{Cite book|和書|title=確率論|author=伊藤清|authorlink=伊藤清|publisher=岩波書店|year=1987|origyear=1953|isbn=4-00-005141-5|page=|ref="伊藤1953"}}
* [[Mizar|Mizarシステム]]における確率の[https://web.archive.org/web/20130923121802/http://mws.cs.ru.nl/mwiki/prob_1.html#M2 正式な定義]、および正式に証明されている[http://mmlquery.mizar.org/cgi-bin/mmlquery/emacs_search?input=(symbol+Probability+%7C+notation+%7C+constructor+%7C+occur+%7C+th)+ordered+by+number+of+ref 定理の一覧]。

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