確率分布のソースを表示

{{出典の明記|date=2011-11}}
'''確率分布'''（かくりつぶんぷ、{{lang-en-short|probability distribution}}）は、[[確率変数]]に対して、各々の値をとる確率全体を表したものである。[[日本産業規格]]では、「[[確率変数]]がある値となる[[確率]]，又はある[[集合]]に属する確率を与える[[関数 (数学)|関数]]」と[[定義]]している{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=1.3 確率分布}}。

== 概要 ==
例えば、「[[サイコロ]]2個を振ったときの出た目の和」は[[確率変数]]である。この確率変数 {{mvar|X}} に対する分布は次の表のようになる。
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!{{mvar|X}} の取る値 {{mvar|n}}
|2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12
|-
!{{math|''P''(''X'' の値が ''n'' を取る)}}
|{{sfrac|1|36}}||{{sfrac|2|36}}||{{sfrac|3|36}}||{{sfrac|4|36}}||{{sfrac|5|36}}||{{sfrac|6|36}}||{{sfrac|5|36}}||{{sfrac|4|36}}||{{sfrac|3|36}}||{{sfrac|2|36}}||{{sfrac|1|36}}
|}
すなわち、[[離散型確率変数]]である場合は、確率分布とは確率変数の値にその確率（確率質量）を対応させる[[関数 (数学)|関数]]（[[確率質量関数]]）のことであると言うこともできる。しかし、例えば「次に[[電話]]がなるまでの時間」といった、連続型確率変数の場合は、確率変数値での確率が全て {{math|0}} となり、確率分布を確率質量関数で表すことができない。

「次に電話がなるまでの時間」は確率変数である。この確率変数 {{mvar|X}} の分布が次のようになったとする。
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!{{mvar|X}} の値が取る範囲 {{mvar|I}}
|1時間以内||1–2時間後||2–3時間後||3–4時間後||4時間以上先
|-
!{{math|''P''(''X'' が ''I'' の範囲の値を取る)}}
|{{sfrac|1|2}}||{{sfrac|1|4}}||{{sfrac|1|8}}||{{sfrac|1|16}}||{{sfrac|1|16}}
|}
この場合の確率を全て表すには、全ての連続区間での確率を求めることになる。次の電話が {{mvar|a}} - {{mvar|b}} 時間後になる確率は次の式で表せる：
: <math>P(a<X\leq b)=\left( \frac{1}{2} \right)^a - \left( \frac{1}{2} \right)^b</math>
[[#累積分布関数|累積分布関数]] {{mvar|F{{sub|X}}}} を
: <math>F_X (t)=P(X \leq t)= \begin{cases}
1- \left( \frac{1}{2} \right)^t, &t \geq 0 \\
0, &t<0
\end{cases}</math>
で定めれば、
: <math>P(a<X\leq b)= F_X (b)-F_X (a)</math>
のように、[[関数 (数学)#多変数関数と多価関数|一変数関数]]で分布を表現できるので便利である。さらに、{{mvar|F{{sub|X}}}} の[[導関数]] {{mvar|f{{sub|X}}}} は[[確率密度関数]]と呼ばれ、確率は[[積分]]を用いて
: <math>P(a<X\leq b)=\int_a^b f_X (t)\, dt</math>
と書ける。

通常、連続値をとる確率変数の分布は確率密度関数を用いて記述される。なぜなら、確率密度関数は[[初等関数]]で書けるが、累積分布関数は書けない場合が多いからである。

[[確率論#公理的確率論|公理主義的な確率論]]においては、{{mvar|d}}次元[[空間ベクトル|ベクトル]]値確率変数の確率分布とは、その確率変数の引き起こす[[像測度]]のことである。この測度は {{mvar|d}}次元[[ユークリッド空間]]上の[[確率測度]]であり、ユークリッド空間の部分集合に対して、確率変数の値がその集合に入る確率を与える関数となる。

単に確率分布というときは、{{mvar|d}}次元[[ユークリッド空間]]などのよく使われる[[完全加法族|可測空間]]上で定義された[[確率測度]]のことをいう。ただの確率測度と違って空間に散らばっている様子が[[統計図表|グラフ]]などの目に見える形で表現できるので「分布」と呼ばれる。

[[確率論]]で、確率変数の分布を考えるのは、その変数<!-- 確率変数の値域のこと？ -->だけを確率論的な議論の対象にしたい場合である。例えば、確率変数がある値を取る確率や、[[期待値]]、[[分散 (統計学)|分散]]といった量は変数の分布が分かれば計算できる量である。逆に分布を考えることによって隠れた変数 {{mvar|ω}}<ref group="注">[[標本空間|標本点]]あるいは[[結果 (確率論)]]のこと</ref> と確率変数との対応関係は失われてしまい、他の確率変数との関連性も不明になる。例えば、確率変数 {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の分布がそれぞれ {{mvar|P{{sub|X}}}} と {{mvar|P{{sub|Y}}}} のように与えられたとしても、2つの変数の関連性は分からないので、{{math|''X'' + ''Y''}} がある値を取る確率や、積 {{mvar|XY}} の期待値、{{math|''X'' + ''Y''}} の分散といった量は計算できない。このような量を計算したいときは、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の[[同時確率分布]] {{mvar|P{{sub|X,Y}}}} が必要となる。

よく使われる確率分布には、それぞれ名前がついており、性質がよく研究されている。このような分布をもつ確率変数に対して、研究の結果を利用することができる。例えば、確率変数の分布が平均 {{math|0}}、分散 {{math|1}} の正規分布だった場合、その変数が {{math|2}} 以上の値を取る確率は数表から 2.28% である。

== 定義 ==
=== 確率分布 ===
* 1次元確率分布とは[[可測空間]] <math>( \mathbb{R}, \mathcal{B} ( \mathbb{R} ))</math> 上で定義された[[確率測度]]のことである。
* 同様に {{mvar|d}} 次元確率分布とは <math>( \mathbb{R}^d, \mathcal{B} ( \mathbb{R}^d ))</math> 上で定義された確率測度のことである。
なお、<math>\mathcal{B} ( \mathbb{R}^d )</math> は <math>\mathbb{R}^d</math> 上の[[ボレル集合|ボレル集合族]]（集合演算で閉じた部分集合族の一種）である。

=== 確率変数の確率分布 ===
実数値確率変数 {{mvar|X}} の確率分布 <math>P_X : \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) \to [0,1]</math> を
: <math>P_X (A) = P(X \in A),\ \ \ A \in \mathcal{B} ( \mathbb{R} )</math>
で定義する。{{mvar|P{{sub|X}}}} は確率測度（[[像測度]]）である。

同様に <math>\mathbb{R}^d</math> 値確率変数 {{mvar|X}} の確率分布 <math>P_X : \mathcal{B} ( \mathbb{R}^d ) \to [0,1]</math> は
: <math>P_X (A) = P(X \in A),\ \ \ A \in \mathcal{B} ( \mathbb{R}^d )</math>
で定義される確率測度である。

確率変数 {{mvar|X}} の確率分布が {{mvar|μ}} であるとき、{{mvar|X}} は {{mvar|μ}} に従う確率変数であるといい、記号で {{math|''X'' ~ ''μ''}} と書く<ref>{{Cite book
|first = Achim
|last = Klenke
|title = Probability Theory: A Comprehensive Course
|year = 2014
|edition = Second
|publisher = Springer
|isbn = 978-1-4471-5360-3
|page = {{google books quote|id=xDy3BAAAQBAJ|page=41|41}}
|quote = We write <math>X \sim \mu</math> if <math>\mu = \mathbf{P}_X</math> and say that <math>X</math> has distribution <math>\mu</math>.
}}</ref>。例えば、「{{mvar|X}} は平均 0、分散 1 の[[正規分布]]に従う」のように使い、これを
: <math>X \sim N(0,1)</math>
のように書く。

=== 累積分布関数 ===
{{main|累積分布関数}}
[[実数]]値確率変数 {{mvar|X}} の'''[[累積分布関数]]''' ({{Lang|en|cumulative distribution function}}, CDF) あるいは一次元確率分布 {{mvar|P{{sub|X}}}} の累積分布関数とは
: <math>F_X (x) = P(X \leq x) = P_X ((-\infty, x])</math>
で与えられる関数 {{mvar|F{{sub|X}}}} のことである。累積を省略して'''分布関数''' ({{Lang|en|distribution function}}) とも言う。

累積分布関数は定義より右連続であるが、左連続とは限らない。累積分布関数が連続である（左連続でもある）確率分布を'''[[連続確率分布]]'''という。累積分布関数がとる値が[[高々 (数学)|高々]]可算個である確率分布を'''[[離散確率分布]]'''という。

=== 確率密度関数 ===
{{main|確率密度関数}}
確率分布 {{mvar|P{{sub|X}}}} が[[絶対連続]]ならば、ある[[可測関数]] {{math|&thinsp;''f''&thinsp; : ''X'' → [0, ∞)}} が存在して、確率分布は
: <math>P(X \in A) = P_X (A) = \int_A f_X (x) \, dx</math>
と表される（[[ラドン＝ニコディムの定理]]）。{{mvar|f{{sub|X}}}} は {{mvar|P{{sub|X}}}} のラドン=ニコディム微分であり、零集合を除いて一意である。{{mvar|f{{sub|X}}}} を連続型確率変数 {{mvar|X}} の'''[[確率密度関数]]''' (probability density function, PDF) という。

確率分布 {{mvar|P{{sub|X}}}} が絶対連続であるとは、任意の（[[ルベーグ測度]]に関しての）零集合 {{mvar|N}} に対して、
: <math>P_X (N) = 0</math>
が成り立つことと定義される。これは測度の絶対連続性と同じである。このとき[[連続確率分布]]である。

とくに {{mvar|A}} が区間の場合は
: <math>P(a < X < b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, dx</math>
となる。区間の端点は入れても入れなくても確率は同じである。

=== 確率質量関数 ===
{{main|確率質量関数}}
[[離散確率分布]]のときに確率密度関数に対応する関数として'''[[確率質量関数]]''' (probability mass function) がある。確率変数 {{mvar|X}} のとる値の集合が {{math2|''S'' {{=}} {{mset|''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …}}}} だとすると確率質量関数は
: <math>f_X (x_i )=P(X=x_i )=P_X (\{ x_i \} )</math>
で定まる関数 {{mvar|f{{sub|X}}}} のことである。日本語では'''確率関数'''とも略されるが、英語の probability function は意味が曖昧な言葉とされる。

=== 多次元確率分布 ===
2つ以上の変数の確率分布を、多次元確率分布と呼ぶ。2変数の確率確率分布を、二次元確率分布と呼ぶ{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=1.4 2次元分布関数}}。

==== 同時分布 ====
{{main|同時分布}}
2つ以上の変数の組の確率分布のことを'''[[同時分布]]'''（どうじぶんぷ、joint distribution）、同時確率分布 (joint probability distribution) という{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=1.4 2次元分布関数}}。

==== 周辺分布 ====
{{main|周辺分布}}
同時分布から各変数の分布だけを取り出したものを'''[[周辺分布]]'''（しゅうへんぶんぷ、{{Lang|en|marginal distribution}}）、周辺確率分布と呼ぶ。[[日本工業規格]]では、「k次元[[確率変数]]の[[部分集合]]である k - 1変数の同時分布」と定義している{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=1.6 周辺分布}}。

== 確率分布の分類 ==
まず確率変数が連続か離散かで分かれ、連続型確率変数の場合は累積分布関数が[[連続 (数学)|連続]]か[[絶対連続]]かで分類できる。
* 離散型確率変数の確率分布
** [[離散確率分布]]
* 連続型確率変数の確率分布
** [[連続確率分布]]
*** 絶対連続分布
*** 累積分布関数が連続だが絶対連続では無い確率分布
**** [[特異分布]]
** 累積分布関数が連続では無い確率分布

== 代表的な確率分布 ==
よく使われる確率分布は離散確率分布と絶対連続確率分布である。

=== 離散確率分布 ===
{{Main|離散確率分布}}
サイコロを投げた時に出る目の数字など、確率変数が離散的な値をとる場合の確率分布は離散型確率分布である。パラメトリックな離散確率分布は[[母数]]（パラメータ）と台と[[確率質量関数]] {{mvar|f}} で特徴付けられる。台というのは確率変数のとる値の集合のことである。
* [[離散一様分布]]
* [[二項分布]]
* [[負の二項分布]]
* [[多項分布]]
* [[ポアソン分布]]
* [[ポアソン二項分布]]
* [[ベルヌーイ分布]]
* [[幾何分布]]
* [[超幾何分布]]
* [[ジップ分布]]
* [[ゼータ分布]]

=== 連続確率分布（絶対連続分布） ===
{{Main|連続確率分布}}
ある地点での通行人の体重など、確率変数が連続的な場合の確率分布のうち、累積分布関数が連続な確率分布が連続型確率分布である。パラメトリックな絶対連続分布は[[母数]]（パラメータ）と[[関数の台|台]]と[[確率密度関数]] {{mvar|f}} で特徴付けられる。
* [[連続一様分布]]
* [[正規分布]]
* [[対数正規分布]]
* [[指数分布]]
* [[t分布]]
* [[カイ2乗分布]]
* [[ガンマ分布]]
* [[ベータ分布]]
* [[F分布]]
* [[コーシー分布]]
* [[アーラン分布]]
* [[三角分布]]
* [[ラプラス分布]]
* [[レイリー分布]]
* [[ロジスティック分布]]
* [[パレート分布]]
* [[ワイブル分布]]
* [[一般化双曲型分布]]
* [[ウィッシャート分布]]
* [[逆ガウス分布]]
* [[双曲線正割分布]]

=== 累積分布関数が連続だが絶対連続では無い確率分布 ===
* [[特異分布]]
** [[カントール分布]]

=== 累積分布関数が連続では無い確率分布 ===
* [[退化分布]]（連続型確率変数の場合）

== 確率分布の利用法 ==
確率変数の確率分布が与えられると、その変数に関する[[確率]]・[[期待値]]・[[分散 (統計学)|分散]]などが以下のように計算できる。

{{mvar|X}} は連続型確率変数で[[確率密度関数]]は {{mvar|f{{sub|X}}}} であり、累積分布関数は {{mvar|F{{sub|X}}}} とする。{{mvar|Y}} は離散型確率変数で台は {{math2|''S'' {{=}} {{mset|''y''{{sub|1}}, ''y''{{sub|2}}, …}}}} で[[確率質量関数]]は {{mvar|f{{sub|Y}}}} であるとする。

=== 確率の計算 ===
* {{mvar|X}} が {{mvar|a}} 以上 {{mvar|b}} 以下の値を取る確率
** <math>P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, dx </math>
** <math>P(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a)</math>
* {{mvar|Y}} の値が集合 <math>T \subset S</math> に属する確率
** <math>P(Y \in T) = \sum_{y_k \in T} f_Y (y_k)</math>

=== 期待値の計算 ===
関数 {{mvar|g}} が与えられたときに {{math|''g''(''X'')}} と {{math|''g''(''Y'')}} の期待値は
: <math>E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f_X (x) \, dx</math>
: <math>E[g(Y)] = \sum_{y_k \in S} g(y_k) f_Y(y_k)</math>
特に
: <math>E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X (x) \, dx</math>
: <math>E[Y] = \sum_{y_k \in S} y_k f_Y ( y_k )</math>

=== 分散の計算 ===
{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の分散は
: <math>V[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E[X])^2 f_X (x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_X (x) \, dx - E[X]^2</math>
: <math>V[Y] = \sum_{y_k \in S} (y_k - E[Y])^2 f_Y(y_k) = \sum_{y_k \in S} {y_k}^2 f_Y ( y_k ) - E[Y]^2</math>

== 変数変換 ==
[[確率変数]]の変数変換による新しい変数の密度関数は、元の変数の密度関数で書くことができる。この公式は[[重積分]]における変数変換とほぼ同様である。

=== 確率密度関数の変数変換公式 ===
<math>\mathbb{R}^d</math> から <math>\mathbb{R}^d</math> への変換 {{mvar|T}} により、<math>\mathbb{R}^d</math> 値確率変数 {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が
: <math>X=T(Y)</math>
と書けているとすると、{{mvar|Y}} の[[確率密度関数]]は {{mvar|X}} の確率密度関数を用いて
: <math>f_Y (y_1 , \cdots, y_d ) = |(\det J_T )( y_1 , \cdots , y_d )| f_X (T( y_1 , \cdots , y_d ))</math>
となる。ただし {{mvar|J}} は[[ヤコビ行列|ヤコビアン]]とする。

例えば[[ボックス＝ミュラー法|ボックス-ミューラー変換]]は {{math|(0, 1]{{sup|2}}}} 上の[[一様分布]]に従う確率変数 {{math2|''X'' {{=}} (''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}})}} を
: <math>Y_1 = \sqrt{-2 \ln X_1} \sin(2\pi X_2)</math>
: <math>Y_2 = \sqrt{-2 \ln X_1} \cos(2\pi X_2)</math>
によって変換する。{{mvar|X}} の密度関数は
: <math>f_X ( x_1 , x_2 ) = \begin{cases}
1, &(x_1 , x_2 ) \in (0, 1]^2 \\
0, & (x_1, x_2) \notin (0,1]^2
\end{cases}</math>
であり、上の公式を当てはめると {{mvar|Y}} の確率密度関数は
: <math>f_Y ( y_1, y_2 ) = \frac{1}{2\pi} \exp \left( -\frac{{y_1}^2 + {y_2}^2}{2} \right)</math>
となり、{{mvar|Y}} が二次元の標準[[正規分布]]に従うことが分かる。このように単純な分布を持つ変数を変換して、複雑な分布を作る操作は計算機による乱数の生成で重要となる。

=== 確率変数の和の確率分布 ===
2つの[[確率変数]] {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の和 {{math|''X'' + ''Y''}} の確率分布や差 {{math|''X'' &minus; ''Y''}} の確率分布は[[変数変換]]公式により計算できる。特に {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が[[独立 (確率論)|独立]]で、[[確率密度関数]]がそれぞれ {{mvar|f{{sub|X}}}} と {{mvar|f{{sub|Y}}}} だったとすると、和と差の確率密度関数は
: <math>f_{X+Y} (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (t-y) f_Y (y) \, dy</math>
: <math>f_{X-Y} (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (t+y) f_Y (y) \, dy</math>
となる。

特に和の確率密度関数は2つの分布の確率密度関数の[[畳み込み]]である。また、特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であり、[[フーリエ変換#畳み込み定理|畳み込みのフーリエ変換]]は周波数領域における積であることから、和の特性関数は2つの分布の特性関数の積となる。

なお、確率変数の和の確率分布が元の分布族に従う場合、その分布は[[再生性]]があるという。

== 確率モデル ==
; パーコレーション
: [[パーコレーション]]を参照。浸透 (percolation) 確率に基づくモデル。具体的には森林火災の広がり、伝染病の伝搬、金属と絶縁体の混合物、強磁性元素と非磁性元素の混晶系、分子間の重合による巨大高分子のゲル化などがある{{sfn|今野|1995|loc=第1章パーコレーションのモデル}}。
; 分岐過程
: 分岐過程 (branching process) は、生命の数変化モデル{{sfn|今野|1995|loc=第2章分岐過程}}。
; ランダムウォーク
: [[ランダムウォーク]]を参照。
; 無限粒子系
: 無限粒子の遷移率の連続時間のモデル{{sfn|今野|1995|loc=第4章無限粒子系}}。
; 凝集
: 拡散律速凝集 (DLA : diffusion limited aggregation) と呼ぶ、ヴィッテンとサンダーによる粒子のクラスターが凝集によって成長するモデル。
; 砂山崩し
: バックたちによる砂山の斜面の崩壊を表すモデル。
; 渋滞
: 交通流の渋滞モデル。
; 生命
: 生命の時間的空間的モデル。セルオートマトンとも呼ぶ。生命競技 (life game) は2次元セルオートマトンの一種である。
; 排他過程
: 排他過程 (exclusion process) は、連続時間で発展する確率モデル。上記生命モデルが離散時間の決定論的モデルであるのに対応している{{sfn|今野|1995|loc=第5章その他のモデル}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=西岡康夫 |year=2013 |title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計 |publisher=[[オーム社]] |isbn=9784274214073 |ref={{sfnref|西岡}}}}
* {{Cite book|和書 |author=伏見康治|authorlink=伏見康治 |year=1942 |title=[[確率論及統計論]] |publisher=[[河出書房]] |isbn=9784874720127 |url=http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204 |ref={{sfnref|伏見}}}}
* {{citation |year=1999 |title=JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 |publisher=[[日本規格協会]] |publisherlink=kikakurui.com |url=http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html |ref={{sfnref|JIS Z 8101-1 : 1999}}}}
* {{Cite book|和書 |author=日本数学会|authorlink=日本数学会 |year=2007 |title=数学辞典 |publisher=[[岩波書店]] |isbn=9784000803090 |ref={{sfnref|岩波}}}}
* {{Cite book|和書 |author=今野紀雄|authorlink=今野紀雄 |year=1995 |title=確率モデルって何だろう―複雑系科学への挑戦 |publisher=[[ダイヤモンド社]] |isbn=978-4478830086 |ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[確率]]
** [[確率論]]
*** [[確率質量関数]]
*** [[確率密度関数]]
*** [[同時分布]]
* [[統計学]]

{{確率分布の一覧}}
{{確率論}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:かくりつふんふ}}
[[Category:確率分布|*]]
[[Category:確率論]]
[[Category:統計学]]
[[Category:関数]]
[[Category:数学に関する記事]]