確率測度のソースを表示

{{Probability fundamentals}}
[[画像:Maxwell-Distr.png|300px|thumb|いくつかの場合において、[[統計物理学]]で'''確率測度'''という用語が用いられるが、そこで用いられる全ての[[測度論|測度]]が確率測度であるわけではない<ref name=stern>''A course in mathematics for students of physics, Volume 2'' by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 [https://books.google.co.jp/books?id=eSmC4qQ0SCAC&pg=PA802&redir_esc=y&hl=ja page 802]</ref><ref name= gut>''The concept of probability in statistical physics'' by Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 [https://books.google.com/books?id=Q1AUhivGmyUC&pg=PA149 page 149]</ref>。]]
<!---{{Probability fundamentals}}-->
[[確率論]]における'''確率測度'''（かくりつそくど、{{lang-en-short|probability measure}}）は、[[標本空間]]に[[事象 (確率論)|事象]]となる[[完全加法族]]が与えられたとき、事象の[[確率]]を測る[[測度論|測度]]のことである。一般の測度の公理（[[完全加法的集合関数|'''完全加法性''']]など）に加えて、標本空間の測度は {{math|1}} であることが公理に加わる<ref>''An introduction to measure-theoretic probability'' by George G. Roussas 2004 ISBN 0-12-599022-7 [https://books.google.co.jp/books?id=J8ZRgCNS-wcC&pg=PA47&redir_esc=y&hl=ja page 47]</ref>。<!--
[[File:Maxwell-Distr.png|thumb|300px|In some cases, [[statistical physics]] uses ''probability measures'', but not all [[measure theory|measures]] it uses are probability measures.<ref name=stern>''A course in mathematics for students of physics, Volume 2'' by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 [https://books.google.co.jp/books?id=eSmC4qQ0SCAC&pg=PA802&redir_esc=y&hl=ja page 802]</ref><ref name= gut>''The concept of probability in statistical physics'' by Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 [https://books.google.com/books?id=Q1AUhivGmyUC&pg=PA149 page 149]</ref>]]
{{Probability fundamentals}}
In mathematics, a '''probability measure''' is a [[real-valued function]] defined on a set of events in a [[probability space]] that satisfies [[Measure (mathematics)|measure]] properties such as ''countable additivity''.<ref>''An introduction to measure-theoretic probability'' by George G. Roussas 2004 ISBN 0-12-599022-7 [https://books.google.co.jp/books?id=J8ZRgCNS-wcC&pg=PA47&redir_esc=y&hl=ja page 47]</ref>  The difference between a probability measure and the more general notion of measure (which includes concepts like [[area]] or [[volume]]) is that a probability measure must assign 1 to the entire probability space. -->

確率測度は、[[アンドレイ・コルモゴロフ]]が『確率論の基礎概念』（[[1933年]]）<ref>{{Cite book|和書 |author=アンドレイ・コルモゴロフ|authorlink=アンドレイ・コルモゴロフ |translator=[[坂本實 (情報学者)|坂本實]] |date=2010-07-07 |title=確率論の基礎概念 |series=ちくま学芸文庫 ［Math ＆ science］|publisher=筑摩書房 |isbn=978-4-480-09303-5 |url=http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480093035/ |ref=harv}}</ref>で確率を公理的確率へと拡張する上で導入された。
{{See also|確率の公理}}
確率を「事象の測度」ととらえることにより、確率を公理的立場から決定し、非等確率空間における理論的確率も求められるようになった。
{{See also|確率空間}}
確率測度は[[物理学]]から[[ファイナンス]]や[[生物学]]まで様々な分野において応用されている。
<!---Intuitively, the additivity property says that the probability assigned to the union of two disjoint events by the measure should be the sum of the probabilities of the events, e.g. the value assigned to "1 or 2" in a throw of a die should be the sum of the values assigned to "1" and "2".

Probability measures have applications in diverse fields, from physics to finance and biology.-->

== 導出の必然性 ==
根元事象が無数にある場合は確率を[[ピエール＝シモン・ラプラス|ラプラス]]の[[確率の古典的な定義|古典的確率]]で定義することができない。また、[[アンドレイ・コルモゴロフ]]は自身が見出した定理（[[コルモゴロフの拡張定理]]）により、確率を無限次元に対して拡張できる必要十分条件として、確率関数が[[完全加法的集合関数|σ-加法性]]を満たすことを見出し、[[測度論|測度]]としての公理的確率を提唱した。

== 定義 ==
[[画像:Probability-measure.svg|300px|thumb|3つの事象を[[単位区間]]へ写像する'''確率測度''']]
函数 {{mvar|μ}} が[[事象 (確率論)|事象]]空間上の確率測度であるためには、以下の2つの条件が満たされなければならない。
:*{{mvar|μ}} は、[[単位区間]] [0, 1] 上の値を返し、空集合に対しては0を返し全空間では1を返す関数である。
:*[[素集合|互いに素]]な高々[[可算集合|可算]]個の可測集合列 {{math|{''E{{sub|n}}''{{)}}}} に対し、
:::<math>\mu \Bigl( \textstyle\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} E_n \Bigr) = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \mu ( E_n )</math>
::を満たす（'''完全加法性'''、{{lang-en-short|countable additivity}}）。

例えば、[[確率変数]] {{mvar|X}} が 1, 2, 3 を取る確率がそれぞれ {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|2}} であるとすると、{{math2|''X'' {{=}} 1 or 3}} である確率は {{math|{{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|2}}}} である。

事象の[[共通部分]]に基づく[[条件付き確率]]は以下のように定義される。
:<math>P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.</math>
このような条件付き確率は、{{math|''P''(''A'')}} が {{math|0}} でない限り、確率測度である<ref>''Probability, Random Processes, and Ergodic Properties'' by Robert M. Gray 2009 ISBN 1-4419-1089-1 [https://books.google.co.jp/books?id=x-VbL8mZWl8C&pg=PA163&redir_esc=y&hl=ja page 163]</ref>。

より一般的な{{仮リンク|ファジー測度|en|Fuzzy measure theory}}は確率測度とは異なるものになっている。ファジー測度では、ファジー値を足し上げた時に 1 とはならないかもしれない。そして、加法性は[[部分集合|集合の包含関係]]に基いた順序関係に置き換えられる。<!--

The [[conditional probability]] based on the intersection of events defined as:
:<math>P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.</math>
satisfies the probability measure requirements so long as <math>P(A)</math> is not zero.<ref>''Probability, Random Processes, and Ergodic Properties'' by Robert M. Gray 2009 ISBN 1-4419-1089-1 [https://books.google.co.jp/books?id=x-VbL8mZWl8C&pg=PA163&redir_esc=y&hl=ja page 163]</ref>

Probability measures are distinct from the more general notion of [[Fuzzy measure theory|fuzzy measures]] in which there is no requirement that the fuzzy values sum up to 1, and the additive property is replaced by an order relation based on [[set inclusion]].-->

== 応用例 ==
実際の金融の動きに基づいた[[金融市場]]の空間へ確率を割り当てた'''マーケット測度''' ({{lang-en-short|Market measures}}) は、確率測度の例である。この例は、[[デリバティブ]]の価格付けなどの、[[数理ファイナンス]]において関心が高い<ref>''Quantitative methods in derivatives pricing'' by Domingo Tavella 2002 ISBN 0-471-39447-5 [https://books.google.co.jp/books?id=dHIMulKy8dYC&pg=PA11&redir_esc=y&hl=ja page 11]</ref>。例えば、[[リスク中立測度]]は、金融資産の将来のペイオフを利子率で割り引いた値の、リスク中立測度に基づいた（つまり、対応するリスク中立密度関数を使い計算された）[[期待値]]が、その資産の現在価格となるような確率測度である。このようなリスク中立測度が一意に存在する場合、そのような金融市場を{{仮リンク|完備市場|en|complete market}}と呼ぶ<ref>''Irreversible decisions under uncertainty'' by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 [https://books.google.co.jp/books?id=lpsrP5mQG_QC&pg=PA11&redir_esc=y&hl=ja page 11]</ref><ref>[[アセットプライシングの基本定理]]を参照。</ref>。<!--

== Example applications ==
''Market measures'' which assign probabilities to [[financial market]] spaces based on actual market movements are examples of probability measures which are of interest in [[mathematical finance]], e.g. in the pricing of [[financial derivative]]s.<ref>''Quantitative methods in derivatives pricing'' by Domingo Tavella 2002 ISBN 0-471-39447-5 [https://books.google.co.jp/books?id=dHIMulKy8dYC&pg=PA11&redir_esc=y&hl=ja page 11]</ref> For instance, a [[risk-neutral measure]] is a probability measure which assumes that the current value of assets is the [[expected value]] of the future payoff taken with respect to that same risk neutral measure (i.e. calculated using the corresponding risk neutral density function), and  [[discounted]] at the [[risk-free rate]]. If there is a unique probability measure that must be used to price assets in a market, then the market is called a [[complete market]].<ref>''Irreversible decisions under uncertainty'' by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 [https://books.google.co.jp/books?id=lpsrP5mQG_QC&pg=PA11&redir_esc=y&hl=ja page 11]</ref>-->

直観的な意味でチャンスや可能性を表す測度の全てが確率測度であるとは言えない。例えば、[[統計力学]]の系の基本的な考え方は測度空間ではあるが、測度がいつも確率測度であるわけではない<ref name=stern/>。一般に、統計物理学では、もし「状態 A であるような系 S の確率は {{mvar|p}} である」という形の文章を考えたならば、自由度が1つの系の場合には確率測度が定義できるように思えるが、系の幾何学が[[合同関係]] (congruence) の下での確率測度を常に定義するわけではない<ref name=gut/>。

確率測度は、[[数理生物学]]でも使われる<ref>''Mathematical Methods in Biology'' by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ISBN 0-470-52587-8 [https://books.google.co.jp/books?id=6GGyquH8kLcC&pg=PA195&redir_esc=y&hl=ja page 195]</ref>。例えば、比較{{仮リンク|配列分析|en|sequence analysis}}(sequence analysis)において、確率測度は配列の中に[[アミノ酸]]がある可能性によって定義されることもある<ref>''Discovering biomolecular mechanisms with computational biology'' by Frank Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 [https://books.google.co.jp/books?id=Pygg7cIZTwIC&pg=PA127&redir_esc=y&hl=ja page 127]</ref>。
<!---Not all measures that intuitively represent chance or likelihood are probability measures. For instance, although the fundamental concept of a system in [[statistical mechanics]] is a measure space, such measures are not always probability measures.<ref name=stern/> In general, in statistical physics, if we consider sentences of the form "the probability of a system S assuming state A is p" the geometry of the system does not always lead to the definition of a probability measure [[congruence relation|under congruence]], although it may do so in the case of systems with just one degree of freedom.<ref name=gut/>

Probability measures are also used in [[mathematical biology]].<ref>''Mathematical Methods in Biology'' by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ISBN 0-470-52587-8 [https://books.google.co.jp/books?id=6GGyquH8kLcC&pg=PA195&redir_esc=y&hl=ja page 195]</ref> For instance, in comparative [[sequence analysis]] a probability measure may be defined for the likelihood that a variant may be permissible for an [[amino acid]] in a sequence.<ref>''Discovering biomolecular mechanisms with computational biology'' by Frank Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 [https://books.google.co.jp/books?id=Pygg7cIZTwIC&pg=PA127&redir_esc=y&hl=ja page 127]</ref>-->

== 参照項目 ==
*[[ボレル測度]]
*{{仮リンク|ファジー測度|en|Fuzzy measure}}(Fuzzy measure)
*[[ハール測度]]
*[[リスク中立測度]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== さらに先の文献 ==
*''Probability and Measure'' by [[Patrick Billingsley]], 1995 John Wiley ISBN 978-0-471-00710-4
*''Probability & Measure Theory'' by Robert B. Ash, Catherine A. Doléans-Dade 1999 Academic Press ISBN 0-12-065202-1

{{確率論}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:かくりつそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:確率論]]
[[Category:数学に関する記事]]