確率的割引ファクターのソースを表示

'''確率的割引ファクター'''（かくりつてきわりびきファクター、{{lang-en-short|stochastic discount factor}}）とは、
[[金融経済学]]や[[マクロ経済学]]、[[数理ファイナンス]]などにおいて、[[金融資産]]の理論的な価格を決定するために用いられる概念である。'''プライシング・カーネル'''（{{lang-en-short|pricing kernel}}）、'''状態価格密度'''（{{lang-en-short|state-price density}}）と呼ばれることもある。確率的割引ファクターが存在するならば、[[金融市場]]におけるあらゆる金融資産の資産価格はその資産の[[インカム・ゲイン]]を確率的割引ファクターで割り引いたものの[[総和]]の[[期待値]]となる。金融経済学やマクロ経済学におけるほとんどの資産価格モデルが確率的割引ファクターを用いた式で表現可能であり、[[無裁定価格理論]]や[[リスク中立確率]]、[[限界代替率]]などの[[経済学]]における他の概念とも関連が深い重要な概念である。

== 概要 ==
確率的割引ファクターが存在するならば、任意の金融資産 <math>i</math> の時点 <math>t</math> における資産価格 <math>p_{i,t}</math> は次の方程式で決定する<ref>{{Harvnb|The economic sciences prize committee of the royal Swedish academy of sciences|(2013)|ref=Nobel2013econ}}, p.5</ref>。
:<math>p_{i,t} = E_t[m_{t+1}(p_{i,t+1} + d_{i,t+1})] </math>
ここで、<math>E_t</math> は時点 <math>t</math> までの情報による[[条件付期待値]]であり、<math>d_{i,t+1}</math> は時点 <math>t+1</math> において金融資産 <math>i</math> を保有していることで得られる利益<ref>インカム・ゲインのこと、例えば[[株式]]ならば[[配当]]、[[債券]]ならクーポンなどがそれにあたる。</ref>である。[[確率変数]] <math>m_{t+1}</math> は全ての金融資産において共通であり、この <math>m_{t+1}</math> を'''確率的割引ファクター'''と呼ぶ。再帰的代入を繰り返せば適切な条件の下で
:<math>p_{i,t} = E_t\left[\sum_{k=1}^\infty\left(\prod_{s=1}^km_{t+s}\right)d_{i,t+k}\right] </math>
として表すこともできる。連続時間モデルにおいては次のように表現される<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, p.27</ref>。
:<math>p_{i,t} = \frac{1}{Z_t}E_t\left[\int_0^s Z_{t+u} d_{i,t+u}d u + Z_{t+s} p_{i,t+s}\right] </math>
この時、<math>Z_t</math> が連続時間における確率的割引ファクターとなる。これもまた、適切な条件の下で[[極限]]を取れば、
:<math>p_{i,t} = \frac{1}{Z_t}E_t\left[\int_0^\infty Z_{t+u} d_{i,t+u}d u\right] </math>
と表すことが出来る。

確率的割引ファクターは金融市場において[[一物一価の法則]]が成立するならば必ず存在する<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, pp.61-67</ref>。また、非負の確率割引ファクターが存在する[[必要十分条件]]は金融市場において裁定機会が存在しないことである（[[アセットプライシングの基本定理|アセットプライシングの第一基本定理]]）<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, pp.67-70</ref>。さらに、無裁定であると仮定した時、確率的割引ファクターが一意に決定することの必要十分条件が金融市場が[[金融経済学#市場の完備性|完備市場]]であることである（アセットプライシングの第二基本定理）<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, p.70</ref>。

== 異なる表現 ==
金融資産 <math>i</math> のグロスリターンを <math>R_{i,t+1} = \frac{p_{i,t+1} + d_{i,t+1}}{p_{i,t}}</math> とすると、
:<math>1 = E_t[m_{t+1}R_{i,t+1}]</math>
と表すことが出来る。この式は
:<math>1 = E_t[m_{t+1}R_{i,t+1}] = E_t[m_{t+1}]E_t[R_{i,t+1}] + \mathrm{Cov}_t(m_{t+1},R_{i,t+1}) </math>
と変形できる。<math>\mathrm{Cov}_t(m_{t+1},R_{i,t+1}) </math> は <math>m_{t+1}</math> と <math>R_{i,t+1}</math> の[[共分散]]である。よって
:<math>E_t[R_{i,t+1}] = \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} - \frac{\mathrm{Cov}_t(m_{t+1},R_{i,t+1})}{E_t[m_{t+1}]}</math>
となる<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, p.100</ref>。さらに、ゼロクーポン債券のグロスの利子率を <math>R_{\mathrm f,t+1}</math> とすれば
:<math>1 = E_t[m_{t+1}]R_{\mathrm f,t+1}</math>
である。よって
:<math>E_t[R_{i,t+1}] - R_{\mathrm f,t+1} = -R_{\mathrm f,t+1}\mathrm{Cov}_t(m_{t+1},R_{i,t+1}) </math>
として表現することもできる<ref>{{Harvnb|The economic sciences prize committee of the royal Swedish academy of sciences|(2013)|ref=Nobel2013econ}}, p.6</ref><ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, pp.13-15</ref>。

== リスク中立確率測度との関係 ==
確率的割引ファクター <math>m_{t+1}</math> が存在し、かつ非負であると仮定する。ゼロクーポン債券の利子率を <math>r_{\mathrm f,t+1} = R_{\mathrm f,t+1} - 1</math> とする。すると
:<math>p_{i,t} = E_t[m_{t+1}(p_{i,t+1} + d_{i,t+1})] = E_t\left[\frac{m_{t+1}}{E_t[m_{t+1}]}\frac{p_{i,t+1} + d_{i,t+1}}{1 + r_{\mathrm f,t+1}}\right]</math>
が成り立つ。ここで <math>m_{t+1} / E_t[m_{t+1}]</math> は[[確率測度]]（確率）に対する[[ラドン＝ニコディムの定理|ラドン＝ニコディム微分]]と見なせるので、
<math>m_{t+1} / E_t[m_{t+1}]</math> によって作られる新しい確率測度に対する期待値オペレーターを <math>\widetilde E</math> で表せば、
:<math>p_{i,t} = \widetilde{E}_t\left[\frac{p_{i,t+1} + d_{i,t+1}}{1 + r_{\mathrm f,t+1}}\right]</math>
が成り立つ。このようにして作られた仮想上の新しい確率測度は定義から[[リスク中立確率]]に一致する<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, p.51</ref>。

== 確率的割引ファクターの具体例 ==
=== 資本資産価格モデル ===
[[資本資産価格モデル]]を表現する確率的割引ファクターの一つの例は市場ポートフォリオの収益率を <math>r_{\mathrm m}</math> 、[[無リスク金利]]を <math>r_{\mathrm f}</math> とすれば、次のように表される。
:<math> m = \frac{1}{1 + r_{\mathrm f}} - \frac{E[r_{\mathrm m}] - r_{\mathrm f}}{(1+r_{\mathrm f})\mathrm{Var}(r_{\mathrm m})}(r_{\mathrm m} - E[r_{\mathrm m}]) </math>

=== マルチファクターモデル ===
一般に、確率的割引ファクターがファクターと呼ばれる変数 <math>F_k,k=1,\dots,K</math> の[[線形結合]]として
:<math>m = a + b_1F_1 + \dots + b_KF_K </math>
と表されるのであれば、金融資産 <math>i</math> のリターン <math>R_i</math> を <math>F_k,k=1,\dots,K</math> で回帰した係数を <math>\beta_{i,k},k=1,\dots,K</math> として、
:<math>E[R_i] = \gamma + \beta_{i,1}\lambda_1 + \dots + \beta_{i,K}\lambda_K </math>
が成立する<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, pp.106-110</ref>。ここで <math>\gamma,\lambda_1,\dots,\lambda_K</math> は全ての金融資産 <math>i</math> に共通の定数である。[[裁定価格理論]]や[[異時点間CAPM]]などのマルチファクターモデルはこのような期待リターンの表現を持つ。

=== ブラック＝ショールズモデル ===
[[オプション]]の価格付けで用いられる[[ブラック＝ショールズ方程式|ブラック＝ショールズモデル]]では株式が以下の[[幾何ブラウン運動]]に従う。
:<math>dS_t = \mu S_t d t + \sigma S_t dW_t </math>
ただし、<math>\mu,\sigma</math> は定数で、<math>W_t</math> は[[ブラウン運動]]である。また利子率も定数 <math>r</math> である。この時、確率的割引ファクターは
:<math>Z_t = Z_0\exp\left\{-rt - \frac{1}{2}\lambda^2 t -\lambda W_t\right\}</math>
である<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, pp.320-323</ref>。ただし、<math>\lambda = \frac{\mu - r}{\sigma}</math> であり、この <math>\lambda</math> はリスクの市場価格（{{lang-en-short|market price of risk}}）と呼ばれる<ref>{{Harvnb|Shreve|(2004)|ref=Shreve2004}}, p.216</ref>。

=== 消費CAPM ===
投資家の[[期待効用]]関数が以下のように表されるとする。
:<math>E\left[\sum_{t=0}^\infty\beta^tu(c_t)\right]</math>
ただし、<math>\beta</math> は効用の主観的割引率で、<math>u</math> は[[微分]]可能な関数であり、<math>c_t</math> は時点 <math>t</math> における消費額とする。いわゆる[[消費CAPM]]であるが、この時、確率的割引ファクターは
:<math>m_{t+1} = \beta\frac{u^\prime(c_{t+1})}{u^\prime(c_t)}</math>
と表される。ただし、<math>u^\prime</math> は関数 <math>u</math> の微分である。このように、消費CAPMにおいて確率的割引ファクターは消費の異時点間[[限界代替率]]（{{lang-en-short|intertemporal marginal rate of substitution, IMRS}}）となる<ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|ref=Cochrane2005}}, pp.4-7</ref>。
特に期待効用関数を時間について加法分離的な[[リスク回避#相対的リスク回避度一定(CRRA)型効用関数|相対的リスク回避度一定(CRRA)型効用関数]]とすると
:<math>m_{t+1} = \beta\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)^{-\gamma}</math>
として表される。ただし、<math>\gamma</math> は相対的リスク回避度である。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation
|last = Cochrane
|first = John H.
|title = Asset Pricing
|year = 2005
|publisher = Princeton University Press
|location = Princeton, NJ
|edition = 2
|isbn = 9780691121376
|ref = Cochrane2005
}}
* {{Citation
|last = Shreve
|first = Steven E.
|year = 2004
|title = Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models
|publisher = Springer
|place = New York
|isbn = 9780387401010
|ref = Shreve2004
}}
* {{Cite web
|date=2013-10-14
|url = http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2013/advanced-economicsciences2013.pdf
|title = Scientific Background on the Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2013 UNDERSTANDING ASSET PRICES
|format = PDF
|publisher = The economic sciences prize committee of the royal Swedish academy of sciences
|accessdate=2015-05-26
|ref=Nobel2013econ}}

== 関連項目 ==
* [[リスク中立確率]]
* [[ハンセン–ジャガナサン境界]]

{{デフォルトソート:かくりつてきわりひきふあくたあ}}
[[Category:金融経済学]]
[[Category:マクロ経済学]]
[[Category:数理ファイナンス]]