確率要素のソースを表示

[[数学]]の[[確率論]]における'''確率要素'''（かくりつようそ、{{Lang-en-short|random element}}）とは、[[確率変数]]の概念の一般化であって、その終域が単純な実数直線からより複雑な空間へ拡張されたものである。この概念は、「確率論の発展とその応用分野の拡張は、試行の（ランダムな）結果が数や数の有限集合によって表現される体系から、試行の結果が例えば[[ベクトル]]、[[関数 (数学)|関数]]、過程、[[可換体|体]]、[[級数]]、[[変換 (数学)|変換]]や[[集合]]あるいは集合族によって表現される体系へ移行する必要性につながる」という意見を残した[[モーリス・ルネ・フレシェ]]{{sfn|Fréchet|1948}}によって導入された。

昨今の慣例では〈確率要素〉を扱う際の終域は[[位相線型空間]]であることが多いが、しばしば部分集合の特別な [[完全加法族|σ-代数]]を備える[[バナッハ空間]]や[[ヒルベルト空間]]であることもある。

== 定義 ==
(Ω,&thinsp;ℱ,&thinsp;''P'') を[[確率空間]]とし、(''E'',&thinsp;ℰ) を[[可測空間]]とする。''E'' に値を取る'''確率要素'''とは、(ℱ,&thinsp;ℰ)-[[可測関数|可測]]であるような関数 {{nowrap|''X'':&thinsp;Ω→''E''}} のことを言う{{sfn|Kellenberg|1997|page={{google books quote|id=uL7UBwAAQBAJ|page=24|24}}}}。すなわち、任意の ''B''&thinsp;∈&thinsp;ℰ に対して ''B'' の[[逆像]]が ℱ に含まれるような関数 ''X'' （つまり、{{nowrap|{&thinsp;''ω''&thinsp;:&thinsp;''X''(''ω'')&thinsp;∈&thinsp;''B''&thinsp;}&thinsp;∈&thinsp;ℱ}} が成り立つような関数 ''X''）のことを、確率要素と言う。

''E'' に値を取る確率要素はしばしば、''E''-値確率変数と呼ばれる。

<math>\mathbb{R}</math> を実数空間、<math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> をその[[ボレル集合|ボレルσ-代数]]、<math>(E, \mathcal{E})=(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> としたとき、確率要素の定義は古典的な[[確率変数]]の定義と一致する。

[[バナッハ空間]] <math>B</math> に値を取る確率要素 <math>X</math> の定義は、一般的に、すべての[[有界作用素|有界線形汎関数]]が可測であるような ''B'' 上の最小の σ-代数を役立てるものと理解される。この場合の同値な定義として、すべての有界線形汎関数 ''f'' に対して <math>f \circ X</math> が確率変数であるならば、確率空間上の写像 <math>X: \Omega \rightarrow B</math> は確率要素である、というものがある。それはまた、<math>X</math> が[[弱可測関数]]であることとも同値である。

== 様々な場面における確率要素 ==
* [[確率変数]]
**[[離散確率分布]]
** [[複素確率変数]]
** [[単純確率変数]]
** {{仮リンク|確率ベクトル|en|Random vector}}
**[[ランダム行列]]
* [[確率分布]]
** [[確率質量関数]]
** [[確率密度関数]]
* [[確率過程]]
* {{仮リンク|確率場|en|Random field}}
* [[確率測度]]
* [[確率集合]]
* [[確率閉集合]]
* [[確率コンパクト集合]]<!--
* 確率点
* 確率図<ref name=Stoyan>Stoyan, D., and Stoyan, H. (1994) ''Fractals, Random Shapes and Point Fields. Methods of Geometrical Statistics''. Chichester, New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-93757-6</ref>（random figure）
* 確率形<ref name=Stoyan/>
* 確率有限集合
* 確率有限抽象集合
* 事象の確率集合-->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
* {{cite journal
  | last = Fréchet | first = M. | authorlink = モーリス・ルネ・フレシェ
  | year = 1948
  | title = Les éléments aléatoires de nature quelconque dans un espace distancié
  | journal = [[:en:Annales de l'Institut Henri Poincaré|Annales de l'Institut Henri Poincaré]]
  | volume = 10 | issue = 4 | pages = 215–310
  | url = http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1948__10_4_215_0
  | ref = harv
  }}
* Hoffman-Jorgensen J., Pisier G. (1976) "Ann.Probab.", v.4, 587-589.
* {{cite book
| last = Kellenberg
| first = O.
| title = Foundations of Modern Probability
| year = 1997
| publisher = Springer
| url = {{google books|uL7UBwAAQBAJ|plainurl=yes}}
| isbn = 0-387-94957-7
| ref = harv
}}
* Mourier E. (1955) Elements aleatoires dans un espace de Banach (These). Paris.
* Prokhorov Yu.V. (1999) Random element. Probability and Mathematical statistics. Encyclopedia. Moscow: "Great Russian Encyclopedia", P.623.
{{refend}}

== 外部リンク ==
* [http://eom.springer.de/R/r077280.htm Entry in Springer Encyclopedia of Mathematics] <!-- this appears to be the same article as the Prokhorov reference listed above, with perhaps some additions -->

{{確率論}}
{{DEFAULTSORT:かくりつようそ}}
[[Category:確率論]]
[[Category:数学に関する記事]]