確率質量関数のソースを表示

[[画像:Discrete probability distrib.svg|thumb|[[離散確率分布]]は、確率質量がはたらく点に丸を付け、支柱を付けて表す。]]
'''確率質量関数'''（かくりつしつりょうかんすう、{{lang-en-short|probability mass function}}, PMF）とは、[[確率論]]および[[統計学]]において、[[離散確率分布|離散型確率変数]]にその値をとる確率を対応させる関数のことである<ref>{{Cite book |author=Stewart, William J. |title=Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling |publisher=Princeton University Press |year=2011 |isbn=978-1-4008-3281-1 |page=105 |url=https://books.google.co.jp/books?id=ZfRyBS1WbAQC&pg=PT105&redir_esc=y&hl=ja}}</ref>（単に確率関数ということもある）。

確率質量関数の[[定義域]]は離散的であるスカラー変数や{{仮リンク|確率変数ベクトル|en|multivariate random variable}}などの[[確率要素]]であることもある。

離散型確率変数の場合は連続型確率変数の場合と異なり、[[事象 (確率論)|事象]]の確率は高々[[可算集合|可算]]個の確率質量の和で表される<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html Probability Function] at Mathworld</ref>。

== 定義 ==
[[画像:Fair dice probability distribution.svg|thumb|偏りのない[[サイコロ]]の確率質量関数。等確率空間における確率分布は[[離散一様分布]]になる。]]
{{math2|''X'' : ''S'' → ''A'' (''A'' ⊆ '''R''')}} を[[標本空間]] {{mvar|S}} に定義される離散型確率変数とすると、{{mvar|X}} に対する確率質量関数 {{math2|''f{{sub|X}}'' : ''A'' → [0, 1]}} は次の式で定義される<ref>{{Cite book |author=Kumar, Dinesh |title=Reliability & Six Sigma|publisher=Birkhäuser |year=2006 |isbn=978-0-387-30255-3 |page=22 |url=https://books.google.co.jp/books?id=XsX20uCFJbYC&pg=PA22&redir_esc=y&hl=ja}}</ref><ref>{{Cite book |author=Rao, S.S. |title=Engineering optimization: theory and practice |publisher=John Wiley & Sons |year=1996 |isbn=978-0-471-55034-1 |page=717 |url=https://books.google.co.jp/books?id=nuoryE4IwMoC&pg=PA717&redir_esc=y&hl=ja}}</ref>。
:<math>f_X (x) = \operatorname{P}(X=x) = \operatorname{P}(\{ s \in S \mid X(s) = x\})</math>
確率変数値 {{mvar|a}} には質量（確率質量）{{math2|P(''X'' {{=}} ''a'')}} がかかっており、確率質量の総和は
:<math>\sum_{x\in A} f_X(x) = 1</math>
であると考えることができる。
離散型確率変数には[[順序集合|順序]]を与えておくことでその[[離散確率分布]]が[[グラフ (関数)|グラフ]]で表せる。確率変数ベクトルなどの[[確率要素]]に対しても同様である。離散型確率変数の[[像 (数学)|像]]以外では確率質量関数値は {{math|0}}、すなわち全ての <math>x\notin X(S)</math> に対して {{math2|''f{{sub|X}}''(''x'') {{=}} 0}} である。

すると、{{mvar|X}} の像は高々[[可算集合]]であるので、確率質量関数 {{math|''f{{sub|X}}''(''x'')}} は可算個の点を除いて全領域で {{math|0}} となる。確率質量関数の不連続性は、離散確率変数の[[累積分布関数]]もまた不連続であることを示す。微分可能な範囲では、微分値は 0 であり、その範囲では確率質量関数もまた {{math|0}} である。

== 測度論的定式化 ==
離散型確率変数 {{mvar|X}} の確率質量関数は 2 つのより一般的な測度論的構成の特別な場合と見ることができる。すなわち、[[数え上げ測度]]に関して、{{mvar|X}} の[[確率分布]]と {{mvar|X}} の[[確率密度関数]]である。以下詳述する。

<math>(A, \mathcal A, P)</math> を確率空間とし、<math>(B, \mathcal B)</math> をその[[完全加法族|σ-代数]]が離散的な（したがって特に {{mvar|B}} の一元集合を含む）可測空間とする。この設定において、確率変数 <math>X:A \to B</math> は像が可算集合であれば離散的である。{{仮リンク|pushforward measure|en|pushforward measure|label=pushforward measure}} <math>X_* (P)</math>—この文脈では {{mvar|X}} の分布 (distribution) と呼ばれる—は {{mvar|B}} 上の確率測度であって、一元集合へのその制限は、各 {{math|''b'' ∈ ''B''}} に対して <math>f_X (b)=P(X^{-1} (b))=[X_* (P)](\{ b\})</math> であるから、確率質量関数 <math>f_X : B \to \mathbb R</math> を誘導する。

さて <math>(B, \mathcal B, \mu)</math> を数え上げ測度を持った測度空間とする。数え上げ測度に関する {{mvar|X}} の確率密度関数 {{mvar|f}} は、存在すれば、（数え上げ測度に関しての）{{mvar|X}} の pushforward measure の[[ラドン＝ニコディムの定理|ラドン＝ニコディム微分]]であり、したがって <math>f=d X_*P / d \mu</math> であり {{mvar|f}} は {{mvar|B}} から非負の実数への関数である。したがって、任意の {{math2|''b'' ∈ ''B''}} に対して、
:<math>P(X=b)=P(X^{-1} ( \{ b \} )):=\int_{X^{-1} (\{ b \} )} \, dP=\int_{\{ b\}} f \, d \mu =f(b)</math>
が成り立ち、{{mvar|f}} が実際確率質量関数であることが証明された。

== 実例 ==
[[標本空間]] {{mvar|S}} を偏りのないコインを投げた場合の全ての結果とし、{{mvar|X}} を {{mvar|S}} 中に定義される試行結果（表：1、裏：0）とする。コインに偏りがないので、確率質量関数は
:<math>f_X(x) =\begin{cases}
1/2, &x \in \{0, 1\},\\
0, &x \notin \{0, 1\}.
\end{cases}</math>
であり、これは[[二項分布]]の特別な場合に相当する。

多値を採る離散分布および確率質量関数の例は[[多項分布]]を参照。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 関連資料 ==
*Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p&nbsp;36) 

== 関連項目 ==
*[[確率変数]]
*[[確率密度関数]]
*[[離散確率分布]]

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{{デフォルトソート:かくりつしつりようかんすう}}
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