確率過程のソースを表示

{{出典の明記|date=2011-11}}
{{Expand English|Stochastic process|date=2024年5月}}
[[File:DriftedWienerProcess1D.svg|thumb|right|300px|確率過程の例]]
[[確率論]]において、'''確率過程'''（かくりつかてい、{{lang-en|stochastic process}}）は、[[時間]]など，条件によって変化する[[確率変数]]の数理モデルである。[[株価]]や[[為替]]の変動、[[ブラウン運動]]などの粒子の[[ランダム]]な運動を数学的に記述する模型（[[モデル (自然科学)|モデル]]）として利用している。'''不規則過程'''（{{lang-en|random process}}）とも言う<ref>{{Cite book|和書|author=足立修一 |title=システム同定の基礎 |publisher=東京電機大学出版局 |year=2009 |NCID=BA91330114 |ISBN=9784501114800 |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000010581063 |page=36}}</ref>。

確率過程からのサンプリングで得られる系列（実現値）を見本関数<ref name=":0">「見本関数（経路，sample path）」{{Cite journal|和書|author=高岡浩一郎 |title=確率微分方程式の基礎(応用数理サマーセミナー2006「確率微分方程式」講演) |journal=応用数理 |ISSN=09172270 |publisher=日本応用数理学会 |year=2007 |volume=17 |issue=1 |pages=21-28 |naid=110006242211 |doi=10.11540/bjsiam.17.1_21 |url=https://doi.org/10.11540/bjsiam.17.1_21}}</ref>（見本過程<ref>「ω ∈ Ω を固定して，X(t, ω) を t の関数とみたとき，これを見本過程という．」井原俊輔. (2009). 6-1 確率過程の一般的性質. 電子情報通信学会. 知識ベース.</ref>、経路/パス<ref name=":0" />）という。

== 数学的な定義 ==

=== １次元分布 ===
まず、時間のように一次元的なパラメタによって変化する確率変数を考えよう。

[[確率空間]] <math>(\Omega ,\mathcal{F} ,P)</math>・[[可測空間]] {{math|(''S'', Σ)}}・全順序集合 {{mvar|T}} が与えられたとする。

'''時刻''' {{mvar|T}} で添字つけられる'''状態空間''' {{mvar|S}} に値をとる'''確率過程''' {{math|''X''{{msub|''t''}}}} とは
:<math>X \colon \Omega \times T \to S</math>
であり、すべての {{math|''t'' ∈ ''T''}} に対して{{math|''X''{{msub|''t''}}}} が{{math|Ω}} 上の[[確率変数]]となるものである。換言すれば、ある確率空間で定義された確率変数の[[族 (数学)|族]]

<math>\{X(\omega, t) | t \in T \}</math> 

が確率過程である<ref>「確率過程は確率空間 (Ω, F, P) で定義された確率変数の族 {X(t, ω);t ∈ T} として記述される」 井原俊輔. (2009) [http://www.ieice-hbkb.org/files/12/12gun_03hen_06.pdf 6 章 確率過程]. 知識ベース. 電子情報通信学会.</ref>。

普通、{{mvar|T}} としては離散時間 {{math|''T'' {{=}} {1, 2, 3, …}}} や連続時間 {{math|''T'' {{=}} [0, ∞)}} を考え、状態空間 {{mvar|S}} としては[[ユークリッド空間]] <math>\mathbb{R}^d</math> や[[整数]] <math>\mathbb{Z}</math> を考える。

=== 有限次元分布 ===
{{mvar|X}} を {{mvar|S}} に値をとる確率過程とする。すべての有限列 <math>T'=( t_1, \ldots, t_k ) \in T^k</math> について、{{math|''k''}}-[[タプル]] <math>X_{T'} = (X_{t_1}, X_{t_2},\ldots, X_{t_k})</math> は {{math|''S''{{msup|''k''}}}} を値にとる確率変数となる。この確率変数の分布 <math>\mathbb{P}_{T'}(\cdot) = \mathbb{P} (X_{T'}^{-1}(\cdot))</math> は {{mvar|S{{sup|k}}}} 上の確率測度となる。このようにして得られる分布を {{mvar|X}} の[[有限次元分布]]という。

適切な[[位相空間|位相]]的な制約を加えることで、有限次元分布の「一貫した」集まりを得られる。これを用いて、ある種の確率過程を定義することができる。(例えば、コルモゴロフの拡張。）

== 例 ==
ブラウン運動の数学的モデルは[[ウィーナー過程]]である。連続時間でユークリッド空間に値をとる確率過程の典型例である。ウィーナー過程以外に、[[独立増分過程]]（レヴィ過程）、[[ガウス過程]]、[[マルチンゲール]]、[[マルコフ過程]]、[[マルコフ連鎖]]、[[定常過程]]といった確率過程がある{{sfn|岩波|loc=54 確率過程 p.132}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=伏見康治|authorlink=伏見康治|year=1942|title=確率論及統計論|publisher=[[河出書房]]|id={{全国書誌番号|46035343}}|ncid=BN06109416|ref={{sfnref|伏見}}}}
* {{Cite book|和書|author=日本数学会|authorlink=日本数学会|year=2007|title=数学辞典|edition=第4版|publisher=[[岩波書店]]|isbn=978-4-00-080309-0|ref={{sfnref|岩波}}}}

== 関連書籍 ==
* 小倉久直：「物理・工学のための 確率過程論」、コロナ社 (1978年4月20日)。
* 情報理論とその応用学会（編)：「確率過程：応用と話題」、培風館、4-563-01452-4 (1994年6月30日)。
* D.ウィリアムズ：「マルチンゲールによる確率論」、培風館、ISBN 4-563-00885-0 (2004年2月20日)。
* 伊藤清：「確率過程」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005200-9 (2007年3月20日)。
* 森真：「入門 確率解析とルベーグ積分」、東京図書、ISBN 978-4-489-02129-9 (2012年6月25日)。
* 谷口説男、松本裕行：「確率解析」、培風館（確率論教程シリーズ5）、ISBN 978-4-563-01085-0 (2013年6月5日)。
* 成田清正：「確率解析への誘い：確率微分方程式の基礎と応用」、共立出版、ISBN 978-4-320-11143-1（2016年9月25日）。

== 関連項目 ==
* [[ブラウン運動]]
* [[確率微分方程式]]
* [[伊藤過程]]
* [[ブラック-ショールズ方程式]]
* [[MCMC]]
* [[R言語]] - 複雑な確率過程モデルを簡潔に記述できるフリーの統計解析環境。
* [[GNU Octave]] - 信号処理等も得意とするフリーのmatlabに似た数値計算言語。
* [[Scilab]] - [[INRIA]]によるmatlab風な数値計算言語。

{{確率論}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:かくりつかてい}}
[[Category:確率過程|*]]
[[Category:確率論]]
[[Category:データ転送]]
[[Category:数学に関する記事]]