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[[位相幾何学]]とその周辺において、'''直積空間'''（ちょくせきくうかん、{{lang-en-short|product space}}）とは[[位相空間]]の族の[[直積集合|直積]]に'''直積位相''' (product topology) と呼ばれる{{仮リンク|自然な位相|en|natural topology}}を入れた空間のことである。この位相は他の、もしかするとより明らかな、{{仮リンク|箱位相|en|box topology}}と呼ばれる位相とは異なる。箱位相も直積空間に与えることができ、有限個の空間の直積では直積位相と一致する。しかしながら、直積位相は位相空間の圏における[[圏論的積]]であるという意味で「正しい」位相である。（一方箱位相は細かすぎる。）これが直積位相が「自然」であるという意味である。 == 定義 == {{math|( ( ''X<sub>i</sub>'' , ''O<sub>i</sub>'' ) ) <sub>''i''∈''I''</sub>}} を[[位相空間]]の[[族 (数学)|族]]とし、 {{Indent|<math>X = \prod_{i \in I} X_{i}</math>}} とする。各 {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して、{{math|''p<sub>i</sub>''}} を {{math|''X''}} から {{math|''X<sub>i</sub>''}} への[[射影 (集合論)|射影]]とする。そのとき、射影の族 {{math|( ''p<sub>i</sub>'' ) <sub>''i∈I''</sub>}} によって {{math|( ( ''X<sub>i</sub>'' , ''O<sub>i</sub>'' ) ) <sub>''i''∈''I''</sub>}} から{{仮リンク|誘導位相|label=誘導される位相|en|Initial topology|preserve=1}} {{math|''O''}} を {{math|''X''}} の'''直積位相'''（または'''チコノフ位相'''）といい、位相空間 {{math|( ''X'' , ''O'' )}} を {{math|( ( ''X<sub>i</sub>'' , ''O<sub>i</sub>'' ) ) <sub>''i''∈''I''</sub>}} の'''直積空間'''という。定義より、直積位相 {{math|''O''}} は、任意の {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して {{math|''p<sub>i</sub>''}} が {{math|''X''}} から {{math|''X<sub>i</sub>''}} への連続写像となるような {{math|''X''}} 上の位相の一つであり、そのような位相の中で最も{{仮リンク|位相の強弱|label=弱い|en|Comparison of topologies}}{{Sfn|松坂|1968}}。 直積位相での開集合は <math>\textstyle \prod_{i\in I} U_i</math> の形の集合の（有限個または無限個の）合併である。ここで各 {{math|''U<sub>i</sub>''}} は {{math|''X<sub>i</sub>''}} の開集合で、有限個の {{math|''i''}} に対してのみ {{math|''U''<sub>''i''</sub> ≠ ''X''<sub>''i''</sub>}} である。 特に、{{math|''I''}} が有限集合 {{math|''I'' = { 1, 2, 3, …, ''n'' }}} のときは、直積位相 {{math|''O''}} の基底として {{Indent|<math>\mathfrak{B} = \left \{ \ U_{1} \times U_{2} \times \cdots \times U_{n} \ | \ U_{1} \in O_{1},\ U_{2} \in O_{2},\ \cdots,\ U_{n} \in O_{n} \ \right \}</math>}} をとることができる{{Sfn|松坂|1968}}。 {{math|''X''}} 上の直積位相は、{{math|''i''}} を {{math|''I''}} の元、{{math|''U''}} を {{math|''X<sub>i</sub>''}} の開集合として、 {{math|''p<sub>i</sub>''<sup>−1</sup>(''U'')}} の形の集合によって生成された位相である。言い換えると、集合 {{math|{''p<sub>i</sub>''<sup>−1</sup>(''U'')}}} は {{math|''X''}} 上の位相の[[準開基]]をなす。{{math|''X''}} の[[部分集合]]が開であることと {{math|''p<sub>i</sub>''<sup>−1</sup>(''U'')}} の形の有限個の集合の[[交叉 (集合論)|交叉]]の（無限個でもよい）合併であることは同値である。{{math|''p<sub>i</sub>''<sup>−1</sup>(''U'')}} を [[:en:open cylinder|open cylinder]], それらの共通部分を [[:en:cylinder set|cylinder set]] と呼ぶことがある。 一般に、各 {{math|''X<sub>i</sub>''}} の開集合の「単なる直積」全体は {{math|''X''}} 上の{{仮リンク|箱位相|en|box topology}}と呼ばれるものの開基を成す。一般に、箱位相は積位相よりも細かいが、有限積に対しては一致する。 == 例 == {{math|''n''}} 個の 1 次元ユークリッド空間 {{math|'''R'''}} から作られる直積空間 {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} は、{{math|''n''}} 次元ユークリッド空間 {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} に等しい。（ただし、ユークリッド空間の位相は[[ユークリッド位相|通常の位相]]である。） [[カントール集合]]は[[離散空間]] {0, 1} の[[可算集合|可算個の]]コピーの積に[[同相]]であり、[[無理数]]全体からなる集合は[[自然数]]全体からなる集合（再び各コピーは離散位相を持っている）の可算個のコピーの積に同相である。 {{関連記事|{{仮リンク|誘導位相|en|Initial topology|preserve=1}}}} == 性質 == 位相空間の族 {{math|( ( ''X<sub>i</sub>'' , ''O<sub>i</sub>'' ) ) <sub>''i''∈''I''</sub>}} の直積空間 {{math|( ''X'' , ''O'' )}} が与えられたとする。 直積空間 {{math|''X''}} は、射影と合わせて、次の[[普遍性]]によって特徴づけることができる。{{math|''Y''}} が位相空間で、すべての {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して {{math|''f<sub>i</sub>'' : ''Y'' → ''X<sub>i</sub>''}} が連続写像であれば、''ちょうど1つの''連続写像 {{math|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が存在して、すべての {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して、以下の図式が[[可換図式]]となる： [[Image:CategoricalProduct-02.png|center|Characteristic property of product spaces]] これは直積空間が[[位相空間の圏]]における[[積 (圏論)|積]]であることを示している。上の普遍性から写像 {{math|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が連続であることと {{math|''f<sub>i</sub>'' = ''p<sub>i</sub>'' o ''f''}} がすべての {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して連続であることが[[同値]]であることが従う。多くの場合において component function {{math|''f<sub>i</sub>''}} が連続であることを確認する方が易しい。写像 {{math|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が連続であるかどうかを確認することは通常より難しい。{{math|''p<sub>i</sub>''}} が連続であるという事実を何らかの方法で使おうとする。 任意の {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して、射影 {{math|''p<sub>i</sub>'' : ''X'' → ''X<sub>i</sub>''}} は[[開写像]]である。逆は正しくない。{{math|''W''}} が直積空間の[[部分位相空間|部分空間]]であってすべての {{math|''X<sub>i</sub>''}} への射影が開であっても、{{math|''W''}} が {{math|''X''}} において開とは限らない。（例えば {{math|''W'' = '''R'''×'''R''' \ (0,1)×(0,1)}} を考えよ。）{{math|''p<sub>i</sub>'' : ''X'' → ''X<sub>i</sub>''}} は一般には[[閉写像]]でない。（例えば、2 つの {{math|'''R'''}} の直積空間 {{math|'''R'''×'''R'''}} について、{{math|''U'' = { ( ''x'', ''y'' )∈'''R'''×'''R''' | ''xy'' = 1 }}} は {{math|'''R'''×'''R'''}} の[[閉集合]]であるが、{{math|''p''<sub>1</sub>(''U'') = ''p''<sub>2</sub>(''U'') = '''R''' \{0}}} は {{math|'''R'''}} の閉集合でない。） 直積空間における[[閉包 (位相空間論)|閉包]]と[[内部 (位相空間論)|内部]]について次のことがいえる。任意の {{math|''i'' ∈ ''I''}} に対して {{math|''S<sub>i</sub>'' ⊂ ''X<sub>i</sub>''}} であるような集合族 {{math|( ''S<sub>i</sub>'' ) <sub>''i''∈''I''</sub>}} に対して、 {{Indent|<math>\left ( \prod_{i \in I} S_{i} \right )^{a} = \prod_{i \in I} {S_{i}}^{a}</math>}} が成り立つ。{{math|''I''}} が有限集合 {{math|''I'' = { 1, 2, 3, …, ''n'' }}} のときは、{{math|''S''<sub>1</sub>⊂''X''<sub>1</sub> , ''S''<sub>2</sub>⊂''X''<sub>2</sub> , … , ''S<sub>n</sub>''⊂''X<sub>n</sub>''}} であるような集合 {{math|''S''<sub>1</sub> , ''S''<sub>2</sub> , … , ''S<sub>n</sub>''}} に対して、 {{Indent|<math>\left ( S_{1} \times S_{2} \times \cdots \times S_{n} \right )^{o} = {S_{1}}^{o} \times {S_{2}}^{o} \times \cdots \times {S_{n}}^{o} </math>}} が成り立つ{{Sfn|松坂|1968}}。 直積位相は次の事実により''各点収束の位相'' (topology of pointwise convergence) とも呼ばれる。{{math|''X''}} における[[点列]]（あるいは[[ネット (数学)|ネット]]）が収束することとその空間 {{math|''X<sub>i</sub>''}} へのすべての射影が収束することは同値である。とくに、{{math|''I''}} 上のすべての[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]]からなる空間 {{math|''X'' = '''R'''<sup>''I''</sup>}} を考えると、直積空間における収束は関数の各点収束と同じである。 直積位相についての重要な定理は[[チコノフの定理]]である： 任意の[[コンパクト空間]]族の直積空間はコンパクトである。これは有限個のコンパクト空間の場合について示すのは容易だが、一般の場合の主張は[[選択公理]]と同値である。 == 他の位相的概念との関係 == * 分離性 ** [[T0空間|T<sub>0</sub> 空間]]の任意の直積は T<sub>0</sub> である。 ** [[T1空間|T<sub>1</sub> 空間]]の任意の直積は T<sub>1</sub> である。 ** [[ハウスドルフ空間]]の任意の直積はハウスドルフである。 ** [[正則空間]]の任意の直積は正則である。 ** {{仮リンク|チコノフ空間|en|Tychonoff space}}の任意の直積はチコノフである。 ** [[正規空間]]の直積は正規''とは限らない''。 * コンパクト性 ** コンパクト空間の任意の直積はコンパクトである（[[チコノフの定理]]）。 ** [[局所コンパクト空間]]の直積が局所コンパクトとは''限らない''。しかしながら、有限個を除くすべてがコンパクトであれば局所コンパクト''である''。（この条件は必要かつ十分である。） * 連結性 ** [[連結空間|連結]]（resp. 弧状連結）空間の任意の直積は連結（resp. 弧状連結）である。 ** hereditarily disconnected space の任意の直積は hereditarily disconnected である。 == 選択公理 == [[選択公理]]は、空でない集合たちの族の積が空でないという主張と同値である。証明は十分簡単である。各集合から元を選んで積において代表元を見つけるだけでよい。逆に、積の代表元は各成分からの元をちょうど1つずつ含む集合である。 選択公理は積空間の研究において再び現れる。例えば、コンパクト集合に関する[[チコノフの定理]]は選択公理と同値なより複雑かつ微妙な主張の例である。 == 関連項目 == *[[直和 (位相空間論)]] *{{仮リンク|誘導位相|en|Initial topology|preserve=1}} *{{仮リンク|Initial topology|label=Projective limit topology|en|Initial topology}} *[[商位相空間]] *[[相対位相|部分位相空間]] == 脚注 == {{reflist}} == 参考文献 == *{{cite book |last=Willard |first=Stephen |title=General Topology |year=1970 |publisher=Addison-Wesley Pub. Co. |location=Reading, Mass. |isbn=0486434796 |url=http://store.doverpublications.com/0486434796.html |accessdate=13 February 2013}} *{{Citation| last = 松坂| first = 和夫| year = 1968| title = 集合・位相入門| publisher = 岩波書店| isbn = 978-4000054249}} {{DEFAULTSORT:せきいそう}} [[Category:位相空間]] [[Category:一般位相]] [[Category:二項演算]] [[Category:数学に関する記事]]
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