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{{出典の明記|date=2018-07-09}}
'''積分回路'''（せきぶんかいろ）は、[[電気回路]]の一種で[[入力]][[電圧]]の[[波形]]の[[時間積分]]に等しい波形の電圧を[[出力]]する回路である。

[[コンデンサ]]両端の電圧は、流れ込んだ[[電流]]の[[積分]]（[[電荷]]の総量）に[[比例]]するという事実を利用している。

== RC回路 ==
電気回路中を流れる電流というのは、実は[[荷電粒子]]（[[電子]]など）の移動によって現れる、

電荷の流れである。[[導体]]に電流iがt=0からt秒間に渡って流れたとき、

流れ込んで導体を通過した電荷の総量Qは

: <math>q = \int_0^ti dt</math>
で与えられる。導体の間に[[誘電体]]を挟んだ場合（つまり、コンデンサの場合）、

誘電体中には移動できる[[自由電子]]が無いため、

流れ込んだ電流は誘電体の境界面で[[帯電]]する。

: <math>q = \int_0^tidt + Q_0</math>
<math>Q_0</math>はt=0で既に誘電体が帯びていた電荷である。

[[静電誘導]]によって反対側の境界面にも逆の[[極性]]の電荷が帯電するので、

誘電体を挟んで[[電位差]]vが生じる。複雑な形状をしていなければ、vはqに比例する。

[[比例定数]]をCとすると、

: <math>v = \frac{q}{C} = \frac{1}{C} \int_0^ti dt</math>
である。

[[Image:series-RC.svg|thumb|right|250px|[[直列回路と並列回路#直列回路|直列]][[RC回路]]]]

ここで、図のようなRC直列回路を考えて、

[[交流]]電圧Vを印加する。

[[初期状態]]におけるコンデンサCの電荷<math>Q_0 = 0</math>とすると、

t=0では、[[オームの法則]]に従って<math>I_0 = V_{in}/R</math>が流れる。

これが、

コンデンサへ流れ込んでコンデンサに電荷qが蓄えられると、

コンデンサが[[逆起電力]]を生じるので、Vの[[抵抗]]Rへの分圧が低下し、

回路を流れる電流は小さくなる。

しかし、''印加した交流電気の[[周波数]]fが十分に大きいならば''、

この交流に対してCは[[短絡]]とみなせるので、

回路を流れる電流Iは常に<math>I = V_{in}/R</math>で与えられる。

従って、このときに限り、

: <math>V_C = \frac{1}{C} \int_0^tI dt = \frac{1}{RC} \int_0^tV_{in} dt</math>
である。つまり、RC回路の両端には入力Vの積分の波形をした電圧が現れる。

== アンプを利用した積分回路 ==
<!--[[Image:Opampintegrating.png|thumb|right|250px|積分回路]]-->
=== ミラー積分回路 ===
ミラー積分回路特性計算
:<math title="ミラー積分回路特性計算">
\begin{align}
& \left\{
  \begin{align}
    & Vi=\left(\frac{R + 1}{SC}\right) i + Vo \\
    & -(Vi - R \cdot i) \mu = Vo \\
  \end{align}
\right. 
&& \begin{align} &(1) \\ \\ &(2)\ \text{より} \end{align} \\
& \quad \ \mu Vi = \mu R \cdot i - Vo && \begin{align} (2) \end{align} \\
& \begin{align}
    \begin{align}\quad \ \therefore \Delta = \\
    \\
    \ 
    \end{align}
    & \begin{align}
        \left\vert
          \begin{align}
            & \frac{R + 1}{SC}, & 1 \\
            & \mu R, & -1
          \end{align}
        \right\vert \\
    \end{align} \\
    = & -\left\{\left(\mu + 1\right)R + \frac{1}{SC}\right\}
  \end{align}
&& \begin{align} \\ \\ \\ (3) \end{align} \\
& \begin{align}
    \begin{align}\quad \ \Delta Vo = \\
    \\
    \ 
    \end{align}
    & \begin{align}
        \left\vert
          \begin{align}
            & \frac{R + 1}{SC}, & 1 \\
            & \mu R, & \mu
          \end{align}
        \right\vert
        \begin{align}Vi \\
        \\
        \ 
        \end{align} \\
    \end{align} \\
    = & \mu \left(\frac{1}{SC}\right) \cdot Vi
  \end{align}
&& \begin{align} \\ \\ \\ (4) \end{align} \\
& \begin{align}
    \frac{Vo}{Vi} &= (4) / (3) / Vi \\
    &= -1/\left\{\left(\mu + 1\right) / \mu \cdot SCR + 1 / \mu\right\} \\
    &\fallingdotseq -\left(\frac{1}{CR}\right) \cdot \left(\frac{1}{S}\right)
  \end{align}
&& \begin{align} \\ \\ \\ (5)\ \text{積分} \end{align} \\
\end{align}
</math>
より精度の高い積分波形を得るために、[[オペアンプ]]など増幅器を用いた回路があり「[[ミラー積分回路]]」と呼ばれている。
図中で、アンプが[[入力インピーダンス]]無限大の理想的なものであれば、[[非反転入力端子]]に出入りする電流は0であるので、抵抗Rを流れる電流と等しい大きさの電流IがコンデンサCに入力端子の方向から流れ込んでくる。オペアンプの非反転入力端子は[[仮想接地]]されているので、Rに流れる電流の大きさは<math>I_0 = V/R</math>である。以上より、
: <math>I = \frac{V_{in}}{R} = -C\frac{dV_{out}}{dt}</math>
が成り立っていることが分かる。初期状態において、Cに蓄えられている電荷は既に[[放電]]してあるとすると、
: <math>V_{out} = -\frac{1}{RC} \int_0^tV_{in}dt</math>
であり、入力信号を積分した出力が得られることが分かる。

実際の理想的でないオペアンプでは、入力端子に[[バイアス (電子工学)|バイアス]]電流が流れ込み、また増幅度が有限であるためにまだ誤差を生じ、信号を入力しなくても出力電圧が生じる。元々は真空管で構成した回路で、直線性の良さからオシロスコープの時間軸信号発生回路や、[[アナログコンピュータ|アナログ計算機]]で、演算増幅器と組んで積分器を構成し主に「微分方程式解析表示器」として製品開発に使われた。
真空管の入力電流はほぼゼロで、コンデンサーの漏洩電流を問題にして選別していたのだが、半導体アンプでは素子が電流制御で、これを防ぐため、電圧制御素子であるFET入力オペアンプを用いたり、入力にバイアス抵抗<!--×コンデンサCに並列に大抵抗∵註：特性を大きく落とすのでなるべく回避-->を繋いで放電させたりしている。時間軸発生など常に初期化される繰り返し型では問題ない。

== 関連項目 ==
* [[コンデンサ]]
* [[RC回路]]
* [[オペアンプ]]
* [[積分器]]
* [[アナログコンピュータ|アナログ計算機]]
* [[時間軸発生回路]]
* [[微分回路]]
* [[A-D変換]]

{{Electronics-stub}}
{{DEFAULTSORT:せきふんかいろ}}
[[Category:電気回路]]
[[Category:電子工学]]
[[Category:アナログ回路]]