積分因子のソースを表示

{{Differential equations}}
'''積分因子''' (せきぶんいんし、{{lang-en-short|integrating factor}}) とは[[微分方程式]]の解法に用いられる関数である。[[常微分方程式]]の解法で最もよく用いられ、積分因子を掛けることにより[[不完全微分]]から[[完全微分]]（積分すると[[スカラー場]]を与える）を得ることができる。特に[[熱力学]]の分野で用いられ、そこでは[[エントロピー]]を完全微分にするために温度が積分因子となる。

2変数の方程式の場合には積分因子は必ず存在する<ref>{{cite|和書 |author=和達三樹|author2=十河清|author3=出口哲生 |title=ゼロからの熱力学と統計力学 |publisher=岩波書店 |year=2005 |isbn=4-00-006700-1 |page=26}}</ref>。

== カラテオドリの定理 ==
<math>n</math> 次元[[多様体]] <math>M</math> の領域 <math>U</math> で定義された [[微分形式|1-形式]] <math>\psi</math> について
{{Indent|<math>\psi = f \, dg</math>}}
が成立するような関数 <math>f</math>, <math>g</math> (ただし <math>f \neq 0</math>) が存在するとき、<math>1/f</math> を <math>\psi</math> の積分因子と呼ぶ<ref name="MartinasBrodszky2000"/><ref name="PoglianiBerberan-Santos2000"/><ref name="Boyling1968"/>。1-形式 <math>\psi</math> の積分因子の存在に関して、カラテオドリの定理は以下の3命題が同値であることを主張する<ref name="Boyling1968"/>。
# <math>M</math> の任意の点 <math>x</math> について、点 <math>x</math> の近傍 <math>V</math> が存在し、<math>V</math> 内の任意の <math>x</math> の近傍 <math>W</math> に、区分的 <math>C^\infty</math>-級曲線 <math>\gamma</math> であって <math>\dot{\gamma}</math> が定義されるすべての点で <math>\psi \{ \dot{\gamma} ( t ) \} = 0</math> を満たすような曲線 <math>\gamma</math> によって点 <math>x</math> と結ばれることのないような点 <math>y \in W</math> が存在する。
# <math>\psi \wedge d\psi = 0</math>
# 任意の点 <math>x \in M</math> にある近傍 <math>V</math> が存在し、<math>\psi</math> の <math>V</math> への制限は積分因子を持つ。
この定理は1909年に[[コンスタンティン・カラテオドリ]]によって[[熱力学第二法則]]の定式化のために導入された<ref name="Caratheodory1909"/><ref name="Bernstein1960"/>。<math>\psi</math> が[[閉微分形式|閉形式]]（すなわち <math>d\psi = 0</math> が成立するもの）であれば[[ポアンカレの補題]]により積分因子 <math>1</math> が存在する<ref>{{Cite book |last=Nakahara |first=Mikio |title=Geometry, Topology and Physics |publisher=CRC Press |date=2003}}. Section 6.3.</ref>。また <math>n \leq 2</math> のときカラテオドリの定理によりすべての 1-形式について積分因子の存在が保証される（これは[[:en:Johann Friedrich Pfaff|Johann Friedrich Pfaff]]によって最初に示された）<ref name="MartinasBrodszky2000"/><ref name="PoglianiBerberan-Santos2000"/>。

== 積分因子を用いた常微分方程式の解法の例 ==
次のような1階の線形常微分方程式を考える。
:<math>y'+P(x)y = Q(x)\quad\quad\quad (1)</math>

この方程式に対し、適当な積分因子<math>M(x)</math>を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、
:<math>M(x)y' + M(x)P(x)y = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (2)</math>
:<math>(M(x)y)' = M(x)Q(x)\quad\quad\quad (3)</math>
となるから、(3) 式を積分して
:<math>y M(x) = \int  Q(x) M(x)\,dx</math>
となり、これよりもとの微分方程式の解として
:<math>y = \frac{\int  Q(x) M(x)\, dx}{M(x)}\,</math>
が得られる。

次に積分因子<math>M(x)</math>を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるように<math>M(x)</math>をとっていることから、
:<math>M'(x) y + M(x) y' = M(x) y' + M(x) P(x) y \quad\quad\quad</math>
となり、<math>M(x)</math>がつぎの微分方程式
:<math>M'(x) = M(x)P(x) \quad\quad\quad (4)\,</math>
を満たすことがわかる。この式を変形すると、
:<math>\frac{M'(x)}{M(x)} = P(x) \quad\quad\quad (5)\,</math>
<!--
ところで
:<math>F(x)=e^{G(x)}</math>
なる<math>F(x)</math>、<math>G(x)</math>について
:<math>F'(x)=G'(x)e^{G(x)}</math>
:<math>F'(x)=G'(x)F(x)</math>
が成り立つ。よって
:<math>P(x) = G'(x)</math>
とおくと、(5) 式が解けて
:<math>\int P(x)\,dx = G(x)</math>
:<math>e^{\int P(x)\,dx} = e^{G(x)}</math>
-->
:<math>(\ln M(x))' = P(x)</math>
したがって
:<math>M(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right)</math>
となる。

== 脚注 ==
{{reflist |refs=
<ref name="Boyling1968">{{cite journal|last1=Boyling|first1=J. B.|title=Carathéodory's principle and the existence of global integrating factors|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=10|issue=1|year=1968|pages=52–68|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF01654133|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1103840983}}</ref>
<ref name="Caratheodory1909">{{cite journal|last1=Carathéodory|first1=C.|title=Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik|journal=Mathematische Annalen|volume=67|issue=3|year=1909|pages=355–386|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01450409}}; 英訳: http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/caratheodory_-_thermodynamics.pdf</ref>
<ref name="Bernstein1960">{{cite journal|last1=Bernstein|first1=B.|title=Proof of Carathéodory's Local Theorem and Its Global Application to Thermostatics|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=1|issue=3|year=1960|pages=222–224|issn=0022-2488|doi=10.1063/1.1703655}}</ref>
<ref name="PoglianiBerberan-Santos2000">{{cite journal|last1=Pogliani|first1=Lionello|last2=Berberan-Santos|first2=Mario N.|journal=Journal of Mathematical Chemistry|volume=28|issue=1/3|year=2000|pages=313–324|issn=02599791|doi=10.1023/A:1018834326958}}</ref>
<ref name="MartinasBrodszky2000">{{Cite journal |last=Martinás |first=Katalin |last2=Brodszky |first2=Ildikó |date=2000 |title=Thermodynamics of Gyula Farkas - A new (old) approach to entropy |journal=Periodica Polytechnica: Chemical Engineering |volume=44 |issue=1 |pages=17-27 |url=https://pp.bme.hu/ch/article/download/286/179/}}</ref>
}}

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname=IntegratingFactor|title=Integrating Factor|author=Joakim Munkhammar}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:せきふんいんし}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]