積分変換のソースを表示

{{No footnotes|date=2023年8月}}
[[数学]]の分野における'''積分変換'''（せきぶんへんかん、{{Lang-en-short|''Integral transform''}}）とは、次の形をとるような[[変換 (数学)|変換]] ''T'' のことである：
:<math> (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} K(t, u)f(t)\, dt.</math>
この積分変換の入力は[[関数 (数学)|関数]] ''f'' であり、出力は関数 ''Tf'' である。積分変換は[[作用素 (関数解析学)|作用素]]の一種である。

多くの便利な積分変換が存在する。個々の積分変換は、その変換の'''[[核関数]]''' (''kernel function'') あるいは'''核''' (''kernel'', ''nucleus'') と呼ばれる[[二変数関数]] ''K'' を定めれば決まる。また、[[積分区間]]は，核によって適当に定められる。
いくつかの核関数には'''逆''' ''K''<sup>−1</sup>(''u, t'') が存在し、それは（大まかに言えば）次のような逆変換を満たす:
:<math> f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u,t)(Tf(u))\, du.</math>
このような公式は'''反転公式'''と呼ばれる。二変数の順番が変わっても変化しないような核は'''対称核'''と呼ばれる。

==動機==
数学に関する記述はさておき、積分変換が用いられる動機は理解しやすいものである。もともとの表記法では、解くことの難しい（少なくとも代数的に扱いづらい）問題が多く存在する。積分変換は、それらの問題の方程式を、元の「領域」から別の領域へと「写す」。その写された領域で方程式を扱い、そして解くことの方が、元の領域で行うよりもはるかに簡単であるような場合がある。そうして得られた解を、積分変換の逆によって元の領域へと戻すのである。

== 歴史 ==
積分変換の前身は、有限区間における関数の表現のための[[フーリエ級数]]である。その後、有限区間という制限を取り払うために、[[フーリエ変換]]が開発された。

フーリエ級数を用いることで、どのような実践的な時間依存の関数（例えば、電子装置のターミナルを通過する[[電圧]]など）でも[[正弦関数]]と[[余弦関数]]の和で表すことが出来、それらは定数係数をかけることによりスケールが適正に調整され、時間に関して前進あるいは後退させることでシフトされ、振動数を増加あるいは減少することにより「圧縮」あるいは「伸長」される。フーリエ級数における正弦関数および余弦関数は[[正規直交基底]]の例である。

==積分変換の表==
{| class="wikitable"
|+ 積分変換の表
|-
! scope="col" | 名称
! scope="col" | 記号
! scope="col" | <math>K</math>
! scope="col" | t<sub>1</sub>
! scope="col" | t<sub>2</sub>
! scope="col" | <math>K^{-1}</math>
! scope="col" | u<sub>1</sub>
! scope="col" | u<sub>2</sub>
|-
| [[フーリエ変換]]
| <math>\mathcal{F}</math>
| <math>\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[フーリエ正弦変換]]
| <math>\mathcal{F}_s</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[フーリエ余弦変換]]
| <math>\mathcal{F}_c</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[ハートレー変換]]
| <math>\mathcal{H}</math>
| <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[メリン変換]]
| <math>\mathcal{M}</math>
| <math>t^{u-1}\,</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| [[両側ラプラス変換]]
| <math>\mathcal{B}</math>
| <math>e^{-ut}\,</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| [[ラプラス変換]]
| <math>\mathcal{L}</math>
| <math>e^{-ut}\,</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| {{仮リンク|ワイエルシュトラス変換|en|Weierstrass transform}}
| <math>\mathcal{W}</math>
| <math>\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}}</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| [[ハンケル変換]]
| 
| <math>t\,J_\nu(ut)</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>u\,J_\nu(ut)</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| {{仮リンク|アーベル変換|en|Abel transform}}
| 
| <math>\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}</math>
| <math>u\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}</math>
| <math>t\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[ヒルベルト変換]]
| <math>\mathcal{H}il</math>
| <math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[ポアソン核]]
|
| <math>\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}</math>
| <math>0\,</math>
| <math>2\pi\,</math>
| 
| 
| 
|-
| [[ディラックのデルタ関数|恒等変換]]
| 
| <math>\delta (u-t)\,</math>
| <math>t_1<u\,</math>
| <math>t_2>u\,</math>
| <math>\delta (t-u)\,</math>
| <math>u_1\!<\!t</math>
| <math>u_2\!>\!t</math>
|}
逆変換に対する積分の極限において、上の表における ''c'' は変換関数の性質に依存する定数となる。例えば、ラプラス変換あるいは両側ラプラス変換に対し、''c'' は変換関数の[[零点]]の実部のうち最大のものよりも必ず大きい定数となる。

== 定義域が異なる場合 ==
本項では主に、実数全体で定義された関数に対して定義される積分変換を扱うが、より一般な群上で定義された関数に対してもその積分変換を定義することが出来る。
* 円周群上で定義された函数（つまり[[周期関数]]）を用いた場合、積分核は二重周期関数となる。円周上の関数による畳み込みは[[巡回畳み込み]]である。
* 位数 ''n'' の[[巡回群]]（これを ''C''<sub>''n''</sub> や '''Z'''/''n'''''Z''' で表す）の上で定義された関数を用いた場合、積分核は ''n'' × ''n'' 行列となり、畳み込みは[[巡回行列]]に対応する。

== 一般論 ==
各々の積分変換が持つ性質は多岐に渡るが、いくつかの性質は共通のものとなっている。例えば、すべての積分変換は[[線形作用素]]である。実は、核函数が[[超関数]]となることをも許せば、すべての線形作用素は積分変換になる（このことをきちんと定式化したものが{{仮リンク|シュワルツの核定理|en|Schwartz kernel theorem}}である）。

そのような[[積分方程式]]に関する一般論は[[フレドホルム理論]]として知られている。この理論では、核とは「関数からなる或る[[バナッハ空間]]上の[[コンパクト作用素]]」のことであるものと理解される。状況に応じてその核は[[フレドホルム作用素]]、[[核作用素]]、[[フレドホルム核]]など様々な呼ばれ方をする。
<!--
== 脚注 ==
{{reflist}}-->

==参考文献==
* A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, ''Handbook of Integral Equations'', CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
* R. K. M. Thambynayagam, ''The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers'', McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

==関連項目==
* {{仮リンク|ベイトマン変換|en|Bateman transform}}
* [[畳み込み|畳み込み核]]
* [[巡回畳み込み]]
* [[巡回行列]]
* [[微分方程式]]
* {{仮リンク|カーネルトリック|en|Kernel trick<!-- リダイレクト先の「[[:en:Kernel method]]」は、[[:ja:カーネル法]] とリンク -->}}
* [[カーネル法]]
* [[パーセヴァルの等式]]
* {{仮リンク|変換の一覧|en|List of transforms}}
* {{仮リンク|作用素の一覧|en|List of operators}}
* {{仮リンク|フーリエに関連する変換の一覧|en|List of Fourier-related transforms}}
* {{仮リンク|ナッハビンの定理|en|Nachbin's theorem}}
* {{仮リンク|再生核|en|Reproducing kernel}}
* {{仮リンク|記号積分|en|Symbolic integration}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:せきふんへんかん}}
[[Category:積分変換|*]]
[[Category:数学に関する記事]]