積分微分方程式のソースを表示

{{Differential equations}}
[[数学]]において'''積分微分方程式'''（せきぶんびぶんほうていしき、{{Lang-en-short|integro-differential equation}}）とは、ある[[函数]]の[[積分]]と[[微分]]のいずれも含むような[[方程式]]のことを言う。

== 一般的な一階線型方程式 ==

一般的な一階線型の積分微分方程式は、次のような形状を持つ。

:<math>
\frac{d}{dx}u(x) + \int_{x_0}^x f(t,u(t))\,dt = g(x,u(x)), \quad u(x_0) = u_0, \quad x_0 \ge 0.
</math>

[[微分方程式]]についてよく知られているように、積分微分方程式に対しても閉形式解を求めることはしばしば困難となる。解が見つかるような比較的まれなケースでは、ある種の積分変換が用いられることで、問題が初めに代数的な形状へと変換されることがしばしばある。そのような状況では、問題の解はそのような代数的方程式の解に対して逆変換を適用することで得られる。

=== 例 ===

次のような一階の問題を考える。

: <math>
u'(x) + 2u(x) + 5\int_{0}^{x}u(t)\,dt = 
\left\{ \begin{array}{ll}
         1, \quad x \geq 0\\
         0, \quad x < 0 \end{array} 
\right. \quad \text{with} \quad u(0)=0.
</math>

[[ラプラス変換]]は次のように定義される。

:<math> U(s) = \mathcal{L} \left\{u(x)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-sx} u(x) \,dx. </math>

各項にラプラス変換を適用し、微積分の法則を利用することで、上記の積分微分方程式は次のような代数的方程式へ変換される。

:<math> s U(s) - u(0) + 2U(s) + \frac{5}{s}U(s) = \frac{1}{s}. </math>

したがって

:<math> U(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 5} </math>

が得られる。[[線積分]]を用いながら逆変換を行うことで、結果として

:<math> u(x) = \frac{1}{2} e^{-x} \sin(2x) </math>

が得られる。

== 応用 ==
積分微分方程式は、[[理学]]および[[工学]]に現れる多くの状況をモデル化するものである。とりわけ[[回路網解析]]においてよく用いられる{{citation needed|date=November 2013}}。
 
{{仮リンク|抑制性シナプス後電位|label=抑制性|en|Inhibitory postsynaptic potential}}および{{仮リンク|興奮性シナプス後電位|label=興奮性|en|Excitatory postsynaptic potential}}の[[ニューロン]]の相互作用は積分微分方程式のシステムで表現される。例えば{{仮リンク|ウィルソン＝コーワンのモデル|en|Wilson–Cowan model}}を参照されたい。

== 参考文献 ==
* Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995

== 関連項目 ==
* [[ラプラス変換]]
* [[積分差分方程式]]

== 外部リンク ==
* [http://www.intmath.com/Laplace-transformation/9_Integro-differential-eqns-simultaneous-DE.php Interactive Mathematics]
* [http://www.maths.ox.ac.uk/chebfun/examples/integro/html/WikiIntegroDiff.shtml Numerical solution] of the example using [[:en:Chebfun|Chebfun]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:せきふんひふんほうていしき}}
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[[Category:解析学]]
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