積分方程式のソースを表示

'''積分方程式'''（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、[[数学]]において、未知の[[関数 (数学)|関数]]が[[積分]]の中に現れるような[[方程式]]である<ref name="world">Weisstein, Eric W. "Integral Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html</ref><ref name="pedia">Integral equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Integral_equation&oldid=30324</ref><ref name="arf">Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: [[:en:Academic Press]], 1985.</ref><ref name="app">Mikhlin, S. G. Integral Equations and Their Applications to Certain Problems in Mechanics, Mathematical Physics and Technology, 2nd rev. ed. New York: Macmillan, 1964.</ref><ref name="spec">Porter, D. and Stirling, D. S. G. Integral Equations: A Practical Treatment, from Spectral Theory to Applications. Cambridge, England: [[:en:Cambridge University Press]], 1990.</ref><ref name="cc">Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge, England: [[:en:Cambridge University Press]], 1991.</ref>。積分方程式と[[微分方程式]]には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある<ref name="world"/><ref name="pedia"/>。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある<ref name="world"/><ref name="pedia"/><ref name="arf"/>。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

# 積分の上限および下限が固定の場合、'''[[フレドホルム積分方程式]]'''と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、'''[[ヴォルテラ積分方程式]]'''と呼ばれる<ref>Burton, T. A. (2005). Volterra integral and differential equations. [[エルゼビア|Elsevier]].</ref><ref>Gripenberg, G., Londen, S. O., & Staffans, O. (1990). Volterra integral and functional equations. [[:en:Cambridge University Press]].</ref>。
# 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、'''第一種積分方程式'''と呼ばれ<ref name="arf"/>、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、'''第二種積分方程式'''と呼ばれる<ref name="arf"/>。
# 既知の関数 ''f'' （下記参照）が恒等的に 0 の場合、'''同次積分方程式'''と呼ばれ、''f'' が 0 でない場合、'''非同次積分方程式'''と呼ばれる。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。
ただし <math>\phi</math> は未知の関数、''f'' は既知の関数、''K'' は既知の2変数関数で'''積分核'''と呼ばれる。&lambda; は未知の係数で、[[線型代数学]]における[[固有値]]と同じ役割をする。

;第一種フレドホルム積分方程式：
:<math> f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math>
;第二種フレドホルム積分方程式：
:<math> \phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math>
;第一種ヴォルテラ積分方程式：
:<math> f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math>
;第二種ヴォルテラ積分方程式：
:<math> \phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math>

積分方程式は多くの応用において重要である<ref name="world"/><ref name="pedia"/><ref name="arf"/><ref name="app"/><ref name="spec"/><ref name="cc"/>。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や[[振動]]などが挙げられる。振動問題は[[微分方程式]]によって解かれることもある。

== 固有値問題の一般化としての積分方程式 ==
ある種の斉次線型積分方程式は、[[固有値|固有値問題]]の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、<math>\mathbf{M}</math> を行列、<math>\mathbf{v}</math> を固有ベクトル、<math>\lambda</math> を対応する固有値として、
:<math> \sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i^{}</math>
と書くことができる。

添字 <math>i</math>、<math>j</math> を連続変数 <math>x</math>、<math>y</math> で置き換えて連続極限を取ると、<math>j</math> に関する総和は <math>y</math> に関する積分、行列 <math>M_{i,j}</math> とベクトル <math>v_j</math> はそれぞれ積分核 <math>K(x,y)</math> と[[固有関数]] <math>\varphi(y)</math> に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式
:<math> \int \mathrm{d}y\, K(x,y)\varphi(y) = \lambda \varphi(x)</math>
が得られる。

一般に、<math>K(x,y)</math> は[[シュワルツの超関数|超関数]]であってもよい。超関数 <math>K</math> が <math>x=y</math> でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
=== 和書 ===
{{div col|rules=yes}}
*[[日本数学会]]：「岩波数学辞典（第3版）」、[[岩波書店]] 、ISBN 4-00-080016-7（1985年）。
*[[竹内端三]]：「積分方程式論」、共立出版 (1947年)。NDLJP:1078609
*[[吉田耕作]]：「積分方程式論」、岩波全書、ISBN 4-00-021283-4 (1950年)。
*[[溝畑茂]]：「積分方程式入門」、[[朝倉書店]]（1968年）。
*上村豊：「積分方程式：逆問題の視点から」、[[共立出版]]、ISBN 4-320-01691-2 (2001年10月15日)。
{{div col end}}

=== 洋書 ===
* Harry Bateman: ''History and Present State of the Theory of Integral Equations'', Report of the British Association (1910). 
* Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov: ''Handbook of Integral Equations''. [[:en:CRC Press]], Boca Raton, ISBN 0-8493-2876-4 (1998).
* M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko: ''Problems and Exercises in Integral Equations'', Mir Publishers, Moscow (1971).
* Smithies, F. : ''Integral Equations'', Cambridge: [[:en:Cambridge University Press]], (1958).
* Wazwaz, A. M. : ''Linear and Nonlinear Integral Equations''. Berlin: Springer (2011).
* Kondo, J. : ''Integral Equations'', Oxford, England: Clarendon Press (1992).

==== 非線型積分方程式 ====
* Davis, H. T. : ''Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations'', New York: Dover (1962).
* Precup, R. : ''Methods in Nonlinear Integral Equations'', Springer Science & Business Media (2013).

==== 線型積分方程式 ====
* Kress, R. : ''Linear Integral Equations'', New York: Springer-Verlag (1989).
* Lovitt, W. V. : ''Linear Integral Equations'', New York: Dover (1950).
* Mikhlin, S. G. : ''Linear Integral Equations'', New York: Gordon & Breach (1961).

==== 積分方程式に対する数値解析 ====
* Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P.: chapter 19: "Integral Equations and Inverse Theory", ''Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing'' (3rd ed.), New York: [[:en:Cambridge University Press]], ISBN 978-0-521-88068-8 (2007).
* Kendall E. Atkinson: ''The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind'', Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics (1997).
* Delves, L. M., & Mohamed, J. L. : ''Computational Methods for Integral Equations'', CUP Archive (1988).
* Baker, C. T. H.: ''The Numerical Treatment of Integral Equations'', Oxford, England: Clarendon Press (1977).
* R.S. Anderssen: ''The Application and Numerical Solution of Integral Equations'', Sijthoff & Noordhoff (1980)

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[[ヒルベルト空間]]
*[[フレドホルム積分方程式]]
*[[ヴォルテラ積分方程式]]

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|1895|積分方程式の解き方}}

{{Integral}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:せきふんほうていしき}}
[[Category:積分方程式|*]]
[[Category:数学に関する記事]]