空間充填曲線のソースを表示

[[Image:Peanocurve.svg|400px|thumb|[[ペアノ曲線]]の構成を三回反復したもの。無限に反復した極限で空間充填曲線となる。]]
[[解析学]]において、'''空間充填曲線'''（くうかんじゅうてんきょくせん、{{lang-en-short|space-filling curve}}）とは、[[値域]]が2次元の[[単位正方形]]（あるいはより一般に {{mvar|n}} [[次元]]の単位[[超立方体]]）全体を含む[[曲線]]である。[[ジュゼッペ・ペアノ]]が最初にその1つを発見したので、2次元[[平面]]における空間充填曲線は''[[ペアノ曲線]]''と呼ばれることもあるが、この名称はペアノによって発見された特定の空間充填曲線の例も指す。

== 定義 ==
直観的には、2次元や3次元（あるいはより高次元）内の連続曲線は、連続的に動く点の軌跡と思うことができる。この考えに内在する曖昧さを排除するため、[[カミーユ・ジョルダン|ジョルダン]]は1887年に次の厳密な定義を導入し、それ以来これは''連続曲線''の概念の正確な記述として採用されている：

:（端点を持つ）曲線とは、定義域が[[単位区間]] {{math|[0, 1]}} である[[連続写像]]のことである。

最も一般的な形では、そのような写像の値域は任意の[[位相空間]]でよいが、最もよく研究される場合は、値域は2次元平面（このとき''平面曲線''）や3次元空間（''空間曲線''）のような[[ユークリッド空間]]に含まれる。

曲線を写像自身ではなく写像の[[像 (数学)|像]]（写像の取る値全ての集合）と同一視することがある。端点をもたない曲線を実数直線（あるいは単位開区間 {{math|(0, 1)}}）上の連続写像と定義することもできる。

==歴史==
1890年、[[ペアノ]]は今では[[ペアノ曲線]]と呼ばれる、単位正方形のすべての点を通る連続曲線を発見した{{sfn|Peano|1890}}。彼の目的は[[単位区間]]から[[単位正方形]]の上への[[連続写像]]を構成することであった。ペアノは、単位区間内の無限個の点は単位正方形のような任意の有限次元[[多様体]]の無限個の点と同じ[[濃度 (数学)|濃度]]であるという、[[ゲオルク・カントール]]による以前の反直観的結果に動機づけられた。ペアノが解いた問題はそのような写像が連続にできるかどうか、すなわち空間を埋める曲線があるかどうかであった。ペアノの解は単位区間と単位正方形の間の連続な[[1対1対応]]ではなく、実際そのような対応は存在しない（下記参照）。

[[Image:Hilbert curve.svg|400px|thumb|ヒルベルト曲線の構成の6回の繰り返し、その極限の空間充填曲線は数学者[[ダヴィット・ヒルベルト]]によって考案された。]]

曲線に「厚さ」と1次元性の漠然とした概念を関連付けることが一般的であった。すべての通常遭遇する曲線は[[区分的]]に微分可能（つまり区分的に連続微分を持つ）であったが、そのような曲線は単位正方形全体を埋められない。したがって、ペアノの空間充填曲線は非常に反直観的であった。

ペアノの例から、値域が {{mvar|n}} 次元[[超立方体]]（{{mvar|n}} は任意の正整数）を含む連続曲線を作るのは容易であった。ペアノの例を端点の無い連続曲線に拡張し、{{mvar|n}} 次元ユークリッド空間（{{mvar|n}} は 2 や 3 や他の任意の正整数）全体を埋め尽くすことも容易であった。

ほとんどの有名な空間充填曲線は[[区分線型関数|区分線型]]連続曲線の列のどんどん空間を埋める極限に近似していく極限として反復的に構成される。

ペアノの革新的な論文は彼の構成の図を全く含まず、[[三進法|三進展開]]と{{ill2|鏡映作用素|en|mirroring operator}}を用いて定義された。しかし図的構成は彼に完全に明らかだった――Turin にある彼の家に曲線の絵を示す装飾用のタイルをはったのである。ペアノの論文はまた手法は3以外の奇数の底に明らかに拡張できると述べることで終わる。{{仮リンク|言葉の無い証明|en|proof without words|label=図的可視化}}に訴えることを避けた彼の選択は、疑いようもなく、図に全く依らない根拠の確かな完全に厳密な証明の欲求によって動機付けられた。当時（一般位相の基礎付けの開始頃）、図的議論はまだ証明に含まれていたが、しばしば反直観的な結果を理解する障害となりつつあった。

一年後、[[ダヴィット・ヒルベルト]]は同じジャーナルにペアノの構成の変種を出版した{{sfn|Hilbert|1891}}。ヒルベルトの論文は構成手法を可視化する助けとなる絵を含む最初のものであった。その絵は本質的にはここに描かれているのと同じである。しかしながら、[[ヒルベルト曲線]]の解析的な形は、ペアノのものよりも複雑である。

== 空間充填曲線の構成の概略 ==
<math>\mathcal{C}</math> で[[カントール空間]] <math>\mathbf{2}^\mathbb{N}</math> を表す。

カントール空間 <math>\mathcal{C}</math> から単位区間全体 {{math|[0, 1]}} の上への連続関数 {{mvar|h}} から始める。（[[カントール関数]]の[[カントール集合]]への制限はそのような関数の例である。）それから、直積位相空間 <math display="inline">\mathcal{C} \times \mathcal{C}</math> から単位正方形全体 {{math|[0, 1] &times; [0, 1]}} の上への連続関数 {{mvar|H}} を

:<math>H(x,y) = (h(x), h(y))</math>

とおくことで得る。カントール集合は積 <math> \mathcal{C} \times \mathcal{C}</math> に[[同相]]であるから、カントール集合から <math>\mathcal{C} \times \mathcal{C}</math> の上への連続全単射 {{mvar|g}} が存在する。{{mvar|H}} と {{mvar|g}} の合成 {{mvar|f}} はカントール集合を単位正方形全体の上へと写す連続関数である。（あるいは、任意の[[コンパクト集合|コンパクト]]距離空間はカントール集合の連続像であるという定理を用いて関数 {{mvar|f}} を得ることもできる。）

最後に、{{mvar|f}} を定義域が単位区間全体 {{math|[0, 1]}} である連続関数 {{mvar|F}} に拡張できる。これは {{mvar|f}} の各成分に{{仮リンク|ティーツの拡張定理|en|Tietze extension theorem}}を用いるか、あるいは単純に {{mvar|f}} を「線型に」拡張する（つまり、カントール集合の構成で取り除かれる各開区間 {{math|(''a'', ''b'')}} 上、{{mvar|F}} の拡張部分を単位正方形内で値 {{math|''f''(''a'')}} と {{math|''f''(''b'')}} 結ぶ線分と定義する）ことによってできる。

== 性質 ==
曲線が単射でなければ、曲線の2つの交わる「部分曲線」であって、それぞれが曲線の定義域（単位区間）の互いに素な線分の像を考えることで得られるものがある。2つの部分曲線は2つの像の[[共通部分]]が空でないとき交わる。「交わる曲線」の意味は2つの平行でない直線の交点のように一方から他方へ互いに横断するものと考えたくなるかもしれない。しかしながら、2つの曲線（あるいは1つの曲線の2つの部分曲線）は円に接する直線のように横断することなく接触するかもしれない。

自己交叉しない連続曲線は単位正方形を埋められない、なぜならばそれは曲線を単位区間から単位正方形の上への[[同相]]にするからである（[[コンパクト空間]]から[[ハウスドルフ空間]]の上への任意の連続[[全単射]]は同相である）。しかし単位正方形は {{仮リンク|cut-point|en|cut-point}} を持たないため、端点以外のすべての点が cut-point である単位区間とは同相になれない。

古典的なペアノとヒルベルトの空間充填曲線に対しては、2つの部分曲線が交わるが、横断しない自己接触がある。空間充填曲線はその近似曲線が自己横断するとき（いたるところ）自己横断しうる。空間充填曲線の近似は上の図が示すように自己交叉しないこともある。3次元では、自己交叉しない近似曲線は[[結び目理論|結び目]]さえ含むかもしれない。近似曲線は {{mvar|n}} 次元空間の限られた部分に残り続けるが、その長さは限りなく増える。

空間充填曲線は[[フラクタル]]構成の特別な場合である。微分可能な空間充填曲線は存在しえない。雑に言えば、微分可能性は曲線がどれだけはやく向きを変えられるかに制限を与える。

== Hahn–Mazurkiewicz の定理 ==
[[ハンス・ハーン|Hahn]]–{{仮リンク|Stefan Mazurkiewicz|en|Stefan Mazurkiewicz|label=Mazurkiewicz}} の定理は曲線の連続像である空間の次の特徴づけである：

:空でないハウスドルフ位相空間が単位区間の連続像であることとコンパクト[[連結空間|連結]][[局所連結]][[第二可算空間]]であることは同値である。

単位区間の連続像である空間は「ペアノ空間」と呼ばれることがある。

Hahn–Mazurkiewicz の定理の多くの定式化において、第二可算は距離化可能に置き換えられる。これら2つの定式化は同値である。一方向には、コンパクトハウスドルフ空間は[[正規空間]]なので[[パベル・ウリゾーン|ウリゾーン]]の[[距離化定理]]により第二可算ならば距離化可能である。逆にコンパクト距離空間は第二可算である。

==クライン群==
doubly degenerate {{仮リンク|クライン群|en|Kleinian group}}の理論において、空間充填、あるいはむしろ球面充填曲線の多くの自然な例がある。例えば、{{harvtxt|Cannon|Thurston|2007}} は {{仮リンク|pseudo-Anosov map|en|pseudo-Anosov map}} の{{仮リンク|写像トーラス|en|mapping torus}}のファイバーの[[普遍被覆]]の無限遠での円は球面充填曲線であることを示した。（ここで球面は{{仮リンク|双曲空間|en|hyperbolic space|label=3次元双曲空間}}の無限遠での球面である。）

==積分==

Wiener は ''The Fourier Integral and Certain of its Applications'' において空間充填曲線は高次元でのルベーグ積分を1次元のルベーグ積分に帰着するのに使えることを指摘した。

==関連項目==
* [[ドラゴン曲線]]
* {{仮リンク|ゴスパー曲線|en|Gosper curve}}
* [[コッホ曲線]]
* {{仮リンク|ムーア曲線|en|Moore curve}}
* {{仮リンク|シェルピンスキー曲線|en|Sierpiński curve}}
* {{仮リンク|空間充填木|en|Space-filling tree}}
* {{仮リンク|ヒルベルトのR-木|en|Hilbert R-tree}}
* {{仮リンク|Bx-tree Moving Object Index|en|Bx-tree Moving Object Index|label=B<sup>x</sup>-木}}
* [[Z階数曲線]] (Morton-order)
* {{仮リンク|ハウスドルフ次元によるフラクタルの一覧|en|List of fractals by Hausdorff dimension}}
* {{仮リンク|オズグッド曲線|en|Osgood curve}}

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{Citation | last1=Cannon | first1=James W. | last2=Thurston | first2=William P. | author2-link=William Thurston | title=Group invariant Peano curves | origyear=1982 | doi=10.2140/gt.2007.11.1315 | mr=2326947 | year=2007 | journal=Geometry & Topology | issn=1465-3060 | volume=11 | issue=3 | pages=1315–1355}}
* {{citation|first=D.|last=Hilbert|authorlink=David Hilbert|title=[http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002253135 Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück]|journal=Mathematische Annalen|volume=38|issue=3|year=1891|pages=459–460|doi=10.1007/BF01199431}}.
* {{citation|first=B. B.|last=Mandelbrot|authorlink=Benoît Mandelbrot|title=The Fractal Geometry of Nature|contribution=Ch. 7: Harnessing the Peano Monster Curves|publisher=W. H. Freeman|year=1982}}.
* {{citation|first=Douglas M.|last=McKenna|contribution=SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid|title=The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=1994|pages=49–73|editor1-first=Richard K.|editor1-last=Guy|editor1-link=Richard K. Guy|editor2-first=Robert E.|editor2-last=Woodrow|isbn=978-0-88385-516-4}}.
* {{citation|first=G.|last=Peano|authorlink=Giuseppe Peano|title=[http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002252376 Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane]|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=36|issue=1|year=1890|pages=157–160|doi=10.1007/BF01199438}}.
* {{citation|first=Hans|last=Sagan|title=Space-Filling Curves|publisher=Springer-Verlag|year=1994|isbn=0-387-94265-3|mr=1299533}}.

==外部リンク==
{{Commons category|Space filling curves|Space-filling curves}}
* [http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC Multidimensional Space-Filling Curves]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/hilbert.shtml Proof of the existence of a bijection] at [[cut-the-knot]]

Java applets:
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Peano.shtml Peano Plane Filling Curves] at cut-the-knot
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PlaneFillingCurves.shtml Hilbert's and Moore's Plane Filling Curves] at cut-the-knot
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PeanoComplete.shtml All Peano Plane Filling Curves] at cut-the-knot

{{Fractals}}

{{DEFAULTSORT:くうかんしゆうてんきよくせん}}
[[Category:連続写像]]
[[Category:フラクタル曲線]]
[[Category:反復関数系フラクタル]]
[[Category:数学に関する記事]]