空間群のソースを表示

'''空間群'''（くうかんぐん、{{Lang-en-short|space group}}<ref>{{Cite book|和書
|author=文部省|authorlink=文部省
|coauthors = [[日本物理学会]]編
|title = 学術用語集 物理学編
|url = http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi
|year = 1990
|publisher = [[培風館]]
|isbn = 4-563-02195-4
|page = 
}}</ref>）は、[[結晶構造]]の[[対称性]]を記述するのに用いられる[[群 (数学)|群]]である。群の元となる対称操作は、[[点群]]での対称操作（[[恒等操作]]、[[回転操作]]、[[鏡映操作]]、反転操作、回映操作、回反操作）に加え、並進操作（すべての点を平行に移動させる操作）である。

空間群は全部で230種類あり、すべての[[結晶]]はそのうちの1つに属している。ただし、[[原子]]の配列は原子の性質や[[化学結合]]によるため、大半の結晶構造は100種類程度の空間群に含まれる。

空間群を記述する方法には、[[ヘルマン・モーガン記号]]([[w:H-M symbol|Hermann-Mauguin]])と[[シェーンフリース記号]](Schoenflies)の2つがある。

==シンモルフィック空間群==
230種類の空間群は「シンモルフィック空間群」と「ノンシンモルフィック空間群」に分類することができる。並進操作と両立する点群（結晶点群）に並進操作を加えて新しい集合（空間群）を作ることを考える。

まず、単純な並進操作と結晶点群を組み合わせによってできる群を'''シンモルフィック空間群'''(または共型空間群)と呼び、73種類ある。また、結晶点群に並進操作を加えることで、回転や鏡映などの対称操作に部分的な並進操作が加わって「らせん操作」や「映進操作（グライド操作）」といった新しい対称操作も生まれる。この新しい対称操作との組み合わせによってできる群を'''ノンシンモルフィック空間群'''(または非共型空間群)と呼び、157種類ある。

== 空間群の構造とその表現 ==
=== ザイツ記号 ===
空間群における対称操作は、回転操作{{Mvar|α}}と並進操作{{Mvar|b}}が組み合わさっている。この操作を({{Mvar|α}}|{{Mvar|b}})と表す。これを[[フレデリック・ザイツ|ザイツ]]記法(Seitz notation)、ザイツ記号(Seitz symbol)などと呼ぶ。回転なしの単なる並進を表す時は、{{Mvar|α}}の代わりに{{Mvar|ε}}を用いて({{Mvar|ε}}|{{Mvar|b}})と表す。
:<math>(\alpha|b)\boldsymbol r =\alpha\boldsymbol r +b</math>
=== 並進群 ===
基本並進ベクトル<math>\mathbf{t}_n = n_1\mathbf{t}_1+n_2\mathbf{t}_2+n_3\mathbf{t}_3</math>だけ結晶をずらす操作を並進操作と呼び、({{Mvar|ε}}|{{Mvar|'''''t'''''<sub>n</sub>}})と表記する。
並進操作の集まりは群をなし、[[並進群]]と呼ばれる。

並進群は3つの[[巡回群]]の[[群の直積|直積]]である。
:<math>T = T_1 \times T_2 \times T_3</math>

並進群の既約表現は全て1次元であり、空間群に属する操作が作用する[[逆格子空間]]のベクトルを{{Mvar|'''k'''}}とすると、<math>\exp{(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{t_n})}</math>と表される。

=== k点群 ===
空間群{{Mvar|G}}は、次のように[[並進群]]{{Mvar|T}}を法として[[剰余類]]に分解することができる。並進群は空間群の[[正規部分群]]([[不変部分群]])であり、右剰余類と左剰余類は一致する。
:<math>G=(\varepsilon|0)T+(\alpha|u_\alpha)T+(\beta|u_\beta)T+\cdots</math>
この{{Mvar|ε、α、β…}}は[[結晶点群]]になる。これを'''空間群{{Mvar|G}}の点群'''と呼ぶ。ある{{Mvar|T}}が与えられたとき、その{{Mvar|T}}をもつ空間群の点群は、その{{Mvar|T}}の[[晶系]]に属する点群に限られる。

[[ブリルアンゾーン]]の対称性の良い点{{Mvar|'''k'''}}では、{{Mvar|'''k'''}}≅{{Mvar|α'''k'''}}(ただし≅は[[逆格子ベクトル]]だけの違いは許すことを表す)となる回転操作{{Mvar|α}}が存在する。このような回転操作{{Mvar|α}}は点群を形成する（数学的には[[小群]]や[[固定部分群]]などと呼ばれる）。この点群{{Mvar|P<sub>k</sub>}}を'''{{Mvar|k}}点群'''と呼ぶ。

=== k群・kの星 ===
空間群を並進群を法として剰余類分解し、さらに{{Mvar|k}}点群{{Mvar|P<sub>k</sub>}}に属する回転操作{{Mvar|α}}を持つ剰余類だけを集めてできた{{Mvar|G}}の[[部分群]]{{Mvar|G<sub>k</sub>}}を'''{{Mvar|k}}群'''（または[[小群]]）と呼ぶ。並進群{{Mvar|T}}は、{{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}の不変部分群になっている。

{{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}を法として空間群{{Mvar|G}}を剰余類に分解すると、
:<math>G=\sum_\beta(\beta|u_\beta)G_k</math>
ここで{{Mvar|γ}}≠{{Mvar|β}}ならば、{{Mvar|γ'''k'''}}≇{{Mvar|β'''k'''}}である。この{{Mvar|βk}}の集合を'''{{Mvar|k}}の星'''と呼ぶ（数学的には[[群作用#軌道と等方部分群|軌道]]と呼ばれる）。

{{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}の[[既約表現]]（小表現と呼ばれる）{{Mvar|D<sup>k</sup>}}を求める際は、以下の3パターンに分けて考える必要がある。
#{{Mvar|k}}がブリルアンゾーンの内部の点である。
#{{Mvar|k}}がブリルアンゾーンの境界にあり、空間群{{Mvar|G}}がシンモルフィックである。
#{{Mvar|k}}がブリルアンゾーンの境界にあり、空間群{{Mvar|G}}がノンシンモルフィックである。
1と2の場合は、{{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}に属する元({{Mvar|β}}|{{Mvar|b}})の回転部分{{Mvar|β}}のみを集めて得られる{{Mvar|k}}点群の表現を{{Mvar|Γ}}({{Mvar|β}})とすると、以下のように求まる。
:<math>D^k((\beta|b))=\exp(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{b})\Gamma(\beta)</math>
3の場合は、通常の表現（[[線型表現]]）ではなく[[斜線表現]]（または{{仮リンク|射影表現|en|Projective representation}}とも言う）を用いる必要がある。

{{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}の既約表現が得られれば、その{{仮リンク|誘導表現|en|Induced representation}}として空間群の既約表現を得ることができる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* 柳瀬章 『空間群のプログラム TSPACE』 裳華房、1995年。ISBN 4-7853-2908-4。
* 犬井鉄郎, 田辺行人, 小野寺嘉孝 『応用群論―群表現と物理学―』 裳華房、1980年。ISBN 4-7853-2801-0。
* 今野豊彦 『物質の対称性と群論』 共立出版、2001年。ISBN 4-320-03409-0。
* 北條博彦『物質科学を学ぶ人の 空間群練習帳』、コロナ社、2020年、ISBN 978-4339066531。

== 関連項目 ==
* [[結晶構造]]
* [[点群]]、[[文様群]]

== 外部リンク ==
* {{Cite web |url=https://yseto.net/sg/sg1 |title=空間群一覧 |access-date=2024-11-08 |author=瀬戸雄介}}

{{Sci-stub}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:くうかんくん}}
[[Category:結晶学]]
[[Category:群論]]
[[Category:対称性]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:空間]]