空集合のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年3月}}
'''空集合'''（くうしゅうごう、{{lang-en-short|empty set}}）は、要素を一切持たない集合のことである。[[公理的集合論]]において、空集合は[[空集合の公理|公理]]として存在を仮定される場合と、他の公理から存在が導かれる場合がある。

==記号==
空集合を表す記号として、&empty; 、 <math>\emptyset</math> または {} がある。記号 &empty; は[[ノルウェー語]]などで用いられるアルファベット [[&Oslash;]]（[[スラッシュ (記号)|スラッシュ]]付き[[O|オー]]）に由来している。形の似ている[[ギリシャ文字]]のφ, Φ（ファイ）、[[キリル文字]]のФ, ф（エフ）および ⌀（[[直径]]記号、まる）、[[斜線付きゼロ]]、その他似た文字とは全く関係がない。

== 概要 ==
[[集合]]とは、[[素朴集合論|素朴]]には一定の決まりに従っている[[数学]]的な対象の集まりのことであるが、[[集合論]]の議論をする上で「何も含まない集まり」「何も集めていない集まり」を集合の一つと考えた方が自然である。この何も含まない集合 {} が空集合である。「……の集合」という文章において、「……」を該当するもののない条件（4で割り切れる奇数、10より大きい負の数など）とすれば、この集合は空集合になる。集合を袋にたとえる場合に、空集合は空の袋に相当する。

==定義==
いかなる元も持たない集合を'''空集合'''といい、<math>\varnothing,\;\emptyset,\;\{\}</math> などと書く。このうち初めの2つは、[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]が[[数学原論]]の最初の巻『結果の要約』(''fascicule de résultats'', [[1939年]]、日本語版：集合論 要約) で [[&Oslash;]]  を用いたのが始まりである<ref>[http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic] の2014-02-07版（2015-12-23閲覧）</ref>。

[[アンドレ・ヴェイユ]]はブルバキを引退した後、[[1991年]]に出版した『修業時代の思い出』(''Souvenirs d'apprentisage'') において、ブルバキ内部でノルウェー語を知っていたのは自分だけで、そのアルファベット [[&Oslash;]] を空集合の記号として提案したことを回想している{{sfn|ヴェイユ|2004|loc=第5章　ストラスブールとブルバキ}}<!-- シュプリンガー・フェアラーク版だと p. 34-->。[[ギリシャ文字]]の [[Φ]] で代用することもあり「ファイ」と読まれることもあるがΦとは無関係である。

== 性質 ==
* 全ての集合は空集合を[[部分集合]]として含む：任意の集合 ''A'' に対し、&empty; ⊆ ''A'' である。何故なら、任意の集合 ''A'' に対し、命題「<math>\forall x : x \in \varnothing \implies x \in A</math>」は常に真だからである（[[空虚な真]]参照）。特に <math>A=\varnothing</math> とすれば、<math>\varnothing \subseteq \varnothing</math> が成り立つことも分かる。
* どんなものであれ、空集合に元として含まれることはない。
::<math>\forall x, x \notin \varnothing.</math>
* 空集合の部分集合は空集合自身のみである。
::<math>({\forall}A)[A \subseteq \varnothing \implies A=\varnothing].</math>
* 空集合の[[濃度 (数学)|元の数]]は0である。
::|&empty;| = 0.
* どんな集合 ''A'' についても、''A'' と空集合 &empty; の[[合併 (集合論)|和集合]]は ''A'' に等しく、''A'' と &empty; の[[共通部分 (数学)|共通部分]]や[[集合の直積|直積]]は &empty; に等しい：
::''A'' ∪ &empty; = ''A'', ''A'' ∩ &empty; = &empty;, ''A'' &times; &empty; = &empty; = &empty; &times; ''A''.
* 空集合を[[定義域]]とする[[写像]]は、[[終域]]を定めるごとに唯1つ定まり、且つ[[単射]]である。特に、終域も空集合である場合 <math> \varnothing \to \varnothing </math> は[[全単射]]となる（[[空写像]]の項を参照）。
* [[集合族]] {{math|{{mset|''X''{{sub|''&lambda;''}}}}{{sub|''&lambda;'' &isin; &Lambda;}}}} の添字集合 {{math|&Lambda;}} が空集合 {{math|&empty;}} であるとき和集合は <math> \textstyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \varnothing </math> である{{sfn|Bourbaki|2004|p={{google books quote|id=7eclBQAAQBAJ|page=91|91}}}}。また集合族 {{math|{{mset|''X''{{sub|''&lambda;''}}}}{{sub|''&lambda;'' &isin; &Lambda;}}}} がある集合 {{mvar|E}} の部分集合からなり、その添字集合 {{math|&Lambda;}} が空集合 {{math|&empty;}} であるとき共通部分は <math> \textstyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = E </math> である{{sfn|Bourbaki|2004|p={{google books quote|id=7eclBQAAQBAJ|page=92|92}}}}。

== 空集合の文字コード ==
記号 ∅ は、[[Unicode]]ではU+2205、[[JIS X 0213]]では1-2-39のコードが定められていて、[[ラテン文字]]の [[Ø]] や[[直径]]を表す記号 [[⌀]] とは区別されている。[[HyperText Markup Language|HTML]]における[[実体参照]]では &amp;empty; と記述する。[[ASCII]] や [[ISO/IEC 8859|ISO 8859]] ではこの記号は定義されていない。

∅ や <math>\emptyset</math> という文字の[[活字]]やフォントが無い場合もあるので、組版の都合上、見た目が似ている[[ギリシャ文字]]の[[Φ]]で代用する習慣もある。

{| class="wikitable" style="text-align: center"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8709|2205|1-2-39|空集合|empty}}
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|first=アンドレ|last=ヴェイユ|others=[[稲葉延子]]訳|origyear=1991|year=2004|month=5|title=アンドレ・ヴェイユ自伝　ある数学者の修業時代|series=シュプリンガー数学クラブ13|volume=下|edition=増補新版|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06393-4|url=http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621063934.html|ref=harv}}
*{{Cite book
|last1      = Bourbaki
|first1     = N
|authorlink1 = ニコラ・ブルバキ
|year       = 2004
|title      = Theory of Sets
|series     = [[数学原論|Elements of Mathematics]]
|url        = {{google books|7eclBQAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer
|isbn       = 978-3-540-22525-6
|mr         = 2102219
|zbl        = 1061.03001 
|ref        = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[空関数]]
* [[形而上学的ニヒリズム]]
* [[単集合]]

{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:くうしゆうこう}}
[[Category:集合論]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:無]]
[[Category:数学に関する記事]]