空集合の公理のソースを表示

'''空集合の公理''' (くうしゅうごうのこうり、{{Lang-en-short|axiom of empty set}}) は、[[ツェルメロ＝フレンケル集合論]]や[[KP集合論]]の[[公理]]の一つで、「''いかなる要素も含まない集合が存在する''」ことを主張するものである。ただし、この公理を採用しないZF公理系の定式化も存在する<ref> [[ケネス・キューネン]]『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、[[日本評論社]]、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9</ref>。

== 定義 ==
「ある集合 '''x''' が存在して、任意の '''y''' に対し、'''y''' は '''x''' の要素でない。」
すなわち、
:<math>\exists x\, \forall y\, \lnot (y \in x)</math>

== 性質 ==
[[外延性の公理]]により、公理で主張される集合は''一意に''存在することがわかる。その集合を「[[空集合]]」と呼び、通常は '''{ }''' や '''∅''' の記号で表す。空集合を表す[[定数記号]]を予め用意してZFを記述することもある。その場合、[[無限公理]]に現れる ∅ は単に何らかの集合を表す記号であり、空集合の公理によってはじめてそれが空であることが保証される。

この公理の主張自体は明白なものと考えられているが、[[一階述語論理]]と[[置換公理]]から導くことが可能なため<ref>[http://us.metamath.org/mpegif/axnul.html　Metamath Proof Explorer, Theorem axnul]</ref>、公理には加えないこともある。

== 脚注・出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation|last=Jech|first=Thomas|authorlink=Thomas Jech|year=2002|title=Set Theory|edition=3rd millennium|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer|isbn=3-540-44085-2}}

{{集合論}}
{{Settheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:くうしゆうこうのこうり}}
[[Category:集合論の公理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:無]]
[[Category:公理]]