立体角のソースを表示

{{出典の明記|date=2021年11月}}
{{Expand English|Solid angle|date=2024年5月}}
'''立体角'''（りったいかく、{{lang-en|solid angle}}）とは、二次元における角（[[角度|平面角]]）の概念を三次元に拡張したものである。

われわれに馴染みの深い平面上における角とは、平面上の一点（角の頂点）から出る二つの[[半直線]]によって区切られた部分のことをいい、この2半直線の開き具合を角度という。角度は、角の頂点を中心とする半径1の円から、2[[半直線]]が切り取る[[円弧]]の長さで表すことができる。

これを拡張し、空間上における立体角とは、空間上の一点（角の頂点）から出る半直線が動いてつくる[[錐体|錐体面]]によって区切られた部分のことをいい、この錐体面の開き具合を立体角という。立体角は、角の頂点を中心とする半径1の球から、錐体面が切り取る曲面の面積で表すことができる。

空間内の曲面 S の張る原点の周りの立体角は積分
:<math>\omega(S) =\int_S \frac{\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{S}}{r^3} =\int_S \sin\theta\, d\theta\, d\phi</math>
により計算できる。

立体角の計量単位には次の２つがある。
* [[ステラジアン]]（記号 sr）：
:二次元での全円周を 2[[円周率|{{math|&pi;}}]] とする角度単位の[[ラジアン]]（弧度ともいう）（記号 rad）を、三次元に拡張したものである。全球の立体角は 4[[円周率|{{math|&pi;}}]] sr ≒ {{val|12.566370614|u=sr}} である。ステラジアンは[[SI単位]]であり、日本の[[計量法]]において認められている。放射強度の単位などとして用いられている。

* [[平方度]]（記号 deg<sup>2</sup>）：
:二次元での角度単位の[[度_(角度)|度]]（記号 °）を、三次元に拡張したものである。1 deg<sup>2</sup> = (2[[円周率|{{math|&pi;}}]]/360)<sup>2</sup> sr ≒ {{val|0.00030461741979|u=sr}} 、逆換算では、1 sr ≒ {{val|3282.806350012}} deg<sup>2</sup>。全球の立体角は約 {{val|41252.96}} deg<sup>2</sup> となる。平方度は非[[SI単位]]であり、日本の[[計量法]]においても認められていない。[[天文学]]で、なんらかの天体の見える大きさを、無限大の半径をもつ[[天球]]に[[射影]]してその立体角で表すのに用いられている。

== 関連項目 ==
* [[ステラジアン]]
* [[平方度]]

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[[Category:角度]]
[[Category:数学に関する記事]]
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