立方数のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年3月}}
{{読み仮名|'''立方数'''|りっぽうすう|{{lang-en-short|cubic number}}}}とは、[[図形数]]の一種であり、[[正の数と負の数|正]]{{efn|0 を含めるかは文献によって異なる。例えば [[MathWorld]] の [[#Reference-Mathworld-Cubic_Number|“Cubic Number”]] の項では正の整数に限っている。一方で OEIS A578 では 0 を含む定義になっている。}}の[[整数]]の[[冪乗|3乗]]となる数である<ref>[[#Reference-Mathworld-Cubic_Number|Weisstein, Eric W., “Cubic Number", Wolfram MathWorld]].</ref>（例：{{math2|1=8 = 2{{sup|3}} = 2 &times; 2 &times; 2}}）。図形的には1辺の長さが {{mvar|n}} の[[正六面体]]（立方体）の[[体積]]が立方数 {{math2|1=''n''{{sup|3}} = ''n'' &times; ''n'' &times; ''n''}} に対応する。

最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … である（{{OEIS|A578}}）。

== 立方数の性質 ==
1を除く全ての立方数は、連続する2つの[[三角数]]の平方の差として表される。
:<math>n^3 = \textstyle\sum\limits_{k=1}^n k^3 - \sum\limits_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}^2 - \left\{ \dfrac{(n-1)n}{2} \right\}^2 \quad n \geqq 2</math>

立方数の列の第2[[階差数列]]は公差 {{math|6}} の[[等差数列]]であり、第3階差数列は定数列 {{math|6}}である。したがって立方数の列は3階等差数列である。

[[フィボナッチ数列]]に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。
{{main|フェルマーの最終定理}}
立方数のうち[[平方数]]でもある数は {{math|''n''{{sup|6}}}} と表せる。また、[[約数]]を7個持つ数は全て[[素数]]を6乗した数である。

== 立方数の和 ==
* {{math|1}} から {{mvar|n}} 番目の立方数 {{math2|''n''{{sup|3}}}} までの[[加法|和]]は {{mvar|n}} 番目の[[三角数]]の2乗に等しい<ref group="注釈">この性質は視覚的に証明が可能である。{{Cite web |url=http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 |title=PROBLEM COLLECTION |accessdate=2015-03-12}}</ref>：<math>
  \textstyle\sum\limits_{k=1}^n k^3
  = \dfrac{n^2 (n+1)^2}{4}
  = \left\{ \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}^2
  = \left(
    \sum\limits_{k=1}^n k
    \right)^2
</math>
** 具体的には 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, … である（{{OEIS|A000537}}）
* 立方数の[[逆数]]和は次の値に[[収束級数|収束]]する：<math>\textstyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3} = \dfrac{2\pi^2}{7} \log 2 + \dfrac{16}{7} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \log \sin x \, dx</math>
** この値は 1.202056903159594… であり、[[アペリーの定数]]とよばれる
* すべての自然数は9個以下の立方数の和として表される（[[ウェアリングの問題]]）
** このうち丁度9個の立方数の和で表される数は {{math2|23, 239}} だけである
* 2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は {{math2|1=[[1729]] = 12{{sup|3}} + 1{{sup|3}} = 10{{sup|3}} + 9{{sup|3}}}} である
** 負の整数を含めると絶対値最小は {{math2|1=[[91]] = 3{{sup|3}} + 4{{sup|3}} = 6{{sup|3}} + (&minus;5){{sup|3}}}}（ただし {{math2|0, 1}} は除く）
{{main|キャブタクシー数|タクシー数|シュリニヴァーサ・ラマヌジャン}}
* [[奇数]]の立方和は 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, … である（{{OEIS|A002593}}）。これは[[平方数]]番目の[[六角数]]に等しく、6以外の全ての偶数の[[完全数]]を含む。
* [[偶数]]の立方和は 8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200, … である（{{OEIS|A254371}}）
* 連続する3つの立方数の和は 36, 99, 216, 405, 684, 1071, 1584, 2241, 3060, 4059, 5256, 6669, 8316, 10215, … である（{{OEIS|A027602}}）
* 連続する4つの立方数の和は 100, 224, 432, 748, 1196, 1800, 2584, 3572, 4788, 6256, 8000, 10044,…である（{{OEIS|A027603}}）
* 連続する5つの立方数の和は 225, 440, 775, 1260, 1925, 2800, 3915, 5300, 6985, 9000, 11375, …である（{{OEIS|A027604}}）
* 連続する立方数の和として複数通りに表せる数は 216, 8000, 33075, 64000, 89559, 105525, 164800, 188784, 189189, 216000, … である（{{OEIS|A265845}}）
* 連続する3つ以上の立方数の和として表せる立方数は 216, 8000, 64000, 216000, … である（{{OEIS|A131643}}）

== 関連項目 ==
* [[立方根]]
* [[3つの立方数の和]]
* [[図形数]]
* [[平方数]]
* [[二重平方数]]（四乗数）
* [[五乗数]]
* [[三角数]]
* [[累乗]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{Notelist}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{MathWorld|urlname=CubicNumber|title=Cubic Number}}

{{級数}}
{{Classes of natural numbers}}

{{デフォルトソート:りつほうすう}}
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