符号付測度のソースを表示

[[数学]]における'''符号付測度'''（ふごうつきそくど、{{Lang-en-short|signed measure}}）とは、[[正の数と負の数|負]]の値を取ることも許されることで一般化された[[測度]]である。正負両方の値を取り得る有名な分布である[[電荷]]（electric charge）に由来して、'''[[チャージ]]'''と呼ばれることもある<ref>チャージは必ずしも可算加法的である必要はない。[[シグマ加法性#加法的（あるいは有限加法的）な集合関数|有限加法的]]でのみあり得る。この概念についての包括的な参考文献としては{{Harvnb|Bhaskara Rao|Bhaskara Rao|1983}}を参照されたい。</ref>。

== 定義 ==
符号付測度には、無限大の値を取り得るか否かという点において、わずかに異なる二つの概念が存在する。研究論文や発展的な内容の書物においては、符号付測度は通常、有限の値を取ることのみ許されている。一方、大学生を対象とした教科書などにおいては、それらが無限大の値を取ることも許されていることが少なくない。混乱を避けるために、この記事においては、それら二つの概念をそれぞれ'''有限符号付測度'''（finite signed measure）および'''拡張符号付測度'''（extended signed measure）と区別して呼ぶことにする。

与えられた[[可測空間]] (''X'', Σ)、すなわちある[[集合]] ''X'' とその上の [[完全加法族|σ-代数]] Σ に対して、定義される'''拡張符号付測度'''とは、<math>\mu(\emptyset)=0</math> を満たす [[シグマ加法性|σ-加法的]]な[[関数 (数学)|関数]]
:<math>\mu:\Sigma\to \mathbb {R}\cup\{\infty,-\infty\}</math>
のことを言う。ここで、<math>\mu</math> が σ-加法的であるとは、Σ 内の任意の[[素集合|互いに素]]な集合の列 ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub> に対して、等式
:<math> \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)</math>
を満たすことを言う。この定義の帰結として、任意の拡張符号付測度は +∞ あるいは &minus;∞ を値として取り得るが、それらを同時に取ることは出来ないということが分かる。実際、∞&nbsp;&minus;&nbsp;∞ は定義されず避ける必要があるためである<ref>不定形の詳細については記事「[[拡大実数#算術演算|拡大実数]]」を参照されたい。</ref>。

'''有限符号付測度'''も、[[実数]]の値のみ取り得るという点を除いて、上記と同様に定義することが出来る。すなわち、+∞ あるいは &minus;∞ の値を、有限符号付測度は取らない。

有限符号付測度は[[ベクトル空間]]を構成する。一方、拡張符号付測度は加法について閉じてさえおらず、そのことがそれらの取り扱いを難しくしている。また、測度は拡張符号付測度の一種であるが、一般的には必ずしも有限符号付測度ではない。

== 例 ==
ν を空間 (''X'', Σ) 上の非負の測度とし、[[可測関数]] ''f'':''X''→ '''R''' を、
:<math>\int_X \! |f(x)| \, d\nu (x) < \infty </math>
を満たすものとする。このとき、Σ 内のすべての ''A'' に対して
:<math>\mu (A) = \int_A \! f(x) \, d\nu (x) </math>
で与えられる有限符号付測度が存在する。

この符号付測度は、有限の値しか取り得ない。+∞ も値として取ることが出来るようにするためには、上記の ''f'' の絶対可積分性についての仮定を、より弱めた
:<math>\int_X \! f^-(x) \, d\nu (x) < \infty </math>
という仮定に変える必要がある。ここで、''f''<sup>&minus;</sup>(''x'') = max(&minus;''f''(''x''), 0) は ''f'' の{{仮リンク|正の部分と負の部分|label=負の部分|en|positive and negative parts}}である。

== 性質 ==
以下では、拡張符号付測度は二つの非負の測度の差であるという結果と、有限符号付測度は二つの非負の有限符号付測度の差であるという結果を紹介する。

[[ハーンの分解定理]]により、与えられた符号付測度 μ に対して、以下の性質を満たす二つの可測集合 ''P'' と ''N'' が存在する：
#''P''∪''N'' = ''X'' および  ''P''∩''N'' = ∅;
#''E'' ⊆ ''P'' であるような Σ 内の各 ''E'' に対して、μ(''E'') ≥ 0 が成立する。すなわち、''P'' は{{仮リンク|正集合と負集合|label=正集合|en|positive and negative sets}}である。
#''E'' ⊆ ''N'' であるような Σ 内の各 ''E'' に対して、μ(''E'') ≤ 0 が成立する。すなわち、''N'' は負集合である。
また、このような分解は ''P'' および ''N'' に対する μ-[[零集合]]の和・差の[[違いを除いて]]一意である。

すべての Σ 内の可測集合 ''E'' に対して、
:<math> \mu^+(E) = \mu(P\cap E)</math>
および
:<math> \mu^-(E)=-\mu(N\cap E)</math>
で定義される二つの非負測度 μ<sup>+</sup> と μ<sup>-</sup> を考える。

μ<sup>+</sup> と μ<sup>-</sup> は共に非負測度であり、片方は有限の値しか取り得ないことが確かめられる。それらはそれぞれ、μ の正の部分（positive part）と負の部分（negative part）と呼ばれる。μ = μ<sup>+</sup> - μ<sup>-</sup> はすぐに得られる。測度 |μ| = μ<sup>+</sup> + μ<sup>-</sup> は μ の変分（variation）と呼ばれ、その得られうる最大値 ||μ|| = |μ|(''X'') は μ の{{仮リンク|全変動|en|total variation}}と呼ばれる。

このようなハーンの分解定理の帰結は、ジョルダン分解（Jordan decomposition）と呼ばれる。上述の測度 μ<sup>+</sup>、μ<sup>-</sup> および |μ| は、''P'' および ''N'' の選び方に依存しない。

== 符号付測度の空間 ==
二つの有限符号付測度の和は、有限符号付測度である。また、有限符号付測度と実数の積も同様に、有限符号付測度である。したがって、それらは線型結合について閉じている。可測空間 (''X'', Σ) 上の有限符号付測度の集合は、実[[ベクトル空間]]を構成する。これは、[[錐結合]]についてしか閉じておらず、したがって[[凸錐]]を構成するがベクトル空間は構成しない「正測度」とは対照的である。さらに、有限符号付測度の{{仮リンク|全変動|en|total variation}}は、有限符号付測度の空間が[[バナッハ空間]]となるような[[ノルム]]を定義する。この空間はさらなる構造を備えた、{{仮リンク|デデキント完備性|label=デデキント完備|en|Dedekind completeness}}[[リース空間|バナッハ束]]であることが示される。

''X'' がコンパクト可分空間であるとき、有限符号付ベール測度の空間は、''X'' 上のすべての連続実数値関数の空間の[[双対]]であることが、[[リースの表現定理]]によって示される。

== 関連項目 ==
* [[複素測度]]
* {{仮リンク|常微分方程式のスペクトル理論|label=スペクトル測度|en|Spectral theory of ordinary differential equations}}
* [[ベクトル測度]]
* [[リースの表現定理]]
* {{仮リンク|全変動|en|Total variation}}

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
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  | zbl = 0436.28001
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  | last = Dunford  | first = Nelson
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[[Category:測度論]]
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